Sistemas aislados

Sistema formado por una barca y el barquero

Un problema típico de sistema aislado de dos partículas interactuantes es el sistema formado por un barco y su barquero. Si la barca está tocando con el muelle y el barquero está situado en la popa del barco, cuando camina hacia la proa observa que el barco se aleja del muelle.

Si la masa del barco es M y la del barquero es m y la longitud del barco es L. La posición del centro de masas del sistema barco-barquero está en xc medido desde la proa del barco

x c = ML/2+mL M+m

La posición xc está entre el c.m. del barco (en la mitad L/2) y la posición del barquero (L), marcada por un punto rojo en la figura.

Cuando el barquero se mueve hacia la proa, el c.m. del sistema no modifica su posición, ya que se trata de un sistema aislado, cuyo c.m. estaba inicialmente en reposo

Como vemos en la figura inferior, el hombre se ha desplazado hacia la izquierda, 2·(L-xc)=ML/(m+M) y lo que se ha desplazado el barco respecto del muelle, 2·xc-L=mL/(m+M).

Supongamos que el barquero se mueve hacia la proa con velocidad constante -v sobre el barco. El barco se moverá hacia la derecha con velocidad constante V, de modo que

m(v+V)+MV=0 V= m m+M v

El barquero tarda un tiempo t=L/v en atravesar el barco, en este tiempo el barco se ha desplazado hacia la derecha V·L/v=mL/(m+M). En este mismo tiempo, el barquero se desplazado

( v+V ) L v =( v+ m m+M v ) L v = M m+M L

Actividades

Se pueden presentar dos casos:

Se introduce

Se puede activar o desactivar la casilla titulada c.m. en movimiento (si queremos que el centro de masas del sistema está en movimiento o en reposo).

Se pulsa el botón Nuevo.

La posición del c.m. del sistema viene señalado por una línea vertical de color azul. Mientras que la posición del c.m. de cada uno de los cuerpos (situada en sus centros) está señalada por una línea vertical de color rojo.

Ejemplo 1:

Introducimos los siguientes datos

La posición del c.m. está en el origen  xc=0. Si el barquero se desplaza 50 cm hacia la derecha sobre el barco, el barco se deslaza xb hacia la izquierda. Podemos calcular este desplazamiento a partir de la definición de centro de masa.

0= 200· x b +80(50+ x b ) 200+80 x b =14.2cm

Si ahora activamos la casilla titulada c.m. en movimiento. Observaremos que la velocidad del c.m. es constante e igual a vc=25 cm/s. La velocidad del barquero relativa al barco es de 50 cm/s. La velocidad del barco se calcula a partir de la fórmula de la velocidad del c.m.

25= 200· v b +80(50+ v b ) 200+80 v b =10.7cm/s

Ejemplo 2:

Introducimos los siguientes datos

Si ahora activamos la casilla titulada c.m. en movimiento. Observaremos que la velocidad del c.m. es constante e igual a vc=25 cm/s.


Una rana salta sobre una tabla

Una tabla de masa M y longitud L flota encima del agua de un estanque, una rana de masa m está situada en uno de los extremos de la tabla, salta con velocidad v0 relativa a la tabla haciendo un ángulo θ con la horizontal.

Vamos a estudiar el movimiento de la rana sobre la tabla, el movimiento de la tabla y del centro de msas del sistema

El momento lineal inicial del sistema aislado es cero

Supongamos que la tabla se mueve con velocidad u inmediatamente después de que la rana salte. La velocidad horizontal de la rana respecto al estanque es v0cosθ+u. El momento lineal del sistema será

m(u+ v 0 cosθ)+Mu=0 u= m v 0 cosθ m+M

El movimiento de la rana sobre la tabla es el tiro parabólico

a { a x =0 a y =g v { v x = v 0 cosθ v y = v 0 sinθgt r { x= v 0 cosθ·t y= v 0 sinθ·t 1 2 g t 2

El tiempo de vuelo T hasta que la rana regresa a la tabla y=0 es

T= 2 v 0 sinθ g

La rana se habrá desplazado sobre la tabla

x= v 0 2 sin( 2θ ) g

Como vemos en la figura, las posiciones de la tabla y de la rana respecto del estanque son.

x t =ut x r = x t + v 0 cosθt

La posición del centro de masas en el instante t no cambia

x cm = M( ut+L/2 )+m( ut+ v 0 cosθ·t ) m+M = ML/2 m+M

En un sistema aislado si el centro de masas está inicialmente en reposo, seguirá en la misma posición.

Ejemplo

La velocidad v0 con la que debe saltar la rana para alcanzar el otro extremos de la tabla es

L= v 0 2 sin( 2θ ) g

v0=3.36 m/s

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos em movimiento de la rana y de la tabla. En la parte superior izquierda, se proporcionan los siguientes datos: tiempo, posición de la tabla y posición de la rana respecto de la tabla