Movimiento de una partícula unida a un muelle elástico a lo largo de una elipse vertical

Equilibrio y estabilidad

Establecemos el origen del Sistema de Referencia en el centro de la elipse de semiejes a y b. Las coordenadas de la partícula son: x=a·cosθ, y=a·sinθ

La distancia r de la partícula al origen es

r 2 = x 2 + y 2 = a 2 cos 2 θ+ b 2 sin 2 θ

La partícula está bajo la influencia de dos fuerzas conservativas: el peso mg y la acción del muelle elástico kr. Las energías potenciales correspondientes a estas dos fuerzas son:

V=mgy+ 1 2 k r 2 =mgbsinθ+ 1 2 k( a 2 cos 2 θ+ b 2 sin 2 θ )

Los puntos de equilibrio se obtienen cuando la energía potencial V es un extremo

V θ =( mgbk( a 2 b 2 )sinθ )cosθ=0

Una solución es cosθ=0, θ=±π/2. La otra solución

sinθ= m k gb a 2 b 2

Calculamos la derivada segunda, para determinar si una posición de equilibrio es estable o inestable

2 V θ 2 =k( a 2 b 2 )( sin 2 θ cos 2 θ )mgbsinθ

La posición de equilibrio es estable si la derivada segunda es positiva (mínimo de V), en caso contrario, la posición de equilibrio sería inestable (máximo)

Representación gráfica de la energía potencial V

Representamos la energía potencial V en función de la posición angular θ.

Sea el semieje mayor a=2, el semieje menor b=1 y el cociente k/m=20. Vemos que para θ=π/2, θ=-π/2 la energía potencial V presenta un mínimo y para los ángulos θ1=9.4° y 180-θ1=170.6° presenta un máximo

a=2; %semieje mayor
b=1; %semieje menor
k=20; %cociente k/m
V=@(x) 9.8*b*sin(x)+k*((a*cos(x)).^2+(b*sin(x)).^2)/2;
fplot(V,[-pi,pi])
set(gca,'XTick',-pi:pi/4:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-\pi','-3\pi/4','-\pi/2','-\pi/4','0'
,'\pi/4','\pi/2','3\pi/4','\pi' })
xlabel('\theta')
ylabel('V')
title('Energía potencial')
grid on

Sea el semieje mayor a=2, el semieje menor b=1, y el cociente k/m=2. Vemos que para θ=-π/2 la energía potencial V presenta un mínimo y para θ=π/2 un máximo. El ángulo θ1 no existe.

Ecuación del movimiento

Dada la posición de la partícula, x=a·cosθ, y=a·sinθ, derivando respecto del tiempo obtenemos las componentes de su velocidad

dx dt =asinθ dθ dt dy dt =bcosθ dθ dt

La energía cinética T es

T= 1 2 m{ ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 }= 1 2 m( a 2 sin 2 θ+ b 2 cos 2 θ ) ( dθ dt ) 2

La lagrangiana L=T-V y la ecuación del movimiento son

L= 1 2 m( a 2 sin 2 θ+ b 2 cos 2 θ ) ( dθ dt ) 2 mgbsinθ 1 2 k( a 2 cos 2 θ+ b 2 sin 2 θ ) d dt ( L θ ˙ ) L θ =0 ( a 2 sin 2 θ+ b 2 cos 2 θ ) d 2 θ d t 2 +( a 2 b 2 )( ( dθ dt ) 2 k m )sinθcosθ+gbcosθ=0

Resolvemos la ecuación diferencial del movimiento con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, θ=θ0, dθ/dt=0

a=2; %semieje mayor
b=1; %semieje menor
k=2; %cociente k/m
x0=[-80*pi/180,0];
f=@(t,x) [x(2); ((k-x(2)^2)*sin(x(1))*cos(x(1))*(a^2-b^2)-9.8*b*cos(x(1)))
/((a*sin(x(1)))^2+(b*cos(x(1)))^2)]; 
[t,x]=ode45(f,[0,12],x0);
plot(t,x(:,1))
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Posición angular en función del tiempo')
%la energía se mantiene constante
E=9.8*b*sin(x(:,1))+k*((a*cos(x(:,1))).^2+(b*sin(x(:,1))).^2)/2+
((a*sin(x(:,1))).^2+(b*cos(x(:,1))).^2).*(x(:,2).^2)/2;

El ángulo inicial θ=-80° es próximo al de equilibrio estable, -π/2. La partícula describe una oscilación en torno a dicho punto con un determinado periodo, que se puede medir en la ventana gráfica

El procedimiento numérico ode45, no resuelve adecuadamente la ecuación diferencial para la posición θ=80°, próxima a la de equilibrio inestable π/2, (muy lejos del equilibrio estable, -π/2), el procedimiento ode15s, lo resuelve mejor

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte superior de la ventana gráfica se muestra el tiempo t, el ángulo θ y la velocidad angular dθ/dt.

Se calcula la energía total E/m que permanece constante

E m = 1 2 ( a 2 sin 2 θ+ b 2 cos 2 θ ) ( dθ dt ) 2 +gbsinθ+ 1 2 k m ( a 2 cos 2 θ+ b 2 sin 2 θ )


Referencias

Ahmad A. Kamal. 1000 Solved Problems in Classical Physics. An Exercise Book. Springer Verlag 2011. Problema 7.30, enunciado, 294, solución, 331