Varilla que se mueve en un campo magnético uniforme. Efecto de la batería

Una varilla desliza sin fricción sobre dos raíles paralelos distantes a en el seno de un campo magnético uniforme perpendicular al plano de los raíles.

Una batería cuya fem es V0, los dos raíles y la varilla deslizante constituyen un circuito cerrado de resistencia R, la existente entre los dos puntos de contacto de la varilla con los raíles.

Ecuación del circuito

A medida que se mueve la varilla, aumenta el área y aumenta el flujo del campo magnético a través del circuito formado por los rieles y la varilla. La fem inducida Vε de acuerdo a la ley de Faraday vale

V ε = dΦ dt

El flujo es, Φ= B · S =B·a·x

Derivando el flujo Φ respecto del tiempo y cambiando de signo

Vε= B·a·v

Los portadores de carga positivos son empujados hacia el extremo D, que se carga positivamente

La ecuación del circuito es, la suma de fems es igual al producto de la intensidad por la resistencia total del circuito.

-Vε+V0=iR

Ecuación del movimiento de la varilla

Una corriente i que circula por la porción de varilla de longitud a, experimenta una fuerza F en el seno de un campo magnético uniforme B.

F =i( u ^ t × B )a

donde u ^ t es un vector unitario que señala la dirección y sentido del movimiento de los portadores de carga (positivos).

Como el campo magnético B es perpendicular a la varilla. El módulo de la fuerza es

F=iBa

Es un vector paralelo a los raíles y cuyo sentido es hacia la derecha, tal como se señala en la figura.

Si despreciamos la fuerza de rozamiento entre la varilla y los raíles, la ecuación del movimiento de la varilla de masa m es.

m dv dt =iBa

o bien,

dv dt = Ba mR V 0 B 2 a 2 mR v

Estudio energético

Comprobamos que

E0=ER+Ek

Una parte de la energía suministrada por la batería se disipa en la resistencia y la otra parte, se convierte en energía cinética de la varilla. Al cabo de un tiempo teóricamente infinito, la mitad de la energía suministrada por la batería se ha disipado en la resistencia y la otra mitad se ha convertido en energía cinética.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa nos proporciona los datos de la densidad y resistividad de los materiales

Material Densidad ρ (103 kg/m3) Resistividad r (10-6 Ω·m)
Aluminio 2.7 0.028
Cobre 8.93 0.0175
Hierro 7.88 0.098
Plata 10.5 0.016
Volframio 19.34 0.055
Plomo 11.35 0.221

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física elemental. Edt Mir (1975), págs. 36, 139.

Ejemplo:

Elegimos como material el Aluminio

Introducimos

La constante de tiempo k vale

k= mR B 2 a 2 = ρrL B 2 a = 2.7· 10 3 ·0.028· 10 6 ·0.5 0.01 2 ·0.4 =0.945s

La velocidad final vf de la varilla es

v f = V 0 Ba = 0.001 0.01·0.4 =0.25m/s=25cm/s

Como podremos observar, al cabo de unos pocos segundos la varilla alcanza una velocidad constante, la intensidad tiende a cero.

Al lado de la varilla se dibujan los vectores campo magnético B , el vector u ^ t que señala la dirección y sentido del movimiento de los portadores de carga. El vector fuerza F que ejerce el campo magnético sobre la corriente i que circula por la varilla.

La intensidad viene indicada por el movimiento de puntos de color rojo (portadores de carga positivos) a lo largo del circuito constituido por la batería, los raíles y la varilla.

A la izquierda, un diagrama nos señala en cada instante t:

En la parte superior izquierda, se nos proporciona los datos relativos:



Motor lineal

Consideremos de nuevo, el problema de la varilla que desliza sin fricción sobre dos raíles paralelos distantes a en el seno de un campo magnético uniforme perpendicular al plano de los raíles.

Una batería cuya fem es V0, los dos raíles y la varilla deslizante constituyen un circuito cerrado de resistencia R, la existente entre los dos puntos de contacto de la varilla con los raíles.

En esta ocasión, la varilla se mueve con velocidad v constante. La fuerza que ejerce el campo magnético sobre la corriente que pasa por la varilla iBa, se emplea en levantar un peso, mg

Despejamos la velocidad v de la varilla

V ε = V 0 iR= V 0 mg Ba R Bav= V 0 mg Ba R v=( V 0 mg Ba R ) 1 Ba

Datos, V0=15 V, a=10 cm, R=0.1 Ω, m=1.2 kg, B=1 T

v=32.4 m/s

Balance energético

Comprobamos que P1=P2+P3

Rendimiento del motor

η= P 3 P 1 = mgv V 0 mg Ba =1 mg Ba R V 0

Con los datos anteriores, η=21.6 %, un motor poco eficiente

Doble circuito

El doble circuito consiste en dos raíles paralelos de longitud 2L, separados una distancia l. Dos baterías de fem V0 están conectadas a los extremos de los raíles. La resistencia de cada raíl es r. Una varilla de masa m y resistencia R desliza sin rozamiento sobre los raíles sin rozamiento.

Se supone que los cables que conectan las baterías a los extremos de los raíles carecen de resistencia

El circuito está situado sobre una tabla horizontal en el seno de un campo magnético uniforme B en la dirección vertical.

En la figura, se muestra la varilla en la posición x medida desde el origen que se establece en la mitad de los raíles (línea a trazos)

Vamos a deducir la ecuación del movimiento de la varilla

Ley de Faraday

Aplicamos la ley de Faraday al circuito de la izquierda de longitud L+x y anchura l

Φ 1 = B · S 1 =B(L+x)l V 1 = d Φ 1 dt =Bl dx dt

El flujo aumenta el sentido de la corriente inducida es horario

Aplicamos la ley de Faraday al circuito de la derecha de longitud L-x y anchura l

Φ 2 = B · S 2 =B(Lx)l V 2 = d Φ 2 dt =Bl dx dt

El flujo disminuye el sentido de la corriente inducida es antihorario

La varilla es equivalente a una batería de fem

V ε =2Bl dx dt =2Blv

Ecuación del circuito

Las ecuaciones del circuito son

{ V ε V 0 = i 2 R BE i 1 ( R AB + R EF ) V ε + V 0 = i 2 R BE + i 3 ( R BC + R DE ) i 3 = i 2 + i 1

RAB=REF, RBC=RDE, RBE=R

R AB =r L+x 2L , R BC =r Lx 2L

Resolvemos el sistema de tres ecuaciones y despejamos las intensidades i1, i2 y i3

{ V ε V 0 = i 2 R2 i 1 r L+x 2L V ε + V 0 = i 2 R+2 i 3 r Lx 2L i 3 = i 2 + i 1

El resultado es

i 1 = V 0 R+( V 0 V ε )r Lx 2L Rr+ r 2 L 2 x 2 2 L 2 i 2 =r V ε + V 0 x L Rr+ r 2 L 2 x 2 2 L 2 i 3 = V 0 R+( V 0 + V ε )r L+x 2L Rr+ r 2 L 2 x 2 2 L 2

Ecuación del movimiento

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción de corriente rectilínea es

F =i( u ^ t × B )l

Por la varilla circula una corriente de intensidad i2 en el sentido indicado en la figura, la fuerza sobre la varilla es

F= i 2 Bl=2L 2B dx dt lL+ V 0 x 2 L 2 R+r( L 2 x 2 ) Bl

La ecuación del movimiento

m d 2 x d t 2 + 4 ( BlL ) 2 2 L 2 R+r( L 2 x 2 ) dx dt + 2( BlL ) V 0 2 L 2 R+r( L 2 x 2 ) x=0

que resoveremos por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, x=0, dx/dt=v0. La varilla parte del origen con velocidad v0

Aproximación

Si el desplazamiento de la varilla x es pequeño en relación con la mitad de la longitud L del raíl, x<<L

m d 2 x d t 2 + 4 ( Bl ) 2 2R+r dx dt + 2( Bl/L ) V 0 2R+r x=0

Que corresponde a la ecuación de una oscilación amortiguada

d 2 x d t 2 +2γ dx dt + ω 0 2 x=0,{ γ= 2 m ( Bl ) 2 2R+r ω 0 2 = 2 mL Bl 2R+r V 0

La solución de esta ecuación diferencial con las condiciones iniciales, en el instante t=0, x=x0, dx/dt=v0, es

x=exp(γt)( v 0 +γ x 0 ω sin(ωt)+ x 0 cos(ωt) ), ω 2 = ω 0 2 γ 2

Si la varilla parte del origen x0=0 con velocidad v0

x= v 0 ω exp(γt)sin(ωt)

Energías

Ejemplos

Datos del doble circuito

Resolvemos la ecuación diferencial del movimiento por el procedimiento ode45 de MATLAB, comparamos la solución numérica con la analítica aproximada (oscilaciones amortiguadas)

L=1; %longitud railes
l=0.5; %distancia entre raíles
r=1; %resistencia de cada raíl
R=1; %resistencia de la varilla
B=1; %campo magnético
V0=3; %fem de cada batería
v0=0.1; %velocidad inicial
m=1; %masa de la varilla
w0=sqrt(2*B*l*V0/(m*L*(2*R+r)));
gamma=2*(B*l)^2/(m*(2*R+r));
w=sqrt(w0^2-gamma^2);
f=@(t,x) [x(2);-4*(B*l*L)^2*x(2)/(2*L^2*R+r*(L^2-x(1)^2))-
2*B*l*L*V0*x(1)/(2*L^2*R+r*(L^2-x(1)^2))]; 
tf=2*2*pi/w0; %dos periodos
[t,x]=ode45(f,[0,2*2*pi/w0],[0,v0]);
hold on
plot(t,x(:,1))
fplot(@(t) v0*exp(-gamma*t).*sin(w*t)/w, [0, tf])
hold off
grid on
legend('numerico','analítico aprox.','location','best')
ylabel('x')
xlabel('t')
title('Movimiento varilla')

Observamos que ambas soluciones coinciden para este ejemplo, el máximo desplazamiento de la varilla es 8 cm muy pequeño comparado con la longitud de los raíles 2L= 2 m.

Calculamos las energías

resoviendo las integrales definidas por procedimientos numéricos, empleando la función integral de MATLAB. Añadimos el siguiente código al script anterior

...
xx=@(t) v0*exp(-gamma*t).*sin(w*t)/w; %posición
v=@(t) v0*exp(-gamma*t).*(-gamma*sin(w*t)/w+cos(w*t)); %velocidad
i2=@(t) r*(2*B*v(t)*l+V0*xx(t)/L)/(R*r+r^2);
i1=@(t) (V0*R+((V0-2*B*v(t)*l)*r).*(L-xx(t))/(2*L))/(R*r+r^2/2);
i3=@(t) (V0*R+((V0+2*B*v(t)*l)*r).*(L+xx(t))/(2*L))/(R*r+r^2/2);
f1=@(t) i1(t)+i3(t);
f2=@(t) i2(t).^2*R+(i1(t).^2*r).*(L+xx(t))/L+(i3(t).^2*r).*(L-xx(t))/L;

E1=V0*integral(f1,0,tf);
E2=integral(f2,0,tf);
E3=m*v(tf)^2/2-m*v0^2/2;
disp([E1,E2,E3])
  226.1947  226.0871   -0.0049

La mayor parte de la energía producida por las baterías se disipa en la resistencias y solamente, una peqeña parte, se convierte en energía cinética de la varilla, E1-E2=E3. El error en el procedimiento numérico puede ser mayor que E3

Ambas soluciones difieren cuando la condición x<<L deja de cumplirse, por ejemplo, cambiando la velocidad inicial de la varilla, v0=1 m/s

Referencias

White III, J. Solution of a Faraday’s law problem including a nonlinear term. Am. J. Phys. 41 May 1973, pp. 644-647.

Walter Greiner. Classical Electrodynamics. Springer. pp. 247-249

Physics Challenge for Teachers and Students. From B or not from B. Physics Teacher 60, 389 (2022)