Sistema electro-mecánico oscilante

Una varilla de masa m cuelga del techo sujeta por un muelle elástico de constante k. La varilla desliza sin fricción a lo largo de dos vías paralelas colocadas en posición vertical separadas una distancia l. Las dos vías están unidas por la parte inferior mediante dos cables conectados un condensador de capacidad C. El conjunto está situado en una región donde hay un campo magnético B perpendicular al plano de las vías.

Movimiento en ausencia del campo magnético

Se cuelga un bloque de masa m de un muelle de constante k, que se deforma hasta que el peso del bloque mg se equilibra con la fuerza kxe que ejerce el muelle, tal como se aprecia en la figura. Tomando como origen O la posición del extremo libre del muelle sin deformar, entonces xe=-mg/k

Si el bloque se suelta desde la posición x0, el conjunto formado por el muelle y el bloque describe un Movimiento Armónico Simple (MAS). Las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando se encuentra en la posición x son:

La ecuación del movimiento es

m d 2 x d t 2 =mgkx

Haciendo el cambio de variable y=x+mg/k, obtenemos la ecuación diferencial

d 2 y d t 2 + ω 2 y=0ω= k m

La solución de esta ecuación diferencial es el MAS

y=Asin(ωt+φ)
x
=-mg/k+Asin(ωt+φ)
v=dx/dt
=cos(ωt+φ)

Las constantes A y φ se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, la posición inicial es x0, y la velocidad inicial es nula.

x=-mg/k+(x0+mg/k)cos(ωt)
v=dx/dt
=-(x0+mg/kωsin(ωt)

Balance energético

Tomando como nivel cero de energía potencial el origen O, cuando el muelle está sin deformar.

La energía inicial del sistema, teniendo en cuenta que el bloque parte en el instante t=0, de la posición x0 con velocidad v=0, es la suma de

E= 1 2 k x 0 2 +mg x 0

La energía del sistema en el instante t, cuando el bloque se encuentra en la posición x, y su velocidad es v, es la suma de tres términos:

E= 1 2 k x 2 +mgx+ 1 2 m v 2

Introduciendo las expresiones de la posición x y de la velocidad v en función del tiempo, después de hacer algunas operaciones algebraicas, comprobamos que la energía del sistema en el instante t es igual a la energía del sistema en el instante inicial.

Movimiento en presencia del campo magnético

Supongamos que el campo magnético B es perpendicular al plano de la página y apuntando hacia el lector y que la varilla se encuentra en el instante t, en la posición x, tal como se muestra en la figura.

El flujo del campo magnético a través de la espira formada por la varilla y las vías es

Ф=B·S=B·l·(d+x)·cos0º

La fem inducida es

V ε = dΦ dt =B·l dx dt =B·l·v

La carga del condensador es

q=C·Vє=-CBlv

La intensidad de la corriente en el circuito es

i= dq dt =CBl dv dt

El campo magnético B ejerce una fuerza sobre la corriente i dada por el producto vectorial

F m =i( u t ×B)l

El módulo de la fuerza es Fm=iBl y su sentido está indicado en la figura.

Sobre la varilla actúan tres fuerzas

La ecuación del movimiento de la varilla es

m d 2 x d t 2 =mgkx+iBl=mgkxC B 2 l 2 dv dt

o bien,

( m+C B 2 l 2 ) d 2 x d t 2 +mg+kx=0

Haciendo el cambio de variable y=x+mg/k,

d 2 y d t 2 + ω 2 y=0ω= k m+C B 2 l 2

La solución de esta ecuación diferencial es la misma que la de una bloque unido a un muelle elástico, estudiado en el apartado anterior, salvo que la frecuencia angular es distinta.

y=Asen(ωt+φ)
x
=-mg/k+Asin(ωt+φ)
v=dx/dt
=cos(ωt+φ)

Las constantes A y φ se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, la posición inicial es x0, y la velocidad inicial es nula.

x=-mg/k+(x0+mg/k)cos(ωt)
v=dx/dt
=-(x0+mg/kωsin(ωt

Balance energético

Teniendo en cuenta que la varilla parte en el instante t=0 de la posición x0 con velocidad v=0, y que el condensador se encuentra descargado, la energía inicial del sistema es la suma de

E= 1 2 k x 0 2 +mg x 0

La energía del sistema en el instante t, cuando la posición del bloque es x y su velocidad es v, es la suma de cuatro términos

E= 1 2 k x 2 +mgx+ 1 2 m v 2 + 1 2 q 2 C

Introduciendo las expresiones de la posición x, de la velocidad v y de la carga q del condensador en función del tiempo, después de hacer algunas operaciones algebraicas, comprobamos que la energía del sistema en el instante t es igual a la energía del sistema en el instante inicial t=0.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de la varilla deslizando a lo largo de las vías paralelas

El sentido de la corriente se pone de manifiesto, mediante el movimiento de puntos de color rojo, que representan a los portadores de carga positiva.

La intensidad de los colores azul y rojo, representa la cantidad de carga en la placa negativa y positiva del condensador, respectivamente.

En la parte central, un diagrama de barras representa la energía del sistema y su distribución:

Finalmente, se representa la fem Vє y la intensidad de la corriente i en función del tiempo. La segunda como vemos, está adelantada 90º respecto de la primera.

En la simulación se introducen valores inusualmente altos de la capacidad del orden de 10-3 F y del campo magnético del orden de 1 T.

Ejemplo

C=2·10-3 F
B
=3 T, (apuntando hacia el lector)
k
=0.1 N/m
m
=0.001 kg
l
=0.25 m
La posición inicial de la varilla, x0=0.05 m

En ausencia de campo magnético, el sistema formado por el muelle y la varilla oscilaría con una frecuencia angular de

ω= k m ω= 0.1 0.001 =10rad/s

El periodo P=2π/ω=0.63 s

Si situamos el dispositivo en una región donde hay un campo magnético uniforme, la frecuencia angular del MAS es

ω= k m+C B 2 l 2 ω= 0.1 0.001+ 2·10 -3 · 3 2 · 0.25 2 =6.86rad/s

El periodo es P=0.92 s

En el instante t=P/4=0.23 s

Balance energético

Como la varilla parte en el instante t=0, de la posición x=0.05 m con velocidad v=0. La energía inicial del sistema es la suma de

La energía total inicial es

E=Ee+Eg=6.15·10-4 J

La energía del sistema en el instante t=0.23 s, es la suma de

La energía total es

E=Ee+Eg+Ek+Ec=6.15·10-4 J