Medida de la constante G de la Gravitación Universal (II)

Una partícula de masa M describe un movimiento circular de radio R con velocidad angular constante ω. Un péndulo está hecho con un largo hilo inextensible de longitud l del que cuelga una partícula de masa m, está inicialmente en su posición de equilibrio. La fuerza de atracción entre las dos partículas hace que la partícula de masa m se mueva describiendo una trayectoria en forma de espiral cuando se cumple una determinada condición.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son:

Las ecuaciones del movimiento se escriben en forma de ecuación diferencial

d 2 x d t 2 +( g l + GM R 3 )x= GM R 2 cosωt d 2 y d t 2 +( g l + GM R 3 )y= GM R 2 sinωt

o bien

d 2 x d t 2 + ω 0 2 x= GM R 2 cosωt d 2 y d t 2 + ω 0 2 y= GM R 2 sinωt

Se resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, dx/dt=0, dy/dt=0, es decir, la partícula de masa m parte del origen con velocidad nula.

Caso particular

Cuando ω≈ω0 tenemos para la solución de la primera ecuación diferencial

lim ω ω 0 cosωtcos ω 0 t ω 0 2 ω 2 = lim ω ω 0 2sin( ω+ ω 0 2 t ) ( ω 0 +ω) · sin( ω ω 0 2 t ) ( ω 0 ω) = sinωt ω · t 2

La solución de la primera ecuación diferencial se convierte en

x= GM R 2 t 2ω sinωt

Para la solución de la segunda ecuación diferencial

lim ω ω 0 ω 0 sinωtωsin ω 0 t ω 0 ( ω 0 2 ω 2 ) = lim ω ω 0 2cos( ω+ ω 0 2 t ) ( ω 0 +ω) · sin( ω ω 0 2 t ) ( ω 0 ω) = cosωt ω · t 2

La solución de la segunda ecuación diferencial se convierte en

y= GM R 2 t 2ω cosωt

La distancia r de la partícula de masa m al origen es

r= x 2 + y 2 = GM R 2 t 2ω

La distancia r se incrementa proporcionalmente al tiempo t, la partícula describe una espiral que parte del origen.

Tenemos que diseñar nuestro experimento simulado de modo que la frecuencia

ω 0 = g l + GM R 3

coincida con gran aproximación con la velocidad angular ω de rotación de la partícula de masa M.

Ejemplo

 La frecuencia

ω 0 = 9.8 1.2 + 6.67· 10 11 ·50 0.08 3 =2.857739rad/s

se diferencia muy poco de la frecuencia angular de oscilación del péndulo, debido a que el segundo término que contiene la constante G es muy pequeño.

Supongamos que la velocidad angular de rotación ω=3 rad/s. Calculamos x e y en el instante t=1hora=3600 s

x= 6.67· 10 11 50 0.08 2 ( 2.857739 2 3 2 ) ( cos10800cos10287.86 )=8.48· 10 7 m

Lo mismo ocurre para y. El péndulo no se desvía apenas del origen, incluso después de un tiempo muy grande.

G=6.67e-11; %costante G
M=50; %masa que gira
R=0.08; %radio 
w=3; %velocidad angular de rotación
longitud=1.2; %péndulo

w0=sqrt(9.8/1.2+G*M/R^3);
x=@(t) G*M*(cos(w*t)-cos(w0*t))/(R^2*(w0^2-w^2));
y=@(t) G*M*(sin(w*t)-w*cos(w0*t)/w0)/(R^2*(w0^2-w^2));
r=@(t) sqrt(x(t).^2+y(t).^2);
disp(r(3600))
  8.4819e-07

La desviación se incrementa apreciablemente cuando ω≈ω0=2.857739, al cabo de una hora la desviación del péndulo es

r= GM R 2 t 2ω = 6.67· 10 11 ·50 0.08 2 1·3600 2·2.857739 =0.328· 10 3 m=0.328mm

G=6.67e-11; %costante G
M=50; %masa que gira
R=0.08; %radio 
longitud=1.2; %péndulo

w0=sqrt(9.8/1.2+G*M/R^3);
r=@(t) G*M*t/(2*R^2*w0);
disp(r(3600))
   3.2822e-04

Comprobaremos que cuando ω≈ω0 la desviación r

Para cada valor del tiempo t, medimos el valor del radio r de la circunferencia que describe.

t h0.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0
r mm0.1640.3280.4920.6570.8210.9851.1491.3131.4771.641
t=0.5:0.5:5;
r=[0.164,0.328,0.492,0.657,0.821,0.985,1.149,1.313,1.477,1.641];
plot(t,r,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('r(mm)')
title('Medida de la constante G')

En el menú de la ventana gráfica, seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1*x+p2 de ajuste.

Como hemos deducido en el apartado anterior

r= GM 2 R 2 ω t

Se obtendrá el valor de G a partir de la medida de pendiente p1=0.32825 de la recta que mejor ajusta a los datos experimentales

0.32825 1000·3600 = G·50 2· 0.08 2 ·2.8577 G=6.665· 10 11 N 2 m 2 kg 2

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo y a continuación, de pulsa en el botón titulado .

Observamos el movimiento circular de la partícula de masa M, el péndulo estará prácticamente inmóvil en el origen. En la parte superior izquierda, se indica el instante t en segundos y la desviación del péndulo (distancia al origen) r en mm.

Introducimos el tiempo t, medido en horas, en el control titulado Tiempo y pulsamos el botón titulado Nuevo. Se observa el movimiento del péndulo en dicho instante y posteriores. Anotamos la distancia al origen r.

Volvemos a introducir otro tiempo medido en horas en el control titulado Tiempo y pulsamos el botón titulado Nuevo, anotamos la distancia r y así, sucesivamente. De este modo, cremos una tabla de datos 'experimentales' t (en horas), r (radio en mm). La pendiente de la recta que mejor ajusta permite deducir el valor de la constante G

Podemos cambiar la escala de observación, activando alguno de los botones de radio titulados dm, cm y mm. En la primera escala dm observamos el movimiento circular de la partícula de masa M, en las otras escalas está muy alejada del origen y desaparece de la ventana gráfica.

El péndulo no se desviará apenas de su posición de equilibrio si ω es distinto de ω0, tal como podemos comprobar y calcular a partir de las ecuaciones del movimiento y observamos activando el botón de radio titulado mm.

Se debe procurar introducir un tiempo t que no sea lo suficientemente grande como para que deje de cumplirse la condición de que r<<R, en la que nos hemos basado para obtener una expresión simple que describa aproximadamente el movimiento del péndulo.


Referencias

Sheppard D. Using one pendulum and a rotating mass to measure the Universal Gravitational Constant. Am. J. Phys. 38 (1970), pp. 380