Se utiliza un dispositivo similar a una rueda de bicicleta que puede girar alrededor de un eje fijo. Se enrollan cuerdas de las que penden una o dos pesas tal como se muestra en la figura.

Se mide el tiempo que tarda una pesa en recorrer una determinada altura, partiendo del reposo. A partir de este dato, de las masas de los cuerpos, y de los radios interior y exterior de la rueda, se calcula el momento de inercia por dos procedimientos

• Aplicando las ecuaciones de la dinámica
• Aplicando el principio de conservación de la energía

Primera experiencia

• Método: conservación de la energía

La comparación de la situación inicial y la situación final nos permite formular rápidamente el principio de conservación de la energía.

• La pesa de masa m desciende una altura h.
• La pesa de masa m incrementa su velocidad en v
• La rueda gira con velocidad angular ω

La energía potencial disminuye en mgh, su energía cinética se incrementa en mv²/2 y lo mismo ocurre para sólido en rotación, su energía cinética se incrementa en Iω ²/2.

La ecuación del balance energético es

${\displaystyle mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2}$

La velocidad v se calcula a partir de h y del tiempo t que tarda la pesa en descender esta altura, partiendo del reposo.

${\displaystyle \begin{array}{l}h=\frac{1}{2}a{t}^2\\ v=at\end{array}\}v=\frac{2h}{t}}$

La velocidad angular ω está relacionada con la velocidad v de la pesa que a su vez, es la misma que la velocidad de un punto del borde de la rueda de radio r (siendo r el radio interior de la rueda). Véase la relación entre magnitudes lineales y angulares.

${\displaystyle v=\omega r}$

Se completa la siguiente tabla y se despeja el momento de inercia desconocido

• Método: dinámica

En la figura, se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento.

• La ecuación de la dinámica de rotación de la rueda es

T·r=Iα

• La ecuación de la dinámica de traslación de la pesa es

mg-T=ma

• La relación entre la aceleración angular α del disco y la aceleración a de la pesa es la misma que la existente entre sus respectivas velocidades

a=α·r

Conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa y la altura h desde la que cae, se determina la aceleración a

${\displaystyle h=\frac{1}{2}a{t}^2}$

A partir de la medida del radio r de la rueda (interior o exterior, según el caso), se calcula la aceleración angular α del disco, la tensión T de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido.

Por ejemplo, se introduce

• Masa de la primera pesa cero (m₁=0),
• Masa de la segunda pesa m₂=200 g,
• Radio interior r=30 cm.

Se pulsa el botón titulado Nuevo y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura. Se pulsa el botón titulado Ⅱ para detener el movimiento a la altura deseada. Se calcula el momento de inercia.

Segunda experiencia

• Método: conservación de la energía

La comparación de la situación inicial y la situación final nos permite formular el principio de conservación de la energía.

• La pesa de masa m₂ desciende una altura h.
• La pesa de masa m₁ asciende la misma altura h.
• La pesa de masa m₁ aumenta en v su velocidad.
• Lo mismo le ocurre a la pesa de masa m₂
• La rueda gira con velocidad angular ω .

Se formula el principio de conservación de la energía

${\displaystyle m_{2}gh=m_{1}gh+\frac{1}{2}{m}_1{v}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2}$

Calculando la velocidad v a partir de h y del tiempo t que la pesa tarda en descender esta altura, partiendo del reposo, y relacionando v con velocidad angular ω de la rueda, se obtiene el momento de inercia I.

${\displaystyle \begin{array}{l}h=\frac{1}{2}a{t}^2\\ v=at\end{array}\}v=\frac{2h}{t}\omega =\frac{v}{R}}$

Se completa la siguiente tabla y se despeja el momento de inercia desconocido

• Método: Dinámica

En la figura, se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A partir de este esquema, formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.

m₂g-T₂=m₂a

T₁-m₁g=m₁a

T₂R-T₁R=Iα

a=αR

Como en el ejemplo anterior, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa de mayor masa y la altura h desde la que cae, se determina la aceleración a

A partir de la medida del radio exterior R de la rueda, se calcula la aceleración angular α del disco, las tensiones T₁ y T₂ de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido.

Ejemplo, se introduce:

• Masa m₁ de la primera pesa, 100 g
• Masa m₂ de la segunda pesa, 200 g
• Radio R, 30 cm.

Se pulsa el botón titulado Nuevo y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura. Se pulsa el boón titulado Ⅱ para detener el movimiento a una determinada altura. Se calcula el momento de inercia

Tercera experiencia

• Método: conservación de la energía

Comparando el estado inicial y final observamos que

• La pesa de masa m₁ desciende una altura h₁
• La pesa de masa m₂ asciende una altura h₂
• La pesa de masa m₁ incrementa su velocidad en v₁
• La pesa de masa m₂ incrementa su velocidad en v₂
• La rueda está girando con velocidad ω

Formulamos el principio de conservación de la energía

${\displaystyle m_{1}g{h}_1=m_{2}g{h}_2+\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2}$

Existe una relación entre h₁ y h₂, la misma que existe entre v₁ y v₂. Recordaremos que las magnitudes angulares son las mismas para todos los puntos del sólido en rotación mientras que las magnitudes lineales son proporcionales al radio.

• v₁=ω·r₁
• v₂=ω·r₂
• h₁=θ·r₁
• h₂=θ·r₂

ω es la velocidad angular de la rueda y θ es el ángulo girado en el tiempo t.

Dados los datos de h₁, la altura que cae la pesa de masa m₁ y el tiempo t que tarda en caer,

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_1=a_{1}t\\ h_1=\frac{1}{2}{a}_1{t}^2\end{array}\}{v}_1=\frac{2h_1}{t}\omega =\frac{v_1}{r_1}}$

y a partir de las medidas de los radios interior r₂ y exterior r₁ de la rueda calculamos, el momento de inercia I desconocido de la rueda, siguiendo los mismos pasos que en los ejercicios previos.

Se completa la siguiente tabla y se despeja el momento de inercia desconocido

• Método: dinámica

En la figura, se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A partir de este esquema formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.

Primero determinamos el sentido del movimiento. No es suficiente con comparar las masas de los cuerpos m₁ y m₂. Es necesario comparar los momentos de sus pesos. Si m₁g·r₁>m₂g·r₂, el movimiento tendrá el sentido indicado en la figura. Si m₁g·r₁<m₂g·r₂, el movimiento tendrá sentido contario.

m₁g-T₁=m₁a₁

T₂-m₂g=m₂a₂

T₁r₁-T₂r₂=Iα

a₁=α·r₁
a₂=α·r₂

Como en los ejemplos anteriores, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa de masa m₁ y la altura h₁ desde la que cae, se determina la aceleración a₁. Con los datos de los radios r₁ y r₂, se determina α y a₂. A continuación T₁, T₂ y finalmente I.

Se completa la siguiente tabla y se despeja el momento de inercia desconocido

Ejemplo, se introduce:

• Masa m₁ de la primera pesa, 150 g
• Masa m₂ de la segunda pesa 200 g.
• Radio r₂ interior, 20 cm

¿En qué sentido gira?

Se pulsa el botón titulado Nuevo, y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura. Se pulsa el botón titulado Ⅱ para detener el movimiento a una altura determinada. Se calcula el momento de inercia

Actividades

El radio exterior de la rueda se ha fijado en 30 cm

Comprobar los resultados de los tres ejercicios con los proporcionados por el programa interactivo.

Se muestra el balance energético mediante un diagrama de barras. A la izquierda, la energía cinética:

• En color gris, la energía cinética de rotación del disco.
• En color rojo, la energía cinética de la pesa roja
• En color azul, la energía cinética de la pesa azul

A la derecha, la energía potencial de las pesas roja y azul representadas mediante barras de color rojo y azul, respectivamente.

Práctica de laboratorio

Consiste en calcular el momento de inercia de un sólido en rotación alrededor de un eje fijo, mediante varias experiencias.

Experiencia 1

De las ecuaciones del movimiento, que hemos formulado al principio de esta página, despejamos el momento de inercia

${\displaystyle \begin{array}{l}mg-T=ma\\ T·r=I\alpha \\ a=\alpha ·r\end{array}\}I=m{r}^2\left(\frac{g}{a}-1\right)}$

En esta práctica, medimos con un sensor la aceleración angular α o bien, la aceleración a=α·r, siendo r=14.5 mm, el radio de la polea del sensor por el que pasa el hilo dejando caer una pesa de masa m=10 g. Tomamos como valor de la aceleración de la gravedad g=9.8 m/s²

En esta práctica utilizamos tres cuerpos: un disco, el mismo disco con un anillo y una varilla con dos pequeños cilindros acoplados a sus extremos. Comparamos los momentos de inercia medidos mediante la expresión de I con los calculados mediante las fórmulas más abajo y el teorema de Steiner

Los momentos de inercia respecto de un eje que pasa por el centro de masa de los cuerpos que se utilizan en esta experiencia son los siguientes

${\displaystyle I_c=\frac{1}{2}M{R}^2{I}_C=\frac{1}{12}M{L}^2{I}_C=\frac{1}{4}M{R}^2+\frac{1}{12}M{L}^2{I}_C=\frac{1}{2}M\left(R_1^2+R_2^2\right)}$

Los tres sólidos utilizados: una varilla con dos cilindros deslizantes, un disco, y el conjunto formado por el disco y anillo que encaja en el disco

Más abajo vemos una fotografía del sensor de rotación, de la varilla con los cilindros deslizantes, acoplado al sensor, y en la imagen inferior el disco acoplado al sensor. Se enrolla un hilo en una de las poleas del sensor de radio r=14.5 mm. El hilo pasa por una polea de masa despreciable, de su extremo libre cuelga una pesa de 10 g (5 gramos de la pesa cilíndrica de aluminio más 5 gramos del soporte). Los cuerpos se atornillan al eje vertical del sensor, tal como se muestra en la figura de la derecha en la que vemos un disco y un anillo encima

Disco

El disco tiene 121 g de masa y 4.75 cm de radio. El momento de inercia es I=0.121·0.0475²/2=1.365·10^-4 kgm²

El sensor de movimiento de rotación, nos produce una gráfica del ángulo girado θ en el eje vertical en función del tiempo t en el eje horizontal. Medimos la aceleración angular α=2A (dos veces el parámetro A del ajuste cuadrático)

La aceleración lineal de la pesa a=2·4.18·0.0145=0.1212 m/s². Calculamos el momento de inercia del disco

${\displaystyle I=0.01·{0.0145}^2\left(\frac{9.8}{0.1212}-1\right)=1.68·{10}^{-4}{\text{kgm}}^{\text{2}}}$

Disco con un anillo encima

La masa del anillo es 470.2 g, su radio interior es R₁=2.65 cm, y su radio exterior es R₂=3.8 cm. El momento de inercia del disco y del anillo es I=0.121·0.0475²/2+0.4702·(0.038²+0.0265²)/2=6.41·10^-4 kgm²

El sensor de movimiento de rotación, nos produce una gráfica del ángulo girado θ en el eje vertical en función del tiempo t en el eje horizontal. Medimos la aceleración angular α=2A (dos veces el parámetro A del ajuste cuadrático)

La aceleración lineal de la pesa a=2·0.933·0.0145=0.0270 m/s². Calculamos el momento de inercia del disco y anillo

${\displaystyle I=0.01·{0.0145}^2\left(\frac{9.8}{0.0270}-1\right)=7.61·{10}^{-4}{\text{kgm}}^{\text{2}}}$

Varilla con dos cilindros deslizantes

Los datos son los siguientes: longitud varilla, 38 cm, masa, 37.7 g. Longitud cilindros, 2 cm, radio de la base circular de los cilindros, 1.25 cm, masa, 75.4 g, distancia de los cilindros al eje de rotación, 16.5 cm. El momento de inercia respecto del eje perpendicular a la varilla y que pasa por su centro es

${\displaystyle \begin{array}{l}I=\frac{1}{12}0.0377·{0.38}^2+2\left(\frac{1}{4}0.0754·{0.0125}^2+\frac{1}{12}0.0754·{0.02}^2+0.0754·{0.165}^2\right)\\ =4.57·{10}^{-3}{\text{kgm}}^{\text{2}}\end{array}}$

El sensor de movimiento de rotación, nos produce una gráfica del ángulo girado θ en el eje vertical en función del tiempo t en el eje horizontal. Medimos la aceleración angular α=2A (dos veces el parámetro A del ajuste cuadrático)

La aceleración lineal de la pesa a=2·0.221·0.0145=0.00641 m/s². Calculamos el momento de inercia de la varilla con los cilindros

${\displaystyle I=0.01·{0.0145}^2\left(\frac{9.8}{0.00641}-1\right)=3.21·{10}^{-3}{\text{kgm}}^{\text{2}}}$

Experiencia 2

Dos pesas de masas 100 g y 120 g se unen mediante una cuerda y se colocan sobre una polea de 25.5 cm de radio. Se sueltan, el sólido rígido empieza a rotar. Se mide el tiempo que tarda la pesa mayor en caer una altura h=70 cm

${\displaystyle \begin{array}{l}{m}_{2}gh=m_{1}gh+\frac{1}{2}{m}_1{v}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2\\ \begin{array}{l}h=\frac{1}{2}a{t}^2\\ v=at\end{array}\}v=\frac{2h}{t}\omega =\frac{v}{R}\end{array}}$

Experiencia 3

Se enrolla una cuerda alrededor de una polea de 2.9 cm de radio, se ata una pesa de 500 g al extremos libre de la cuerda y se suelta. El sólido rígido empieza a rotar. Se miede el tiempo que tarda la pesa en caer una altura h=70 cm

${\displaystyle \begin{array}{l}mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2\\ \begin{array}{l}h=\frac{1}{2}a{t}^2\\ v=at\end{array}\}v=\frac{2h}{t}\omega =\frac{v}{r}\end{array}}$