Dinámica de rotación y balance energético

Se utiliza un dispositivo similar a una rueda de bicicleta que puede girar alrededor de un eje fijo. Se enrollan cuerdas de las que penden una o dos pesas tal como se muestra en la figura.

Se mide el tiempo que tarda una pesa en recorrer una determinada altura, partiendo del reposo. A partir de este dato, de las masas de los cuerpos, y de los radios interior y exterior de la rueda, se calcula el momento de inercia por dos procedimientos

Primera experiencia

La comparación de la situación inicial y la situación final nos permite formular rápidamente el principio de conservación de la energía.

La energía potencial disminuye en mgh, su energía cinética se incrementa en mv2/2 y lo mismo ocurre para sólido en rotación, su energía cinética se incrementa en 2/2.

La ecuación del balance energético es

mgh= 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2

La velocidad v se calcula a partir de h y del tiempo t que tarda la pesa en descender esta altura, partiendo del reposo.

h= 1 2 a t 2 v=at }v= 2h t

La velocidad angular ω está relacionada con la velocidad v de la pesa que a su vez, es la misma que la velocidad de un punto del borde de la rueda de radio r (siendo r el radio interior de la rueda). Véase la relación entre magnitudes lineales y angulares.

v=ωr

Se completa la siguiente tabla y se despeja el momento de inercia desconocido

Altura h  
Tiempo t  
Velocidad v  
Radio r  
Velocidad angular ω  
Masa  m de la pesa  
Momento de inercia I  

En la figura, se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento.

Conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa y la altura h desde la que cae, se determina la aceleración a

h= 1 2 a t 2

A partir de la medida del radio r de la rueda (interior o exterior, según el caso), se calcula la aceleración angular α del disco, la tensión T de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido.

Altura h  
Tiempo t  
Aceleración a  
Radio r  
Aceleración angular α  
Masa de la pesa m  
Tensión de la cuerda T  
Momento de inercia I  

Por ejemplo, se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura. Se pulsa el botón titulado para detener el movimiento a la altura deseada. Se calcula el momento de inercia.

Segunda experiencia

La comparación de la situación inicial y la situación final nos permite formular el principio de conservación de la energía.

Se formula el principio de conservación de la energía

m 2 gh= m 1 gh+ 1 2 m 1 v 2 + 1 2 m 2 v 2 + 1 2 I ω 2

Calculando la velocidad v a partir de h y del tiempo t que la pesa tarda en descender esta altura, partiendo del reposo, y relacionando v con velocidad angular ω de la rueda, se obtiene el momento de inercia I.

h= 1 2 a t 2 v=at }v= 2h t ω= v R

Se completa la siguiente tabla y se despeja el momento de inercia desconocido

Altura h  
Tiempo t  
Velocidad v  
Radio R  
Velocidad angular ω  
Masa m1 de la pesa 1  
Masa m2 de la pesa 2  
Momento de inercia I  

En la figura, se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A partir de este esquema, formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.

m2g-T2=m2a

T1-m1g=m1a

T2R-T1R=Iα

a=αR

Como en el ejemplo anterior, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa de mayor masa y la altura h desde la que cae, se determina la aceleración a

A partir de la medida del radio exterior R de la rueda, se calcula la aceleración angular α del disco, las tensiones T1 y T2 de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido.

Altura h  
Tiempo t  
Aceleración a  
Radio R  
Aceleración angular α  
Masa m1 de la pesa 1  
Masa m2 de la pesa 2  
Tensión de la cuerda T1  
Tensión de la cuerda T2  
Momento de inercia I  

Ejemplo, se introduce:

Se pulsa el botón titulado Nuevo y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura. Se pulsa el boón titulado para detener el movimiento a una determinada altura. Se calcula el momento de inercia

Tercera experiencia

Comparando el estado inicial y final observamos que

Formulamos el principio de conservación de la energía

m 1 g h 1 = m 2 g h 2 + 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 + 1 2 I ω 2

Existe una relación entre h1 y h2, la misma que existe entre v1 y v2. Recordaremos que las magnitudes angulares son las mismas para todos los puntos del sólido en rotación mientras que las magnitudes lineales son proporcionales al radio.

ω es la velocidad angular de la rueda y θ es el ángulo girado en el tiempo t.

Dados los datos de h1, la altura que cae la pesa de masa m1 y el tiempo t que tarda en caer,

v 1 = a 1 t h 1 = 1 2 a 1 t 2 } v 1 = 2 h 1 t ω= v 1 r 1

y a partir de las medidas de los radios interior r2 y exterior r1 de la rueda calculamos, el momento de inercia I desconocido de la rueda, siguiendo los mismos pasos que en los ejercicios previos.

Se completa la siguiente tabla y se despeja el momento de inercia desconocido

Altura h1  
Radio r1  
Radio r2  
Altura h2  
Tiempo t  
Velocidad v1  
Velocidad angular ω  
Velocidad v2  
Masa m1 de la pesa 1  
Masa m2 de la pesa 2  
Momento de inercia I  

En la figura, se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A partir de este esquema formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.

Primero determinamos el sentido del movimiento. No es suficiente con comparar las masas de los cuerpos m1 y m2. Es necesario comparar los momentos de sus pesos. Si m1g·r1>m2g·r2, el movimiento tendrá el sentido indicado en la figura. Si m1g·r1<m2g·r2, el movimiento tendrá sentido contario.

m1g-T1=m1a1

T2-m2g=m2a2

T1r1-T2r2=Iα

a1=α·r1
a2=α·r2

Como en los ejemplos anteriores, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa de masa m1 y la altura h1 desde la que cae, se determina la aceleración a1. Con los datos de los radios r1 y r2, se determina α y a2. A continuación T1, T2 y finalmente I.

Se completa la siguiente tabla y se despeja el momento de inercia desconocido

Altura h1  
Altura h2  
Tiempo t  
Aceleración a1  
Radio r1  
Radio r2  
Aceleración angular α  
Aceleración a2  
Masa m1 de la pesa 1  
Masa m2 de la pesa 2  
Tensión de la cuerda T1  
Tensión de la cuerda T2  
Momento de inercia I  

Ejemplo, se introduce:

¿En qué sentido gira?

Se pulsa el botón titulado Nuevo, y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura. Se pulsa el botón titulado para detener el movimiento a una altura determinada. Se calcula el momento de inercia

Actividades

El radio exterior de la rueda se ha fijado en 30 cm

Comprobar los resultados de los tres ejercicios con los proporcionados por el programa interactivo.

Se muestra el balance energético mediante un diagrama de barras. A la izquierda, la energía cinética:

A la derecha, la energía potencial de las pesas roja y azul representadas mediante barras de color rojo y azul, respectivamente.