Varilla que se mueve en un campo magnético uniforme. Efecto de la autoinducción

Ecuación del circuito

La fem inducida Vε de acuerdo a la ley de Faraday es

V ε = dΦ dt

El flujo Φ=B·S=-B·a·x

Derivando el flujo Φ respecto del tiempo y cambiando de signo

Vε=B·a·v

Siendo a la distancia entre los raíles, menor que la longitud L de la varilla y v la velocidad de la varilla.

El sentido de la corriente inducida, de acuerdo a la ley de Lenz, es contrario a las agujas del reloj.

Como la intensidad aumenta, la autoinducción es equivalente a una batería de fem Ldi/dt

En el circuito equivalente de la figura

V AB + V BC + V CD + V DA =0 L di dt +iR V ε =0

Ecuación del movimiento de la varilla

Una corriente i que circula por la porción de varilla de longitud a, experimenta una fuerza F en el seno de un campo magnético uniforme B.

F=i·ut×B·a

donde ut es un vector unitario que señala la dirección y sentido del movimiento de los portadores de carga (positivos).

Como el campo magnético B es perpendicular a la varilla. El módulo de F es

F=iBa

Es un vector paralelo a los raíles y cuyo sentido es hacia la izquierda, es una fuerza de frenado.

Si despreciamos la fuerza de rozamiento entre la varilla y los raíles, la ecuación del movimiento de la varilla de masa m es.

m dv dt =iBa

La intensidad

En la ecuación del circuito derivamos respecto del tiempo

di dt +iRBav=0 L d 2 i d t 2 +R di dt Ba dv dt =0 L d 2 i d t 2 +R di dt + B 2 a 2 m i=0 d 2 i d t 2 +2γ di dt + ω 0 2 i=02γ= R L ω 0 2 = B 2 a 2 mL

Tenemos la ecuación de una oscilación amortiguada, cuya solución es

i=Aexp(γt)sin(ωt+φ) ω 2 = ω 0 2 γ 2 di dt =γAexp(γt)sin(ωt+φ)+ωAexp(γt)cos(ωt+φ)

ω es la frecuencia angular de la oscilación amortiguada, ω0 es la frecuencia natural del oscilador y γ es la constante de amortiguamiento

La amplitud inicial A y la fase inicial φ se determina  a partir de las condiciones iniciales. En nuestro caso son:

En el instante t=0, la velocidad inicial de la varilla es v0, la intensidad es nula, i=0.

De la ecuación del circuito tenemos que en el instante t=0.

L di dt +iRBav=0 di dt = Ba v 0 L

La amplitud inicial A y la fase inicial φ valen

0=Asinφ Ba v 0 L =γAsinφ+ωAcosφ φ=0A= Ba v 0 ωL

La intensidad que circula por la varilla en función del tiempo es

i= Ba v 0 ωL exp(γt)sin(ωt)

Posición y velocidad de la varilla

De la ecuación del movimiento de la varilla

m dv dt =Bai dv dt = B 2 a 2 v 0 mωL exp(γt)sin(ωt) dv dt = ω 0 2 v 0 ω exp(γt)sin(ωt)

Integramos esta ecuación diferencial con las condiciones iniciales siguientes, en el instante t=0, v=v0

v= v 0 ω 0 2 v 0 ω 0 t exp(γt)sin(ωt)dt

Se integra por partes

v= v 0 + v 0 exp(γt)( cos(ωt)+ γ ω sin(ωt) ) | 0 t v= v 0 exp(γt)( cos(ωt)+ γ ω sin(ωt) )

La velocidad y la intensidad están desfasadas.

cos(ωt)+ γ ω sin(ωt)=sin(ωt+φ)tanφ= ω γ

φ es el ángulo de desfase

Integramos de nuevo para obtener la posición x de la varilla en función del tiempo, sabiendo que en el instante t=0, parte del origen

x= v 0 0 t exp(γt)( cos(ωt)+ γ ω sin(ωt) )dt = v 0 ( 0 t exp(γt)cos(ωt)dt + γ ω 0 t exp(γt)sin(ωt)dt )= v 0 { ω ω 0 2 exp(γt)( sin(ωt) γ ω cos(ωt) ) γ ω ω ω 0 2 exp(γt)( cos(ωt)+ γ ω sin(ωt) ) } | 0 t = v 0 ω 0 2 exp(γt)( 2γsin(ωt) ω 0 2 ω cos(ωt) ) | 0 t x= v 0 ω 0 2 { 2γ+exp(γt)( ω 2 γ 2 ω sin(ωt)2γcos(ωt) ) }

Estudio energético

La energía cinética inicial es

E 0 = 1 2 m v 0 2

La energía en el instante t es la suma de tres contribuciones:

Comprobamos después de algunas operaciones que

E0=Ek+EB+ER

Cuando t→∞, la intensidad i tiende a cero, la energía en la autoinducción EB=0

La velocidad tiende a cero, la energía cinética final es Ek=0

La energía cinética inicial se disipa en la resistencia

E R = 0 i 2 R·dt = B 2 a 2 v 0 2 ω 2 L 2 R { 1 4γ exp(2γt) 1 4 ω ω 0 2 exp(2γt)( sin(2ωt) γ ω cos(2ωt) ) } 0 = B 2 a 2 v 0 2 ω 2 L 2 R{ 1 4γ γ 4 ω 0 2 }= B 2 a 2 v 0 2 4 ω 2 L 2 R ω 2 ω 0 2 γ = 1 2 m v 0 2

Casos particulares

R=0, L≠0

Tenemos oscilaciones armónicas de frecuencia ω0

i= Ba v 0 ω 0 L sin( ω 0 t) v= v 0 cos( ω 0 t) x= v 0 ω 0 sin( ω 0 t)

La suma de la energía cinética y la energía acumulada en la autoinducción es constante e igual a la energía cinética inicial. La autoinducción acumula energía potencial en forma de energía asociada al campo magnético.

E k = 1 2 m v 0 2 cos 2 ( ω 0 t) E B = 1 2 L B 2 a 2 v 0 2 ω 0 2 L 2 sin 2 ( ω 0 t)= 1 2 m v 0 2 sin 2 ( ω 0 t)

L=0, R≠0

La ecuación del circuito es

iR-Bav=0

La ecuación del movimiento de la varilla

m dv dt =iBa

Combinando ambas ecuaciones e integrando

dv dt = B 2 a 2 mR v dv v = B 2 a 2 mR dt v 0 v dv v = B 2 a 2 mR 0 t dt v= v 0 exp(kt)k= B 2 a 2 mR i= Ba R v 0 exp(kt)

La posición x de la varilla en función del tiempo t es

x= 0 t v·dt = 0 t v 0 exp(kt)·dt = v 0 k ( 1exp(kt) )

La energía cinética inicial de la varilla, se disipa en la resistencia

E 0 = 1 2 m v 0 2

Energía cinética de la varilla en el instante t

E k = 1 2 m v 2 = 1 2 m v 0 2 exp(2kt)

Energía disipada en la resistencia

E R = 0 t i 2 R·dt = B 2 a 2 R v 0 2 0 t exp(2kt)·dt = 1 2 m v 0 2 ( 1exp(2kt) )

Comprobamos que E0=Ek+ER

Cuando t→∞, la energía cinética inicial se disipa en la resistencia.

Ejemplo

Calcular la intensidad i, la velocidad v de la varilla y su posición x en el instante t=0.5 s

Las fórmulas que tenemos que emplear son

γ= R 2L ω 0 2 = B 2 a 2 mL ω 2 = ω 0 2 γ 2 i= Ba v 0 ωL exp(γt)sin(ωt) v= v 0 exp(γt)( cos(ωt)+ γ ω sin(ωt) ) x= v 0 ω 0 2 { 2γ+exp(γt)( ω 2 γ 2 ω sin(ωt)2γcos(ωt) ) }

i=0.357 A, v=-0.876 m/s, x=0.07 m

Balance energético

Energía inicial

E 0 = 1 2 m v 0 2 = 1 2 0.1· 1 2 =0.05J

La energía del campo magnético en la autoinducción es

E B = 1 2 L i 2 = 1 2 0.08· 0.357 2 =0.0051J

La energía cinética de la varilla es

E k = 1 2 m v 2 = 1 2 0.1· 0.857 2 =0.0384J

La energía disipada en la resistencia es la diferencia

ER=E0-Ek-EB=0.0065 J

Se puede comprobar que sale este resultado en la larga expresión de la energía disipada en la resistencia

E R = B 2 a 2 v 0 2 ω 2 L 2 R{ 1 4γ γ 4 ω 0 2 1 4γ exp(2γt) 1 4 ω ω 0 2 exp(2γt)( sin(2ωt) γ ω cos(2ωt) ) }

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte superior se representa, la bobina, los raíles y la varilla.

Al lado de la bobina se proporciona el dato de la intensidad en A

El campo magnético uniforme es perpendicular al plano de los raíles, apunta hacia el lector cuando está coloreado de rosa y en sentido contrario, si está coloreado de azul claro.

Al lado de la varilla se proporciona el dato de su posición

Un diagrama en forma de tarta, nos da una idea de la transformaciones energéticas.

En la parte derecha del gráfico, se representa la velocidad v de la varilla en función del tiempo.

El programa interactivo, no trata el caso de que la autoinducción sea nula, L=0, se estudia en la página Efectos mecánicos de la ley de Faraday" pero si el caso de que la resistencia sea nula R=0.

Tampoco trata las oscilaciones críticas y sobreamortiguadas, cuando γ≥ω0. Se estudian en la página "Efectos mecánicos de la ley de Faraday", en la sección, oscilaciones amortiguadas


Referencias

Hecking P., Energy ambiguity and the inductive rail oscillator. The Physics Teacher Vol 45, October 2004, pp. 445-449