Varilla que se mueve en un campo magnético uniforme. Efecto de un condensador

Ecuación del circuito

La fem inducida Vε de acuerdo a la ley de Faraday es

V ε = dΦ dt

El flujo Φ=B·S=-B·a·x

Derivando el flujo Φ respecto del tiempo y cambiando de signo

Vε=B·a·v

Siendo a la distancia entre los raíles, menor que la longitud L de la varilla y v la velocidad de la varilla.

El sentido de la corriente inducida, de acuerdo a la ley de Lenz, es contrario a las agujas del reloj.

En el circuito equivalente de la figura

V AB + V BC + V CD + V DA =0 q C +iR V ε =0 dq dt + q RC = Bav R

Ecuación del movimiento de la varilla

Una corriente i que circula por la porción de varilla de longitud a, experimenta una fuerza F en el seno de un campo magnético uniforme B.

F=i·ut×B·a

donde ut es un vector unitario que señala la dirección y sentido del movimiento de los portadores de carga (positivos).

Como el campo magnético B es perpendicular a la varilla. El módulo de F es

F=iBa

Es un vector paralelo a los raíles y cuyo sentido es hacia la izquierda, tal como se señala en la figura.

Si despreciamos la fuerza de rozamiento entre la varilla y los raíles, la ecuación del movimiento de la varilla de masa m es.

m dv dt =iBa m dv dt = dq dt Ba

Integramos esta ecuación con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, v=v0 y q=q0. Donde v0 es la velocidad inicial de la varilla y q0 es la carga inicial del condensador.

m v 0 v dv =Ba q 0 q dq mv=m v 0 Baq+Ba q 0

Carga del condensador

En la ecuación del circuito eliminamos v

dq dt + q RC = Ba R ( v 0 Ba m q+ Ba m q 0 ) dq dt + 1 RC ( 1+ B 2 a 2 C m )q= Ba R ( v 0 + Ba m q 0 ) dq dt + α RC q=K

La solución de esta ecuación diferencial es

q=Aexp( αt RC )+ KRC α

El coeficiente A se determina a partir de la siguiente condición inicial: en el instante t=0, la carga del condensador es q0

q=( q 0 KRC α )exp( αt RC )+ KRC α

Después de un tiempo grande, t→∞, la carga final del condensador es

Q f = BaC α ( v 0 + Ba m q 0 )α=1+ B 2 a 2 C m

La carga q del condensador en función del tiempo t la expresamos

q=( q 0 Q f )exp( αt RC )+ Q f

Si q0>Qf  el condensador se descarga,

q 0 > BaC α ( v 0 + Ba m q 0 ) q 0 >BaC v 0

La intensidad de la corriente es

i= dq dt = α RC ( q 0 Q f )exp( αt RC )

La intensidad de la corriente disminuye exponencialmente con el tiempo

Posición y velocidad de la varilla

De la relación

mv=m v 0 Baq+Ba q 0 v= v 0 + Ba m ( q 0 Q f )( 1exp( αt RC ) )

Después de un tiempo grande, t→∞, la velocidad final del de la varilla es

V f = v 0 + Ba m ( q 0 Q f )= 1 α ( v 0 + Ba m q 0 )

Integramos respecto del tiempo y obtenemos la posición de la varilla x en función del tiempo. La condición inicial es: en el instante t=0, la posición inicial de la varilla es x0

dx dt = v 0 + Ba( q 0 Q f ) m Ba( q 0 Q f ) m exp( αt RC ) x 0 x dx = 0 t v dt x= x 0 +( v 0 + Ba m ( q 0 Q f ) )t RC α Ba m ( q 0 Q f )( 1exp( αt RC ) )

Estudio energético

La energía almacenada en forma de campo eléctrico en el condensador  en el instante t=0 y el instante t es

E C0 = 1 2 q 0 2 C E C = 1 2 q 2 C

La energía disipada en la resistencia durante ese mismo tiempo es

E R = 0 t i 2 R·dt = 0 t α 2 R C 2 ( q 0 Q f ) 2 exp( 2αt RC )·dt = = α 2C ( q 0 Q f ) 2 ( 1exp( 2αt RC ) )

Después de un tiempo grande, t→∞, la energía disipada en la resistencia es

E R = α 2C ( q 0 Q f ) 2 = 1 2Cα ( q 0 BaC v 0 ) 2

La energía cinética inicial y final de la varilla es

E k0 = 1 2 m v 0 2 E k = 1 2 m v 2    

La energía disipada en la resistencia es (en valor absoluto) la diferencia entre la energía inicial y final

ER=(Ek0+EC0)-(Ek+ EC)

Se sugiere al lector que realice esta comprobación, primero para cuando  t→∞ y luego, para cualquier instante t.

Ejemplos:

  1. Carga y velocidad final después de un tiempo t→∞

  2. Q f = BaC α ( v 0 + Ba m q 0 )α=1+ B 2 a 2 C m α=1+ 0.4 2 0.5 2 ·1.0 0.01 =5 Q f = 0.4·0.5·1.0 5 0.1=0.004 C V f = v 0 + Ba m ( q 0 Q f ) V f =0.1+ 0.4·0.5 0.01 (00.004)=0.02

  3. Balance energético

  4. Energía inicial

    E i = 1 2 m v 0 2 + 1 2 q 0 2 C = 1 2 0.01· 0.1 2 =5· 10 5

    Energía final, después de un tiempo t→∞

    E f = 1 2 m V f 2 + 1 2 Q f 2 C = 1 2 0.01· 0.02 2 + 1 2 0.004 2 1 =1· 10 5

    Energía disipada en la resistencia

    E R = α 2C ( q 0 Q f ) 2 = 5 2·1.0 ( 00.004 ) 2 =4· 10 5

    La energía inicial es igual a la energía final más la energía disipada en la resistencia

Ejemplo 2:

  1. Carga y velocidad final después de un tiempo t→∞

  2. α=1+ 0.4 2 0.5 2 ·1.0 0.01 =5 Q f = 0.4·0.5·1.0 5 ( 0.4·0.5 0.01 0.02 )=0.016C   V f = 0.4·0.5 0.01 (0.020.016)=0.08

Ejemplo 3:

  1. Carga y velocidad final después de un tiempo t→∞

  2. α=1+ 0.4 2 0.5 2 ·1.0 0.01 =5 Q f = 0.4·0.5·1.0 5 ( 0.1+ 0.4·0.5 0.01 0.02 )=0.02C   V f =0.1+ 0.4·0.5 0.01 (0.020.02)=0.1

    Como la carga q0=Qf, la intensidad es nula, no se disipa energía en la resistencia y la varilla se mueve con velocidad constante.

Ejemplo 4:

Cuando el campo B=0, la velocidad de la varilla se mantiene constante, y tenemos el caso de la descarga de un condensador a través de una resistencia.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte superior se representa, el condensador, los raíles y la varilla.

La placa positiva del condensador se representa en color rojo y la negativa en color azul. La intensidad del color indica la cantidad de carga. El condensador descargado aparece en color blanco. Al lado del condensador se proporciona el dato de su carga.

El sentido de la corriente en el circuito, viene señalado por el movimiento de los portadores de carga (puntos de color rojo)

El campo magnético uniforme es perpendicular al plano de los raíles, apunta hacia el lector cuando está coloreado de rosa y en sentido contrario, si está coloreado de azul claro.

Al lado de la varilla se proporciona el dato de su posición

Un diagrama en forma de tarta, nos da una idea de la transformaciones energéticas:

En la parte derecha del gráfico, se representa la velocidad v de la varilla en función del tiempo, que tiende hacia un valor constante Vf. Se puede cambiar la escala vertical mediante el control titulado Escala vertical. Por defecto, la escala vertical se multiplica por la unidad



Referencias

Fatuzzo M., Toepker T. P., More track and field. The Physics Teacher Vol 42, September 2004, pp. 351-353