Varilla que se mueve en un campo magnético uniforme. Efecto de la batería

Ecuación del circuito

A medida que se mueve la varilla, aumenta el área, y aumenta el flujo del campo magnético a través del circuito formado por los rieles y la varilla. La fem inducida Vε de acuerdo a la ley de Faraday vale

V ε = dΦ dt

El flujo Φ=B·S=-B·a·x

Derivando el flujo Φ respecto del tiempo y cambiando de signo

Vε= B·a·v

Siendo a la distancia entre los raíles, menor que la longitud L de la varilla, y v la velocidad de la varilla.

De acuerdo a la segunda ley de Kirchhoff, la suma de fems es igual al producto de la intensidad por la resistencia total del circuito.

-Vε+V0=iR

La corriente producida por la batería tiene el sentido de las agujas del reloj, mientras que el sentido de la corriente inducida, de acuerdo a la ley de Lenz, es contrario a las agujas del reloj, de ahí que los signos de Vε y V0 sean contrarios.

Ecuación del movimiento de la varilla

Una corriente i que circula por la porción de varilla de longitud a, experimenta una fuerza F en el seno de un campo magnético uniforme B.

F=i·ut×B·a

donde ut es un vector unitario que señala la dirección y sentido del movimiento de los portadores de carga (positivos).

Como el campo magnético B es perpendicular a la varilla. El módulo de F es

F=iBa

Es un vector paralelo a los raíles y cuyo sentido es hacia la derecha, tal como se señala en la figura.

Si despreciamos la fuerza de rozamiento entre la varilla y los raíles, la ecuación del movimiento de la varilla de masa m es.

m dv dt =iBa

o bien,

dv dt = Ba mR V 0 B 2 a 2 mR v

Estudio energético

Comprobamos que

E0=ER+Ek

Una parte de la energía suministrada por la batería se disipa en la resistencia y la otra parte, se convierte en energía cinética de la varilla. Al cabo de un tiempo teóricamente infinito, la mitad de la energía suministrada por la batería se ha disipado en la resistencia y la otra mitad se ha convertido en energía cinética.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa nos proporciona los datos de la densidad y resistividad de los materiales

Material Densidad ρ (103 kg/m3) Resistividad r (10-6 Ω·m)
Aluminio 2.7 0.028
Cobre 8.93 0.0175
Hierro 7.88 0.098
Plata 10.5 0.016
Volframio 19.34 0.055
Plomo 11.35 0.221

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física elemental. Edt Mir (1975), págs. 36, 139.

Ejemplo:

Elegimos como material el Aluminio

Introducimos

La constante de tiempo k vale

k= mR B 2 a 2 = ρrL B 2 a = 2.7· 10 3 ·0.028· 10 6 ·0.5 0.01 2 ·0.4 =0.945s

La velocidad final vf de la varilla es

v f = V 0 Ba = 0.001 0.01·0.4 =0.25m/s=25cm/s

Como podremos observar, al cabo de unos pocos segundos la varilla alcanza una velocidad constante, la intensidad tiende a cero.

Al lado de la varilla se dibujan los vectores campo magnético B, el vector ut que señala la dirección y sentido del movimiento de los portadores de carga. El vector fuerza F que ejerce el campo magnético sobre la corriente i que circula por la varilla.

La intensidad viene indicada por el movimiento de puntos de color rojo (portadores de carga positivos) a lo largo del circuito constituido por la batería, los raíles y la varilla.

A la izquierda, un diagrama nos señala en cada instante t:

En la parte superior izquierda, se nos proporciona los datos relativos:



Referencias

White III, J. Solution of a Faraday’s law problem including a nonlinear term. Am. J. Phys. 41 May 1973, pp. 644-647.