Trayectorias elípticas

Geometría de la elipse

Como se ha descrito en la página Ecuación de la trayectoria otras páginas, una partícula sometida a una fuerza central atractiva, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de fuerzas, describe una trayectoria elíptica si su energía total E<0 es negativa,

r= d 1+εcosθ

Los parámetros d y ε (excentricidad) están relacionados con el momento angular L y la energía E de la partícula

d= L 2 GM m 2 ε= 1+ 2 L 2 E G 2 M 2 m 3

Una elipse es una cónica cuya excentricidad es menor que la unidad. Para que una partícula sometida a una fuerza central, atractiva, inversamente proporcional al cuadrado de las distancias al centro de fuerzas, describa dicha trayectoria tiene que tener una energía total negativa (E<0).

La posición más cercana al foco r1 se obtiene cuando θ=0 y la posición más alejada r2 se obtiene cuando θ=π. Es decir,

r 1 = d 1+ε r 2 = d 1ε     

Los semiejes a y b de la elipse valen

2a= r 2 + r 1 a= d 1 ε 2 a 2 = b 2 + c 2 b=a 1 ε 2   

El semieje mayor de la elipse a es independiente del momento angular L y solamente, depende de la energía total E. El semieje menor b depende del momento angular L y de la energía E

a= mGM 2E b= L a m GM

Periodo

Se denomina periodo, al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa. En la figura vemos que el radio vector que une el Sol con el planeta barre en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt el área de color rojo de forma triangular.

El ángulo del vértice de dicho triángulo es y la base del triángulo es un arco de longitud rdθ. El área del triángulo  es (base por altura dividido por dos)

r(r·dθ) 2 = r 2 dθ 2

Integrando la ecuación del momento angular expresado en coordenadas polares

0 2π r 2 dθ = 0 P L m dt 0 2π r 2 dθ 2 = L 2m 0 P dt

La primera integral es el área total de la elipse πab, que es igual a la suma de las áreas de todos triángulos infinitesimales. La integral del segundo miembro es el periodo P del planeta, por tanto

P= 2mπab L

Poniendo el semieje b en función del semieje a, (final del apartado anterior) llegamos a la fórmula que relaciona el periodo de la órbita de un planeta P y el semieje mayor de la elipse a, denominada tercera ley de Kepler.

P 2 = 4 π 2 a 3 ( GM )

Escribimos un script para dibujar las órbitas elípticas de los planetas: Venus, Tierra, Marte y Júpiter conocidos sus ejes mayores en U.A. (Unidades Astronómicas) y sus excentricidades.

a=[0.723 1 1.524 5.203];
ex=[0.007 0.017 0.093 0.048];
ang=linspace(0,2*pi,100);
colores=['r' 'b' 'k' 'g'];
planeta=['V' 'T' 'M' 'J'];
hold on
for i=1:length(a)
    d=a(i)*(1-ex(i)^2);
    r=d./(1+ex(i)*cos(ang));
    x=r.*cos(ang);
    y=r.*sin(ang);
    plot(x,y,colores(i),'displayName',planeta(i)) 
end
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Sistema solar')
legend('-DynamicLegend','location','SouthEast')
hold off 

Trayectorias elípticas con el eje girado

En este apartado, vamos a determinar la ecuación de la elipse que describe una partícula que dista r0 del centro de fuerzas, disparada con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo φ entre dicha velocidad y la línea que une el centro fuerzas y el punto de disparo, tal como se muestra en la figura.

Fuerza central y conservativa

Por ser la fuerza de atracción conservativa, la energía es constante en todos los puntos de la trayectoria y vale

E= 1 2 m v 0 2 G Mm r 0

Por ser la fuerza de atracción central, el momento angular es constante en todos los puntos de la trayectoria.

L=mr0·v0·sinφ

En la página, Ecuación de la trayectoria, obtuvimos

r= d 1+εcos(θ θ 0 )

r y θ son las coordenadas polares de la partícula y ε<1 es la excentricidad de la elipse.

Para θ=0, la distancia de la partícula al centro de fuerzas es r=r0. Obtenemos el valor de θ0

cos( θ 0 )= 1 ε ( d r 0 1 )

Conocida la energía E y del momento angular L, determinamos los valores de los parámetros d y ε de la elipse.

d= r 0 2 v 0 2 sin 2 φ GM ε= 1+ 2 r 0 2 v 0 2 sin 2 φ( 1 2 v 0 2 GM/ r 0 ) G 2 M 2

Definimos el parámetro adimensional

p= 2GM r 0 v 0 2

En función de este parámetro

d= 2 r 0 sin 2 φ p ε= 1 4 sin 2 φ p 2 (p1)

A medida que el ángulo de disparo cambia, 0<φ<π, la excentricidad de la elipse varía

Como caso particular mencionaremos, que cuando p=2, o cuando la velocidad de disparo es

v 0 = GM r 0

la trayectoria es una circunferencia, ε=0, de radio r0.

e=@(p, x) sqrt(1-(p-1)*(2*sin(x)/p)^2);
hold on
f=@(x) e(1.5,x);
fplot(f,[0,pi])
f=@(x) e(2,x);
fplot(f,[0,pi])
hold off
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3', '5\pi/3','\pi'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('\epsilon');
title('Excentricidad')

Introducimos los valores de θ0, excentricidad ε y parámetro d en términos de r0, v0 y ángulo φ en la ecuación de la elipse.

1+ε( cosθ·cos( θ 0 )sinθ·sin( θ 0 ) )= d r 1+ε( cosθ· 1 ε ( d r 0 1 )sinθ· 1 1 ε 2 ( d r 0 1 ) 2 )= d r 1+( cosθ·( d r 0 1 )sinθ· 2sinφcosφ p )= 2 r 0 sin 2 φ /p r

Simplificando, llegamos a la ecuación

r 0 r = cosφ sinφ sinθ+cosθ+ p( 1cosθ ) 2 sin 2 φ

La ecuación de la trayectoria depende del ángulo φ con el que se dispara la partícula.
f(r, θ, φ)=0

Ecuación del movimiento

Al integrar las ecuaciones del movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza inversamente proporcional al cudrado de la distancia r al centro de fuerzas, obtuvimos

1 r =Asinθ+Bcosθ+ GM m 2 L 2 m L dr dt =AcosθBsinθ L=m r 2 ( dθ dt )

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: θ=0, r=r0 y las componentes de la velocidad v0 son:

( dr dt ) 0 = v 0 cosφ L=m r 0 v 0 sinφ

Los coeficientes A y B valen:

1 r 0 =B+ GM m 2 L 2 m L v 0 cosφ=A

Obtenemos la misma ecuación de la elipse en términos del parámetro adimensional p

r 0 r = cosφ sinφ sinθ+cosθ+ p( 1cosθ ) 2 sin 2 φ

r0=3; %posición inicial
phi=pi/6; %ángulo de tiro
p=1.5; %parámetro adimensional
r=@(x) r0./(-cos(phi)*sin(x)/sin(phi)+cos(x)+p*(1-cos(x))/(2*sin(phi)^2));
theta=(0:360)*pi/180;
hold on
%origen, centro de fuerzas
plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y')
%punto de lanzamiento
plot(r0,0,'ko', 'markersize',4,'markerfacecolor','k')
%vector velocidad inicial
quiver(r0,0, sqrt(2/p)*cos(phi), sqrt(2/p)*sin(phi))
%trayectoria
plot(r(theta).*cos(theta),r(theta).*sin(theta),'r')
%eje mayor de la elipse girada
d=2*r0*sin(phi)^2/p;
e=sqrt(1-(p-1)*(2*sin(phi)/p)^2);
phi_0=-acos((d-r0)/(r0*e));
x1=r(phi_0)*cos(phi_0);
y1=r(phi_0)*sin(phi_0);
x2=r(phi_0+pi)*cos(phi_0+pi);
y2=r(phi_0+pi)*sin(phi_0+pi);
line([x1,x2],[y1,y2])

hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Elipse girada')

Las elipses correspondientes a dos ángulos de tiro suplementarios φ y 180-φ, tienen el mismo momento angular L y la misma energía E, son simétricas con respecto del eje X

r0=3; %posición inicial
p=1.5; %parámetro adimensional

phi=pi/6; %ángulo de tiro
r=@(x) r0./(-cos(phi)*sin(x)/sin(phi)+cos(x)+p*(1-cos(x))/(2*sin(phi)^2));
theta=(0:360)*pi/180;
hold on
%origen, centro de fuerzas
plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y')
%punto de lanzamiento
plot(r0,0,'ko', 'markersize',4,'markerfacecolor','k')
%vector velocidad inicial
quiver(r0,0, sqrt(2/p)*cos(phi), sqrt(2/p)*sin(phi))
%trayectoria
plot(r(theta).*cos(theta),r(theta).*sin(theta), 'r')
%eje mayor de la elipse girada
d=2*r0*sin(phi)^2/p;
e=sqrt(1-(p-1)*(2*sin(phi)/p)^2);
phi_0=-acos((d-r0)/(r0*e));
x1=r(phi_0)*cos(phi_0);
y1=r(phi_0)*sin(phi_0);
x2=r(phi_0+pi)*cos(phi_0+pi);
y2=r(phi_0+pi)*sin(phi_0+pi);
line([x1,x2],[y1,y2])

phi=pi-pi/6; %ángulo de tiro
r=@(x) r0./(-cos(phi)*sin(x)/sin(phi)+cos(x)+p*(1-cos(x))/(2*sin(phi)^2));
theta=(0:360)*pi/180;
%punto de lanzamiento
plot(r0,0,'ko', 'markersize',4,'markerfacecolor','k')
%vector velocidad inicial
quiver(r0,0, sqrt(2/p)*cos(phi), sqrt(2/p)*sin(phi))
%trayectoria
plot(r(theta).*cos(theta),r(theta).*sin(theta), 'r')
%eje mayor de la elipse girada
d=2*r0*sin(phi)^2/p;
e=sqrt(1-(p-1)*(2*sin(phi)/p)^2);
phi_0=acos((d-r0)/(r0*e));
x1=r(phi_0)*cos(phi_0);
y1=r(phi_0)*sin(phi_0);
x2=r(phi_0+pi)*cos(phi_0+pi);
y2=r(phi_0+pi)*sin(phi_0+pi);
line([x1,x2],[y1,y2])

hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Elipse girada')

Orbitas de la misma energía

Imaginemos un misil lanzado desde la superficie de la Tierra verticalmente y que en el punto más alto de su trayectoria explota en varios fragmentos iguales que salen en todas las direcciones con igual velocidad.

El movimiento posterior de los fragmentos, se debe únicamente a la fuerza de atracción de la Tierra y por tanto, describirán órbitas elípticas si su energía total es negativa.

El momento angular y la energía de un fragmento de masa m lanzado desde una distancia r0 del centro de la Tierra, con velocidad v0 haciendo un ángulo φ con el radio vector es

L=m r 0 v 0 sinφ E= 1 2 m v 0 2 GMm r 0

Todos los fragmentos tienen la misma energía E, pero distinto momento angular L

El semieje mayor a es independiente del momento angular L y solamente depende de la energía total E.

a= mGM 2E

Todos los fragmentos tienen el mismo semieje mayor a. Por la tercera ley de Kepler el periodo de todos los fragmentos será el mismo. Todos los fragmentos salen a la vez del mismo punto y regresan después de un tiempo igual al periodo al mismo punto.

Vamos a estudiar ahora los distintos casos que pueden presentarse dependiendo del ángulo de lanzamiento.

Cuando el ángulo φ=0

El momento angular L=0, por lo que la trayectoria es una línea recta que pasa por el centro de fuerzas. El fragmento se eleva y luego cae hacia la Tierra a lo largo de la dirección radial.

La máxima distancia r a la que se aleja el fragmento, se calcula poniendo v=0 en la ecuación de constancia de la energía y a continuación, se despeja r.

E= 1 2 m v 0 2 GMm r 0 = GMm r

La velocidad v con la que impacta en la superficie de la Tierra, se obtiene poniendo r=R (radio de la Tierra) en la ecuación de la energía

E= 1 2 m v 0 2 GMm r 0 = 1 2 m v 2 GMm R

Cuando el ángulo φ=180º

El fragmento cae directamente hacia la superficie de la Tierra, alcanzando su superficie con la velocidad v calculada en el apartado anterior.

Cuando el ángulo φ=90º

El fragmento describe una elipse cuyo eje mayor es 2a=r+r0. Aplicando la constancia del momento angular y de la energía.

mrv=m r 0 v 0 1 2 m v 2 GMm r = 1 2 m v 0 2 GMm r 0

Se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para calcular r y v.

Cuando el ángulo es φ

El fragmento describe una elipse cuyo eje mayor está girado con respecto del eje X.

Los dos fragmentos cuyas velocidades forman con el radio vector ángulos φ y 180-φ, tienen el mismo momento angular y la misma energía. Sus trayectorias son simétricas respecto del eje X, tal como podemos ver en la figura.

Ejemplos

Para resolver estos ejemplos se adopta un Sistema de Unidades tal que GM=1

Supongamos que introducimos los siguientes valores

Cuando el ángulo es φ=0.

La distancia máxima que alcanza el fragmento en la dirección radial es

1 2 0.5 2 1.0 3.0 = 1.0 r r=4.8

Cuando φ=90.

Primero, calculamos la velocidad de escape a la distancia r0=3.0, que es

v e 2 = 2 3

Después, calculamos la velocidad y la distancia máxima o mínima al centro de fuerzas

v 2 = 2/3 0.5 0.5=0.83 r 2 =3 0.5 2 2/3 0.5 2 =1.8

El eje mayor de la elipse es 2a= 3.0+1.8=4.8

El eje mayor de la elipse se puede obtener de forma directa mediante la fórmula

2a= mGM E = 1 0.21 =4.8

El periodo de todos los fragmentos es

P 2 = 4 π 2 a 3 GM = 4 π 2 2.4 3 1.0 P=23.36

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

No se aceptan valores de v0 y r0 que den lugar:

En el caso de que los dos valores sean aceptados, se observa las trayectorias de los fragmentos cuya velocidad forma ángulos de 30º, 60º, 90º, 120º y 150º con el radio vector.

Observamos que todas las trayectorias tienen el mismo eje mayor y por tanto, los fragmentos se vuelven a encontrar en el punto de partida transcurrido un periodo P.


Envolvente de las trayectorias elípticas de la misma energía

Obtuvimos por dos procedimientos la ecuación de la trayectoria elíptica en términos del ángulo de disparo φ

r 0 r = cosφ sinφ sinθ+cosθ+ p( 1cosθ ) 2 sin 2 φ

La ecuación de la envolvente de las trayectorias elípticas se obtiene derivando la ecuación de la elipse, f(r,θ,φ)=0 con respecto a φ e igualando a cero.

f φ =0

y combinando ésta con la ecuación de la trayectoria f(r,θ,φ)=0 para eliminar el ángulo φ. La derivada con respecto a φ vale

sinθ sin 2 φ + p(1cosθ) 2 2cosφ sin 3 φ =0

Simplificando llegamos a la expresión

tanφ= p(1cosθ) sinθ

Introducimos esta expresión en la ecuación de la elipse, teniendo en cuenta la relación trigonométrica

sin 2 φ= tan 2 φ 1+ tan 2 φ

realizando algunas operaciones

r 0 r = 1 2 sin 2 θ+ p 2 (1cosθ) 2 2p(1cosθ) +cosθ sin 2 θ p(1cosθ) r 0 r = 1 2 p 2 (1cosθ)(1+cosθ) p +cosθ r 0 r = 1 2 { ( p 1 p )( p+ 1 p 2 )cosθ } r 0 r = 1 2 { ( p 1 p ) ( p 1 p ) 2 cosθ }

y despejando r, obtenemos la ecuación de la elipse

r= 2 r 0 ( p 1 p ) ( p 1 p ) 2 cosθ

Calculamos el semieje mayor a y el semieje menor b de la elipse

θ=0 r 1 = r 0 p p1 θ=π r 2 = r 0 1 p1 a= r 1 + r 2 2 = r 0 2 p+1 p1 c=a r 2 = r 0 2 b= a 2 c 2 = r 0 p p1

La ecuación de la elipse en coordenadas rectangulares es

( x r 0 /2 ) 2 a 2 + y 2 b 2 =1p= 2GM r 0 v 0 2

Se dibuja las trayectorias elípticas de las partículas disparadas con ángulos φ=30°, 60°, 90°, 120°, 150°. Se dibuja también la envolvente de dichas elipses.

r0=3; %posición inicial
p=1.5; %parámetro adimensional
r=@(phi,x) r0./(-cos(phi)*sin(x)/sin(phi)+cos(x)+p*(1-cos(x))/(2*sin(phi)^2));
theta=0:pi/180:2*pi;
hold on
for k=1:5
%trayectorias
    plot(r(pi*k/6,theta).*cos(theta),r(pi*k/6,theta).*sin(theta)
,'displayName',num2str(k*30))
end
rEnv=@(x) 2*r0./((p-1/p)-(sqrt(p)-1/sqrt(p))^2*cos(x));
plot(rEnv(theta).*cos(theta),rEnv(theta).*sin(theta)
,'k', 'displayName','envolvente')

hold off
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Envolvente')

Referencias

Butikov E. Families of Keplerian orbits. Eur. J. Phys. 24 (2003) pp. 175-183

Laporte O., On Kepler ellipses starting from a point of space. Am. J. Phys. 38 (7) July 1970, pp. 837-840