Las ecuaciones de Lagrange

La aplicación de la mecánica de Lagrange da lugar a n ecuaciones diferenciales correspondientes a n coordenadas generalizadas. El símbolo qi representa una coordenada generalizada (x, θ, φ, etc). Mostraremos la potencia y sencillez de la formulación de Lagrange

Si T es la energía cinética y V la potencial, entonces la lagrangiana L=T-V. La ecuación de Lagrange correspondiente a la coordenada generalizada qi es

d dt ( L q ˙ i ) L q i =0i=1,2,3...

El punto encima de la letra q, significa derivada con respecto del tiempo

El péndulo simple

Supongamos que un péndulo simple de masa m y longitud l, se encuentra desviado θ de la posición de equilibrio y lleva una velocidad v=l·(dθ/dt), tangente a la trayectoria circular. La energía cinética de la partícula es

T= 1 2 m v 2 = 1 2 m l 2 ( dθ dt ) 2

Estableciedo el nivel cero de la energía potencial en el punto de suspensión, la energía potencial de la partícula es V=-mgcosθ

La lagrangiana L=T-V es

L=TV= 1 2 m l 2 ( dθ dt ) 2 +mglcosθ= 1 2 m l 2 θ ˙ 2 +mglcosθ

La ecuación del movimiento

d dt ( L θ ˙ ) L θ =0 d dt ( m l 2 θ ˙ )+mglsinθ=0 d 2 θ d t 2 + g l sinθ=0

Péndulo simple que cuelga del techo de un vagón que acelera

Un vagón se mueve con aceleración constante a. Del techo del vagón cuelga un péndulo simple de masa m y longitud l. Vamos aplicar las ecuaciones de Lagrange para determinar la ecuación diferencial del movimiento del péndulo

En el instante t, la posición de la masa m es

{ x= 1 2 a t 2 +lsinθ y=lcosθ

Supondremos que el vagón parte del origen en reposo. Derivando obtenemos la velocidad de la partícula

{ dx dt =at+lcosθ dθ dt dy dt =lsinθ dθ dt

La energía cinética de la partícula es

T= 1 2 m( ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 )= 1 2 m( a 2 t 2 + l 2 ( dθ dt ) 2 +2lcosθ dθ dt at )

La energía potencial de la partícula es V=-mgcosθ

La lagrangiana L=T-V es

L= 1 2 m( a 2 t 2 + l 2 ( dθ dt ) 2 +2lcosθ dθ dt at )+mglcosθ L= 1 2 m( a 2 t 2 + l 2 θ ˙ 2 +2lcosθ· θ ˙ ·at )+mglcosθ

La ecuación del movimiento

d dt ( L θ ˙ ) L θ =0 d 2 θ d t 2 + g l sinθ+ a l cosθ=0

Movimiento de los cuerpos celestes

Consideremos un cuerpo celeste de masa m que se mueve alrededor de un centro fijo de fuerzas (por ejemplo el Sol) de masa M, situado en el origen.

La posición del cuerpo en coordenadas polares es

{ x=rcosθ y=rsinθ

La velocidad del cuerpo celeste y su energía cinética es

{ dx dt = dr dt cosθrsinθ dθ dt dy dt = dr dt sinθ+rcosθ dθ dt T= 1 2 m v 2 = 1 2 m{ ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 }= 1 2 m{ ( dr dt ) 2 + r 2 ( dθ dt ) 2 }

la energía potencial

V=G Mm r

La lagrangiana L=T-V es

L=TV= 1 2 m( r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 )+G Mm r

La lagrangiana es función de dos coordenadas r y θ. Por tanto, hay dos ecuaciones del movimiento. La primera es

d dt ( L r ˙ ) L r =0 d dt ( m r ˙ )mr θ ˙ 2 +G Mm r 2 =0 d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 +G M r 2 =0

La segunda es

d dt ( L θ ˙ ) L θ =0 d dt ( m r 2 θ ˙ )=0 d dt ( r 2 dθ dt )=0

Esta ecuación nos dice que hay una magnitud r2(dθ/dt), momento angular, que se mantiene constante

La máquina de Atwood

Una máquina de Atwood es un dispositivo consta de una polea de radio R y momento de inercia I, y dos masas m1 y m2 que cuelgan de una cuerda que pasa por una polea y se mueven con la misma velocidad v. Si la cuerda no resbala la velocidad angular de rotación de la polea ω=v/R.

La energía cinética del sistema formado por los tres cuerpos es

T= 1 2 m 1 v 2 + 1 2 m 2 v 2 + 1 2 I ω 2 = 1 2 ( m 1 + m 2 + I R 2 ) ( dx dt ) 2

Estableciendo el nivel cero de energía potencial en el eje de la polea. La energía potencial del sistema es

V= m 1 gx m 2 g(lx)

La lagrangiana L=T-V es

L=TV= 1 2 ( m 1 + m 2 + I R 2 ) x ˙ 2 + m 1 gx+ m 2 g(lx)

La ecuación del movimiento

d dt ( L x ˙ ) L x =0 d dt ( ( m 1 + m 2 + I R 2 ) x ˙ ) m 1 g+ m 2 g=0 ( m 1 + m 2 + I R 2 ) d 2 x d t 2 =( m 1 m 2 )g

Una máquina doble de Atwood

Consideremos el siguiente sistema mecánico formado por los bloques de masas m1, m2 y m3. Los bloques de masas m2 y m3 forman una máquina de Atwood pero la polea de masa despreciable no es fija sino móvil. Esta polea forma parte de otra máquina de Atwood con la masa m1, la polea superior de masa despreciable es fija.

Descripción en términos de fuerzas

Dibujamos los vectores fuerza sobre cada cuerpo y sus aceleraciones

Supongamos que el bloque de masa m1 asciende con una aceleración a1=-a, bajo la acción de dos fuerzas 2T y m1g. Donde 2T es la tensión de las cuerda que une m1 y la polea móvil a través de la polea fija. La ecuación del movimiento es

2T-m1g=m1a

La polea móvil desciende con una aceleración a. Dentro de la caja de color rojo, los bloques de masa m2 y m3 se mueven con aceleración a'.

La tensión de la cuerda que une los bloques de masas m2 y m3 a través de la polea móvil es T.

{ 2T m 1 g= m 1 a m 2 gT= m 2 (aa') m 3 gT= m 3 (a+a')

Eliminando la tensión T se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a y a'

{ ( m 1 + m 2 + m 3 )a+( m 3 m 2 )a'=( m 2 + m 3 m 1 )g ( m 3 m 2 )a+( m 3 + m 2 )a'=( m 3 m 2 )g

La solución de este sistema es

a= 4 m 2 m 3 m 1 m 2 m 1 m 3 4 m 2 m 3 + m 1 m 2 + m 1 m 3 g a'= 2 m 1 ( m 3 m 2 ) 4 m 2 m 3 + m 1 m 2 + m 1 m 3 g

Si el eje X apunta hacia abajo, las aceleraciones de los bloques son:

a 1 =a= 4 m 2 m 3 + m 1 m 2 + m 1 m 3 4 m 2 m 3 + m 1 m 2 + m 1 m 3 g a 2 =aa'= 4 m 2 m 3 3 m 1 m 3 + m 1 m 2 4 m 2 m 3 + m 1 m 2 + m 1 m 3 g a 3 =a+a'= 4 m 2 m 3 + m 1 m 3 3 m 1 m 2 4 m 2 m 3 + m 1 m 2 + m 1 m 3 g

Ecuaciones de Lagrange

Sea lx la longitud de la cuerda que pasa a través de la polea superior, y ly la longitud de la cuerda que pasa por la polea móvil. Tomamos el sentido positivo del eje X hacia abajo. Las posiciones de las partículas son:

x1=lx-x
x2=x+(ly-y)
x3=x+y

Las velocidades de las partículas son:

d x 1 dt = dx dt d x 2 dt = dx dt dy dt d x 3 dt = dx dt + dy dt

La energía cinética del sistema de tres masas es

T= 1 2 m 1 ( d x 1 dt ) 2 + 1 2 m 2 ( d x 2 dt ) 2 + 1 2 m 3 ( d x 3 dt ) 2 = 1 2 ( m 1 + m 2 + m 3 ) ( dx dt ) 2 + 1 2 ( m 2 + m 3 ) ( dy dt ) 2 +( m 3 m 2 )( dx dt )( dy dt )

La energía potencial es

V= m 1 g x 1 m 2 g x 2 m 3 g x 3 = ( m 2 + m 3 m 1 )gx( m 3 m 2 )gy m 1 g l x m 2 g l y

La lagrangiana L=T-V es

L= 1 2 ( m 1 + m 2 + m 3 ) ( dx dt ) 2 + 1 2 ( m 2 + m 3 ) ( dy dt ) 2 +( m 3 m 2 )( dx dt )( dy dt ) +( m 2 + m 3 m 1 )gx+( m 3 m 2 )gy+ m 1 g l x + m 2 g l y

La lagrangiana depende de dos parámetros x e y. La primera ecuación del movimiento es

d dt ( L x ˙ ) L x =0 d dt ( ( m 1 + m 2 + m 3 ) x ˙ +( m 3 m 2 ) y ˙ )( m 2 + m 3 m 1 )g=0 ( m 1 + m 2 + m 3 ) d 2 x d t 2 +( m 3 m 2 ) d 2 y d t 2 =( m 2 + m 3 m 1 )g

La segunda ecuación del movimiento es

d dt ( L y ˙ ) L y =0 d dt ( ( m 2 + m 3 ) y ˙ +( m 3 m 2 ) x ˙ )( m 3 m 2 )g=0 ( m 2 + m 3 ) d 2 y d t 2 +( m 3 m 2 ) d 2 x d t 2 =( m 3 m 2 )g

Se trata de las mismas ecuaciones que hemos obtenido mediante las leyes de Newton con a=d2x/dt2 y a'=d2y/dt2