Movimiento en una superficie parabólica

Consideremos una partícula de masa m que se mueve sobre una superficie parabólica de revolución de ecuación , bajo la acción de su propio peso. En un instante dado t, las coordenadas de la partícula son (ρ, φ ,z). La posición de la partícula en dicho instante es
Derivando con respecto del tiempo obtenemos las componentes de la velocidad
La energía cinética es
La energía potencial es
La lagrangiana L=T-V es
Ecuaciones del movimiento
La primera ecuación del movimiento es
La segunda ecuación del movimiento es
Principios de conservación
Como la lagrangiana L es independiente de φ, obtenemos una cantidad h que se conserva
Comprobamos que h está relacionado con la componente Z del momento angular
La primera ecuación del movimiento se convierte en
que a su vez es la derivada con respecto del tiempo de una cantidad que se conserva, la energía
La conservación de la energía ε se expresa
Para un valor dado de ε el movimiento en la dirección radial tiene lugar entre las distancias ρ1 y ρ2 dados por las soluciones de la ecuación
Trayectoria sobre la superficie parabólica
Para representar la trayectoria seguida por la partícula, partimos de la posición ρ=ρ1 en el que se cumple que dρ/dt=0, establecemos φ=0. Determinamos la constante h a partir de los datos de ρ1 y ρ2.
Integramos las dos ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales señaladas para obtener la trayectoria ρ=ρ(φ) sobre la superficie parabólica.
k=0.5; %superficie parabólica r1=1; r2=4; %radios mínimo y máximo %cuadrado del moemnto angular Lz h2=9.8*k*r2^2*r1^2; x0=[r1,0,0]; %condiciones iniciales tspan=[0,20]; % x(1)=r, x(2)=dr/dt,x(3)=phi fg=@(t,x)[x(2);(-k^2*x(1)*x(2)^2+h2/x(1)^3-9.8*k*x(1))/(1+k^2*x(1)^2); sqrt(h2)/x(1)^2]; [t,x]=ode45(fg,tspan,x0); xp=x(:,1).*cos(x(:,3)); yp=x(:,1).*sin(x(:,3)); zp=k*x(:,1).^2/2; hold on view(130,80) %superficie cónica phi=linspace(0,2*pi,40); r=linspace(0,4); [phi,r]=meshgrid(phi,r); x=r.*cos(phi); y=r.*sin(phi); z=k*r.^2/2; h1=mesh(x,y,z); set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6], 'FaceAlpha',0.5,'EdgeAlpha',0.5) %trayectoria h1=line(xp,yp,zp); set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5) hold off grid on xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') title('Movimiento en una superficie parabólica')
Referencias
Sean A. Genis, Carl E. Mungan. Orbits on a concave frictionless surface. Washington Academy of Sciences, summer 2007
Este artículo está disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/_files/documents/Publications/EJP17.pdf