Podríamos imaginar que se hace un túnel que atraviese la Tierra desde España a sus antípodas situadas en Nueva Zelanda. Una persona que se introdujese en el túnel en Madrid saldría por el extremo opuesto después de 42 minutos de viaje, suponiendo que resista las altas temperaturas existentes en el centro de la Tierra.

Supongamos que se hace un túnel que conecte las ciudades de Bilbao y Madrid, una persona que se introduce en el túnel en ciudad origen llegaría al destino al cabo de 42 minutos, más o menos el tiempo de viaje en avión, sin tener en cuenta la larga espera en el aeropuerto antes del embarque.

Intensidad del campo gravitatorio producido por la Tierra

La expresión del campo gravitatorio producido por una distribución esférica de masa de radio R y masa M, es similar a la del campo eléctrico producido por una distribución esférica de carga de radio R y carga total Q. Para calcular el campo gravitatorio utilizaremos las siguientes equivalencias fundamentadas en la ley de Gauss.

• El campo gravitatorio producido por una distribución esférica uniforme de masa M y  radio R en un punto distante r>R del centro es equivalente al campo gravitatorio producido por una partícula de masa M situada en el centro de la esfera en un punto distante r de la misma

• El campo gravitatorio producido por una distribución esférica uniforme de masa M y de radio R en un punto situado a una distancia r<R del centro, es equivalente al campo gravitatorio producido por la porción de masa contenida en la esfera de radio r en un punto de su superficie.

${\displaystyle \frac{M\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R^3}=M\frac{r^3}{R^3}}$

y por tanto, es equivalente al campo  gravitatorio producido por una partícula de masa M r³/R³ situada en el centro de la esfera en un punto distante r de la misma.

El campo gravitatorio $\overrightarrow{g}$ producido por una distribución esférica y uniforme de masa de radio R y masa M tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la Tierra. Su módulo vale.

${\displaystyle g=G\frac{M}{r^2}r>Rg=G\frac{Mr}{R^3}r<R}$

Túnel por el interior de la Tierra

La fuerza F sobre la partícula de masa m situada a una distancia r<R del centro de la Tierra vale

${\displaystyle F=mg=G\frac{Mm}{R^3}r}$

 La componente de dicha fuerza F_x a lo largo del eje del túnel es

${\displaystyle F_x=-F\frac{x}{r}=-G\frac{Mm}{R^3}x}$

La fuerza F_x es proporcional al desplazamiento x de la partícula respecto de la posición de equilibrio estable (F_x=0) y de sentido contrario al mismo, un signo inequívoco de que la partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.).

La ecuación del movimiento es

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-G\frac{Mm}{R^3}x\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+G\frac{M}{R^3}x=0\end{array}}$

Llegamos a la ecuación diferencial de un MAS de periodo P=2π/ω

${\displaystyle P=2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}=2\pi \sqrt{\frac{{(6.37·{10}^6)}^3}{6.67·{10}^{-11}·5.98·{10}^{24}}}=5057.96\text{s}=84.3\text{min}}$

La partícula describe un MAS cuyo periodo es de 84.3 minutos y es independiente de la amplitud. El tiempo de viaje entre los extremos del túnel es la mitad 42.15 min

Conservación de la energía

Para r<R, la energía potencial de la partícula de masa m

${\displaystyle E_p(r)={\displaystyle \underset{r}{\overset{R}{\int }}-\frac{GMm}{R^3}r·dr+}{\displaystyle \underset{R}{\overset{\infty }{\int }}-\frac{GMm}{r^2}dr}=-\frac{3}{2}\frac{GMm}{R}+\frac{GMm}{R^3}\frac{r^2}{2}}$

Se excava un túnel a través de un diámetro de la Tierra, y se suelta una partícula de masa m en uno de sus extremos. Determinamos la velocidad de la partícula cuando se encuentra a una distancia r del centro de la Tierra

Se iguala la energía en la posición inicial r=R, v=0, con la energía en la posición considerada r.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{3}{2}\frac{GMm}{R}+\frac{GMm}{R^3}\frac{r^2}{2}=-\frac{GMm}{R}\\ v^2=\frac{GM}{R}-\frac{GM}{R^3}{r}^2\end{array}}$

Cuando pasa por el centro de la Tierra r=0.

${\displaystyle v_c=\sqrt{\frac{GM}{R}}}$

v_c=7 913.0 m/s. Los datos son: masa de la Tierra M=5.98·10²⁴ kg, radio de la Tierra R=6.37·10⁶ m, G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Movimiento sobre una superficie horizontal

Supongamos una partícula de masa m que desliza sin rozamiento a lo largo de una superficie horizontal (tangente a la superficie de la Tierra), tal como se muestra en la figura.

La fuerza sobre la partícula vale

${\displaystyle F=G\frac{Mm}{r^2}}$

La componente de dicha fuerza F_x=-F·sinθ=-F·x/r es de sentido contrario al desplazamiento pero ya no es proporcional al desplazamiento x sino a x/r³

La ecuación del movimiento de la partícula será ahora

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+G\frac{M}{r^3}x=0}$

Si el desplazamiento x es pequeño, o el ángulo θ es pequeño, hacemos la aproximación r≈R. La partícula describe un MAS cuyo periodo es de nuevo 84.3 minutos siempre que la amplitud sea pequeña.

Como en el péndulo simple, el periodo de las oscilaciones es dependiente de la amplitud y se puede considerar constante en la aproximación de pequeñas desviaciones de la posición de equilibrio estable.

Orbita circular alrededor de la Tierra

Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular, obtenemos la velocidad v de un cuerpo de masa m que describe una órbita circular de radio r alrededor de la Tierra es

${\displaystyle G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}}$

El tiempo que tarda en dar una vuelta completa o periodo es

${\displaystyle P=\frac{2\pi r}{v}=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}}$

Los cuadrados de los periodos son proporcionales a los cubos de el radio de la trayectoria circular (tercera ley de Kepler).

Supongamos que la Tierra es perfectamente esférica, sin accidentes geográficos y sin atmósfera que frene el movimiento de los cuerpos. El periodo de un satélite artificial que pasase justamente encima de nuestras cabezas sería el mismo que el periodo de las oscilaciones de un cuerpo que viajase por un túnel excavado en la Tierra

${\displaystyle P=2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}=5057.96\text{s}=84.3\text{min}}$

Este es el tiempo mínimo que tarda un satélite en completar una vuelta alrededor de la Tierra.

Sin embargo, los satélites geoestacionarios dedicados a los comunicaciones tienen un periodo de 24 horas, su velocidad angular es la misma que la de la Tierra y por tanto, permanecen fijos vistos por un observador terrestre.

El radio de un satélite geoestacionario se obtiene poniendo el dato P=24·60·60=86400 s en la fórmula del periodo y despejando r.

${\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac{GM{P}^2}{4{\pi }^2}}=42251·{10}^3\text{m}}$

o bien, 35880 km por encima de la superficie de la Tierra.

Actividades

Se introduce

• La distancia entre el centro de la Tierra y el túnel horizontal excavado en el interior de la Tierra, en el control titulado Posición

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento oscilatorio de una partícula que se introduce por el extremo del túnel y se comprueba que el periodo de oscilación es de aproximadamente 84 minutos, que es independiente de la posición del túnel.

La amplitud de la oscilación es la mitad de la longitud del túnel.

Ejemplo:

Tomando como unidad de longitud el radio de la Tierra R=6.37·10⁶ m, si el túnel dista del centro de la Tierra y=0.6, la amplitud es

${\displaystyle x=\sqrt{1.0-{0.6}^2}=0.8}$

Viaje en un cohete a velocidad constante

Viajamos desde un punto A a otro punto B en las antípodas a través de un túnel que atraviesa la Tierra subidos a un cohete que se mueve a velocidad constante v₀

Si queremos que el tiempo de viaje sea 42.15 minutos (medio periodo P) de la oscilación, la velocidad uniforme v₀ es

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_0\left(\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}\right)=2R\\ v_0=\frac{2}{\pi }\sqrt{\frac{GM}{R}}=\frac{2}{\pi }{v}_c\end{array}}$

Donde $v_c=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\text{7}\text{913}.0\text{ m/s}$ , es la velocidad que alcanza un objeto cuando pasa por el centro O de la Tierra después de haberlo soltado en B

La fuerza que ejerce la Tierra sobre una partícula situada en el interior, a una distancia r<R del centro O de la Tierra es

${\displaystyle F=G\frac{Mm}{R^3}r}$

Dividimos el viaje desde A a B en dos etapas

• Viaje desde el centro O de la Tierra hasta el punto B en la superficie, 0≤x≤R

La ecuación del movimiento del cohete situado en la posición x a la derecha del centro O de la Tierra es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dp}{dt}=F\\ m\frac{dv}{dt}+u\frac{dm}{dt}=-G\frac{Mm}{R^3}x\end{array}}$

Si el cohete se mueve con velocidad constante v₀

${\displaystyle u\frac{dm}{dt}=-G\frac{Mm}{R^3}x}$

u es la velocidad constante de los gases expulsados, respecto del cohete

Separamos variables e integramos la ecuación del movimiento

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dm}{dt}=\frac{dm}{dx}\frac{dx}{dt}\\ u\frac{dm}{dx}{v}_0=-G\frac{Mm}{R^3}x\\ \frac{dm}{m}=-\frac{GM}{u{v}_0}\frac{x}{R^3}\\ {\displaystyle \underset{m_O}{\overset{m}{\int }}\frac{dm}{m}=-\frac{GM}{u{v}_0}\frac{1}{R^3}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}x·dx}}\\ \ln \frac{m}{m_c}=-\frac{GM}{2u{v}_0}\frac{x^2}{R^3}\\ m=m_c\exp \left(-\frac{GM}{2u{v}_0}\frac{x^2}{R^3}\right)=m_c\exp \left(-\frac{v_c^2}{2u{v}_0}\frac{x^2}{R^2}\right)\end{array}}$

La masa final del cohete en el punto B de la superficie de la Tierra, x=R

${\displaystyle m_B=m_c\exp \left(-\frac{v_c^2}{2u{v}_0}\right)}$

• Viaje dese el punto A en la superficie de la Tierra al centro O,-R≤x≤0

${\displaystyle \begin{array}{l}u\frac{dm}{dt}=G\frac{Mm}{R^3}x\\ u\frac{dm}{dx}{v}_0=G\frac{Mm}{R^3}x\end{array}}$

Separamos variables e integramos la ecuación del movimiento

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{m_A}{\overset{m}{\int }}\frac{dm}{m}=\frac{GM}{u{v}_0{R}^3}{\displaystyle \underset{-R}{\overset{x}{\int }}x·dx}}\\ \ln \frac{m}{m_A}=\frac{GM}{2u{v}_0}\frac{x^2-R^2}{R^3}\\ m=m_A\exp \left(-\frac{GM}{2u{v}_0}\frac{R^2-x^2}{R^3}\right)=m_A\exp \left(-\frac{v_c^2}{2u{v}_0}\left(1-\frac{x^2}{R^2}\right)\right)\end{array}}$

La masa del cohete al llegar al centro x=0 es

${\displaystyle m_c=m_A\exp \left(-\frac{v_c^2}{2u{v}_0}\right)}$

La masa del cohete

La masa final del cohete al llegar a su destino B partiendo de A

${\displaystyle m_B=m_c\exp \left(-\frac{v_c^2}{2u{v}_0}\right)=m_A\exp \left(-\frac{v_c^2}{u{v}_0}\right)}$

Definimos las variables adimensionales, V₀=v/v_c y U=u/v_c. La masa m del cohete en función de la posición x/R es

${\displaystyle m=\{\begin{array}{l}{m}_A\exp \left(-\frac{v_c^2}{2u{v}_0}\right)\exp \left(-\frac{v_c^2}{2u{v}_0}\frac{x^2}{R^2}\right)=m_A\exp \left(-\frac{1}{2V_{0}U}\left(1+\frac{x^2}{R^2}\right)\right),0\le x\le R\\ m_A\exp \left(-\frac{1}{2V_{0}U}\left(1-\frac{x^2}{R^2}\right)\right),-R\le x\le 0\end{array}}$

Representamos la masa m del cohete en función de la posición x/R

Fijamos V₀=2/π (tiempo de viaje 42.15 minutos) y U=0.316, que corresponde a una velocidad de u=2500 m/s de salida de los gases respecto del cohete

V0=2/pi;
U=0.316;

hold on
f=@(x) exp(-(1-x.^2)/(2*V0*U));
fplot(f,[-1,0])
f=@(x) exp(-(1+x.^2)/(2*V0*U));
fplot(f,[0,1])
hold off
grid on
xlabel('x/R')
ylabel('m/m_A')
title('Masa del cohete')

Combustible gastado Δm

${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta m=m_A-m_B=m_A\left(1-\exp \left(-\frac{v_c^2}{u{v}_0}\right)\right)\\ \frac{\Delta m}{m_A}=1-\exp \left(-\frac{1}{U{V}_0}\right)\end{array}}$

Representamos la proporción de combustible gastado en función de la velocidad v₀ constante del cohete, tomando U=0.316

U=0.316;

f=@(V0) 1-exp(-1./(V0*U));
fplot(f,[0.2,2])
line([2/pi,2/pi],[0.8,f(2/pi)],'lineStyle','--')
grid on
xlabel('V_0')
ylabel('\Deltam/m_A')
title('Combustible gastado')

Señalamos mediante una línea vertical, el consumo para la velocidad V₀=2/π que corresponde al tiempo de viaje 42.15 min

Energía

La energía de una partícula de masa m que se mueve con velocidad v₀ cuando se encuentra a una distancia x<R del centro de la Tierra es

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}_0^2-\frac{3}{2}\frac{GMm}{R}+\frac{1}{2}\frac{GMm}{R^3}{x}^2=m\left(\frac{1}{2}{v}_0^2-\frac{3}{2}{v}_c^2+\frac{1}{2}{v}_c^2\frac{x^2}{R^2}\right)}$

La energía en la posición inicial A es

${\displaystyle E_A=m_A\left(\frac{1}{2}{v}_0^2-\frac{GM}{R}\right)=m_A\left(\frac{1}{2}{v}_0^2-v_c^2\right)=m_A{v}_c^2\left(\frac{1}{2}{V}_0^2-1\right)}$

La energía en la posición final B es

${\displaystyle E_B=m_B{v}_c^2\left(\frac{1}{2}{V}_0^2-1\right)}$

Representamos el cociente E/E_A en función de x/R

V0=2/pi;
U=0.316;

hold on
f=@(x) exp(-(1-x.^2)/(2*V0*U)).*(V0^2/2-3/2+x.^2/2)/(V0^2/2-1);
fplot(f,[-1,0])
f=@(x) exp(-(1+x.^2)/(2*V0*U)).*(V0^2/2-3/2+x.^2/2)/(V0^2/2-1);
fplot(f,[0,1])
hold off
grid on
xlabel('x/R')
ylabel('E/E_A')
title('Energía del cohete')

Si aumentamos la velocidad v₀, diminuimos el tiempo de viaje. Por ejemplo, para $V_0=1.5>\sqrt{2}$

Referencias

Romer R. The answer is forty-two. Many mechanics problems, only one answer. The Physics Teacher, 41, May 2003, pp. 286-290

Y. Kajiyama. Gravity train of variable mass. Revista Mexicana de Física E 21 020213 1–5. July-December 2024