Efectos mecánicos de la ley de Faraday

Autoinducción nula (R≠ 0, L=0)

Si la espira de anchura a, se ha introducido x en la región en la que existe campo magnético que apunta perpendicularmente al plano del dibujo y hacia dentro, el flujo a través de la espira será

Φ =B·S=-(ax)

Aplicando la ley de Faraday se obtiene la fem

V ε = dΦ dt =Bav

De acuerdo a la ley de Lenz el sentido de la corriente inducida i es antihorario, ya que el flujo aumenta.

Para una espira de resistencia R, la ecuación del circuito es Vε =iR

i= Bav R

La fuerza sobre el lado derecho de la espira es

F=i u t ×B·lF=iBa= B 2 a 2 R v

de sentido contrario a la velocidad v de la espira.

La ecuación del movimiento de la espira será

m dv dt = B 2 a 2 R v   

y la solución de la ecuación diferencial, con las condiciones iniciales t=0, v=v0, es

v= v 0 exp( t τ )τ= Rm B 2 a 2

La velocidad v de la espira disminuye exponencialmente con el tiempo.

A partir de la expresión de la velocidad en función del tiempo obtenemos la posición x del móvil que parte del origen en el instante inicial t=0, x=0

x= 0 t vdt = v 0 k ( 1exp(t/τ) )

A partir de la ecuación del circuito obtenemos la intensidad en función del tiempo

i= Ba R v 0 exp( t τ )

La intensidad i que circula por la espira disminuye exponencialmente con el tiempo.

Estas ecuaciones se aplican mientras que el lado derecho de la espira esté en el seno del campo magnético. Cuando ambos lados estén dentro de la región x≥ 0, la intensidad de la corriente inducida será cero y la fuerza que ejerce el campo magnético sobre la espira será nula y por tanto, la velocidad de la espira será constante.

Estudio energético

Comprobamos que la energía cinética inicial de la espira Ek, se disipa en la resistencia de la espira. La ley de Joule afirma que la energía por unidad de tiempo (potencia) disipada en la resistencia es i2R.

En cualquier instante, la suma de la energía cinética Ek de la espira y de la energía disipada en la resistencia ER es igual a la energía cinética inicial de la espira.

E k = 1 2 m v 2 = 1 2 m v 0 2 exp(2t/τ) E R = 0 t i 2 R·dt= 1 2 m v 0 2 ( 1exp(2t/τ) ) E k + E R = 1 2 m v 0 2

Resistencia nula (L≠ 0, R=0)

Consideremos que la espira está hecha de un material superconductor de modo que R≈0. En este caso, no podemos ignorar la autoinducción L, que produce una fem

V L =L di dt

La ecuación del circuito (suma de fems igual a intensidad por resistencia) se escribe ahora VL+Vε =0.

L di dt +Ba dx dt =0i= Ba L x

que satisface la condición inicial x=0, i=0.

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el lado derecho de la espira será de nuevo F=-iaB, por lo que la ecuación del movimiento se escribirá

m d 2 x d t 2 + B 2 a 2 L x=0

Esta es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple, x=A·sin(ω0 t+φ ).

A partir de las condiciones iniciales para t=0, x=0, dx/dt=v0 calculamos la amplitud A y la fase inicial φ .

x= v 0 ω 0 sin ω 0 t ω 0 = Ba mL v= v 0 cos ω 0 t

Siempre que la amplitud de la oscilación v00 no sea mayor que la longitud de la espira, de modo que la espira no esté completamente introducida en la región x≥ 0, la espira describirá un MAS con frecuencia angular ω0 y periodo P=2π/ω0.

La intensidad de la corriente vale

i= Ba L x= v 0 m L sin( ω 0 t)

La máxima intensidad no depende de la anchura a de la espira, ni del campo magnético B.

Estudio energético

La energía cinética de la espira más la energía acumulada en la autoinducción en forma de campo magnético debe de ser constante e igual a la energía cinética inicial.

E k = 1 2 m v 2 = 1 2 m v 0 2 cos 2 ( ω 0 t) E L = 1 2 L i 2 = 1 2 B 2 a 2 L 2 x 2 = 1 2 m v 0 2 sin 2 ( ω 0 t) E k + E L = 1 2 m v 0 2

Actividades

En el programa interactivo que viene a continuación, se estudia el comportamiento de una espira que viaja hacia una región (x≥ 0) en la que existe un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la pantalla: hacia adentro, negativo, en color azul claro o hacia fuera, positivo, en color rosa.

Se introduce

Tenemos dos opciones

Se pulsa el botón titulado Nuevo para situar la espira en la posición de partida, y el botón   ►   para poner en movimiento la espira.

En el caso de que la espira tenga autoinducción no nula, el lado izquierdo de la espira estará siempre en la región x<0, en la que no hay campo magnético. Si se introduce una velocidad v0 excesiva de la espira el programa no prosigue y nos invita a modificar el valor de la velocidad inicial de la espira. Para ello, la longitud de la espira ha de ser mayor que la amplitud v00 de las oscilaciones de la espira.

Ejemplo 1.

La constante de tiempo τ vale

τ= Rm B 2 a 2 = 0.5· 10 3 ·0.1 0.1 2 · 0.25 2 =0.08

La espira se introduce en la región en la que existe campo magnético.

En el instante t=0.2 s la velocidad de la espira es

v=2.0·exp(0.2/0.08)=0.16m/s

La posición del lado de la espira es

x=2·0.08( 1exp(0.2/0.08) )=0.15m

La intensidad de la corriente en este instante vale

i= Bav R = 0.1·0.25·0.16 0.5· 10 3 =8.21A

Como el flujo aumenta, la intensidad (en sentido antihorario) se opone al aumento de flujo

Ejemplo 2.

La frecuencia angular ω0 del MAS vale

ω 0 = Ba mL = 0.1·0.25 0.1·8· 10 5 =8.84rad/s

El semiperiodo, tiempo que tarda en entrar y salir la espira es P/2=π/ ω0=0.36 s

La espira penetra hasta una distancia

x m = v 0 ω 0 = 2.0 8.84 =0.23m

La intensidad máxima en este instante es

i m = Ba L x m = 0.1·0.25 8· 10 5 0.23=70.7A



Resistencia y autoinducción no nulas (L≠ 0, R≠ 0)

El programa interactivo no incluye el estudio del comportamiento de la espira en el caso general, en el que la espira tiene una resistencia y una autoinducción. En esta sección se estudian las oscilaciones amortiguadas, críticas y sobreamortiguadas de la espira, siempre que que cumpla la condición de que solamente su lado derecho esté en el interior del campo magnético x≥ 0. Además, este ejemplo, permite al lector familiarizarse con la resolución de ecuaciones diferenciales sencillas.

En este caso la ecuación del circuito es (suma de fems igual a intensidad por resistencia)

V L + V ε =iR L di dt +Bav=iR

y la ecuación del movimiento

m dv dt =iaB

Despejando la intensidad i en la ecuación del movimiento e introduciéndola en la ecuación del circuito, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden

d 2 v d t 2 + R L dv dt + B 2 a 2 mL v=0

Que describe las oscilaciones amortiguadas

d 2 v d t 2 +2γ dv dt + ω 0 2 v=0 ω 0 = Ba mL γ= R 2L = ω 0 2 τ 2

Las condiciones iniciales son:

t=0v= v 0 dv dt =0

Esta ecuación tiene tres posibles soluciones:

Oscilaciones amortiguadas

Si la resistencia R no es muy grande de modo que ω202 o bien, ω0τ <2.

v=Aexp(γt)sin( ωt+φ )ω= ω 0 2 γ 2

donde ω es la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas. Las constantes A y φ se determinan a partir de las condiciones iniciales

v= v 0 1+ γ 2 ω 2 exp(γt)sin(ωt+φ)tanφ= ω γ v= v 0 exp(γt)( γ ω sin(ωt)+cos(ωt) )

Integrando dos veces por partes, obtenemos la posición x, de la espira en función del tiempo.

x= 0 t vdt = v 0 γ ω 0 2 [ 2exp(γt)( γ 2 ω 2 ωγ sin(ωt)+2cos(ωt) ) ]

A partir de la ecuación del movimiento, obtenemos la intensidad i derivando la velocidad v.

i= m aB dv dt =( Ba v 0 ωL )exp(γt)sin(ωt)

Oscilaciones críticas

Cuando la resistencia aumenta, puede ocurrir que ω202 o bien ω0τ =2.

La solución de la ecuación diferencial es

v=(At+B)exp(γt)

Donde A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales

v= v 0 (γt+1)exp(γt)

Integrando por partes, obtenemos la posición x, de la espira en función del tiempo.

x= 0 t vdt = v 0 γ ( 2( γt+2 )exp(γt) )

A partir de la ecuación del movimiento, obtenemos la intensidad i derivando la velocidad v.

i= m v 0 aB γ 2 texp(γt)

Oscilaciones sobreamortiguadas

Cuando la resistencia es grande, puede ocurrir que ω202 o bien ω0τ >2.

La solución de la ecuación diferencial es

v=( Aexp(βt)+Bexp(βt) )exp(γt)

Donde A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales

v= v 0 2 [ ( 1+ γ β )exp(βt)+( 1 γ β )exp(βt) ]exp(γt)

Integrando obtenemos la posición x, de la espira en función del tiempo.

x= 0 t vdt = v 0 2β [ ( β+γ βγ )( exp(βγ)t1 )( βγ β+γ )( exp(β+γ)t1 ) ]

A partir de la ecuación del movimiento, obtenemos la intensidad i derivando la velocidad v.

i= Ba v 0 2βL ( exp(βt)exp(βt) )exp(γt))

Estudio energético

Parte de la energía cinética inicial se pierde en la resistencia ER, otra parte se acumula en forma de campo magnético en la autoinducción EL, y el resto es la energía cinética de la espira Ek.

E k = 1 2 m v 2 E L = 1 2 L i 2 E R = 0 t i 2 Rdt E k + E L + E R = 1 2 m v 0 2

Referencias

Saslow W. M., Electromechanical implications of Faraday’s law: A problem collection. Am. J. Phys. 55 (11) November 1987, pp. 986-993.