Movimiento en una superficie parabólica

Consideremos una partícula de masa m que se mueve sobre una superficie parabólica de revolución de ecuación z= 1 2 k ρ 2 , bajo la acción de su propio peso. En un instante dado t, las coordenadas de la partícula son (ρ, φ ,z). La posición de la partícula en dicho instante es

{ x=ρcosφ y=ρsinφ z

Derivando con respecto del tiempo obtenemos las componentes de la velocidad

{ dx dt = dρ dt cosφρsinφ dφ dt dy dt = dρ dt sinφ+ρcosφ dφ dt dz dt

La energía cinética es

T= 1 2 m( ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 + ( dz dt ) 2 )= 1 2 m( ( dρ dt ) 2 + ρ 2 ( dφ dt ) 2 + ( dz dt ) 2 )= 1 2 m( ( 1+ k 2 ρ 2 ) ( dρ dt ) 2 + ρ 2 ( dφ dt ) 2 )

La energía potencial es

V=mgz= 1 2 mgk ρ 2

La lagrangiana L=T-V es

L= 1 2 m( ( 1+ k 2 ρ 2 ) ( dρ dt ) 2 + ρ 2 ( dφ dt ) 2 ) 1 2 mgk ρ 2

Ecuaciones del movimiento

La primera ecuación del movimiento es

d dt ( L ρ ˙ ) L ρ =0 ( 1+ k 2 ρ 2 ) d 2 ρ d t 2 + k 2 ρ ( dρ dt ) 2 ρ ( dφ dt ) 2 +gkρ=0

La segunda ecuación del movimiento es

d dt ( L φ ˙ ) L φ =0 ρ 2 d 2 φ d t 2 =0

Principios de conservación

Como la lagrangiana L es independiente de φ, obtenemos una cantidad h que se conserva

ρ 2 dφ dt =h

Comprobamos que h está relacionado con la componente Z del momento angular L = r ×m v

L z =m( x dy dt y dx dt )=m ρ 2 dφ dt

La primera ecuación del movimiento se convierte en

( 1+ k 2 ρ 2 ) d 2 ρ d t 2 + k 2 ρ ( dρ dt ) 2 h 2 ρ 3 +gkρ=0

que a su vez es la derivada con respecto del tiempo de una cantidad que se conserva, la energía

1 2 d dt { ( 1+ k 2 ρ 2 ) ( dρ dt ) 2 + h 2 ρ 2 +gk ρ 2 }=0

La conservación de la energía ε se expresa

ε=( 1+ k 2 ρ 2 ) ( dρ dt ) 2 + h 2 ρ 2 +gk ρ 2

Para un valor dado de ε el movimiento en la dirección radial tiene lugar entre las distancias ρ1 y ρ2 dados por las soluciones de la ecuación

ε= h 2 ρ 2 +gk ρ 2

Trayectoria sobre la superficie parabólica

Para representar la trayectoria seguida por la partícula, partimos de la posición ρ=ρ1 en el que se cumple que dρ/dt=0, establecemos φ=0. Determinamos la constante h a partir de los datos de ρ1 y ρ2.

ε= h 2 ρ 1 2 +gk ρ 1 2 = h 2 ρ 2 2 +gk ρ 2 2 h= gk ρ 2 ρ 1

Integramos las dos ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales señaladas para obtener la trayectoria ρ=ρ(φ) sobre la superficie parabólica.

( 1+ k 2 ρ 2 ) d 2 ρ d t 2 + k 2 ρ ( dρ dt ) 2 h 2 ρ 3 +gkρ=0 ρ 2 dφ dt =h

k=0.5; %superficie parabólica
r1=1;
r2=4; %radios mínimo y máximo
%cuadrado del moemnto angular Lz
h2=9.8*k*r2^2*r1^2; 
x0=[r1,0,0]; %condiciones iniciales
tspan=[0,20];
% x(1)=r, x(2)=dr/dt,x(3)=phi
fg=@(t,x)[x(2);(-k^2*x(1)*x(2)^2+h2/x(1)^3-9.8*k*x(1))/(1+k^2*x(1)^2); 
sqrt(h2)/x(1)^2];
[t,x]=ode45(fg,tspan,x0);
xp=x(:,1).*cos(x(:,3));
yp=x(:,1).*sin(x(:,3));
zp=k*x(:,1).^2/2;
 
hold on
view(130,80)
%superficie cónica
phi=linspace(0,2*pi,40);
r=linspace(0,4);
[phi,r]=meshgrid(phi,r);
x=r.*cos(phi);
y=r.*sin(phi);
z=k*r.^2/2;
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6], 'FaceAlpha',0.5,'EdgeAlpha',0.5)
 
%trayectoria
h1=line(xp,yp,zp);
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)
 
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Movimiento en una superficie parabólica')

Referencias

Sean A. Genis, Carl E. Mungan. Orbits on a concave frictionless surface. Washington Academy of Sciences, summer 2007

Este artículo está disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/_files/documents/Publications/EJP17.pdf