Movimiento de un imán en un tubo metálico vertical (III)

Campo magnético producido por el imán

En la página titulada Componentes del campo magnético producido por un solenoide, deducimos la expresión de las componentes Bρ (radial) y Bz (a lo largo del eje) del campo magnético producido por un solenoide de diámetro 2a y longitud 2b, de n espiras por unidad de longitud recorridas por una corriente de intensidad i.

Un imán es similar a un solenoide, tal como se explica en la página titulada Campo magnético producido por un imán. Su momento magnético μ es equivalente a la corriente que pasa por todas las espiras del solenoide (2bn)i multiplicado por el área de la sección del solenoide (πa2).

μ=(2bn·i)·(πa2)

Las fórmulas que calculan las componentes Bρ y Bz del campo producido por un imán de momento magnético μ, de radio a y longitud 2b, son

B ρ = B 0 { α + C( k + ,1,1,1) α C( k ,1,1,1) } B z = B 0 a a+ρ { β + C( k + , γ 2 ,1,γ) β C( k , γ 2 ,1,γ) } B 0 = μ 0 μ 2b ( πa ) 2 z ± =z±b k ± 2 = z ± 2 + ( aρ ) 2 z ± 2 + ( a+ρ ) 2 α ± = a z ± 2 + ( ρ+a ) 2 β ± = z ± z ± 2 + ( ρ+a ) 2 γ= aρ a+ρ

donde C es la integral elíptica generalizada, que se calcula mediante la función integral_eliptica, cuyo código MATLAB se proporciona en la página titulada Componentes del campo magnético producido por un solenoide. Así mismo, se proporciona en dicha página el código de la función calcula_campo que calcula las componentes Bρ y Bz del campo magnético producido por un solenoide

En la página titulada, Campo magnético producido por una corriente circular en un punto fuera de su eje, mostramos que para puntos alejados de la espira, ésta se comporta como un dipolo magnético de momento μ=ia2),

Del mismo modo, para puntos alejados, un imán de momento magnético μ, se comporta como un dipolo. Las componentes Bρ y Bz del campo producido por el imán son, aproximadamente

r= z 2 + ρ 2 >>a,b B ρ = μ 0 μ 4π 3ρz ( z 2 + ρ 2 ) 5/2 B z = μ 0 μ 4π 2 z 2 ρ 2 ( z 2 + ρ 2 ) 5/2

Calculamos el campo exacto y aproximado, para un imán de diámetro 2a=12.7 mm y longitud 2b=2a. El momento magnético del imán es μ=1.76 Am2. Representamos la componente Bz del campo magnético producido por el imán a lo largo de su eje Z, ρ=0.

a=(12.7/2)/1000; %radio imán
b=a; %longitud del imán, 2b
mu=1.76; %momento magnético
B0=2*1e-7*mu/(b*pi*a^2);
zz=linspace(0,4*b,100);
%imán
Bz=zeros(1,length(zz));
i=1;
y=0;
for z=zz
    [B_y,B_z]=calcula_campo(a,b,y,z);
    Bz(i)=B0*B_z;
    i=i+1;
end
hold on
plot(zz,Bz)
 
%imán como dipolo
Bd_z=@(z) 1e-7*mu*(2*z.^2-y.^2)./(z.^2+y.^2).^(5/2);
fplot(Bd_z,[b,4*b])
line([b,b],[0,1],'lineStyle','--','color','k')
hold off
grid on
xlabel('z')
ylabel('B_z')
title('Campo magnético, B_z')

Hemos situado el origen en la mitad del imán, la línea a trazos señala, el extremo del imán. El cálculo exacto de Bz y su aproximación dipolar empiezan a coincidir a partir de 2b.

Consideremos el mismo imán, ahora calculamos la componente Bρ del campo magnético producido por el imán, en la posición correspondiente al radio medio del tubo metálico es rm=7.6 mm

a=(12.7/2)/1000; %radio imán
b=a; %longitud del imán, 2b
mu=1.76; %momento magnético
B0=2*1e-7*mu/(b*pi*a^2);
r=7.25; %radio interior del tubo
w=0.7; %espesor
rm=(r+w/2)/1000; %radio medio del tubo
 
zz=linspace(0,4*b,100);
By=zeros(1,length(zz));
Bz=zeros(1,length(zz));
i=1;
y=rm;
for z=zz
    [B_y,B_z]=calcula_campo(a,b,y,z);
    By(i)=B0*B_y;
    i=i+1;
end
hold on
plot(zz,By)
 
%imán como dipolo
Bd_y=@(z) 1e-7*mu*3*(y.*z)./(z.^2+y.^2).^(5/2);
fplot(Bd_y,[b,5*b])
line([a,a],[0,0.3],'lineStyle','--','color','k')
line([rm,rm],[0,0.3],'lineStyle','--','color','r')
hold off
grid on
xlabel('\rho')
ylabel('B_\rho')
title('Campo magnético, B_\rho')

En esta posición, el cálculo exacto y su aproximación dipolar difieren. La línea a trazos de color negro señala el radio del imán a y la línea a trazos de color rojo, el radio medio del tubo rm.

Ambas descripciones difieren aún más cuando la longitud del imán cilíndrico es mayor que su diámetro, se sugiere al lector probar b=3a, la longitud del imán es el triple que su diámetro.

Fuerzas sobre el imán

Uno de los experimentos que más llaman la atención a los estudiantes es el movimiento vertical de un imán en el interior de un tubo hecho de un material conductor (aluminio). Es una impresionante demostración a la ley de Faraday. Las pequeñas masas de los imanes y sus grandes momentos magnéticos hacen que la caída del imán se produzca a velocidad constante muy pequeña, por lo que tarda mucho tiempo en salir del tubo en comparación con la caída libre desde la misma altura.

Sea un tubo muy largo (en comparación con la longitud del imán) hecho de un material de conductividad σ, de radio interior r, de radio exterior r+w, w es el espesor, o de radio medio rm=r+w/2. Situamos el origen en el extremo superior del tubo y el eje Z apuntando hacia abajo. Supongamos que un instante dado t, la posición del imán es z

Consideremos, una espira circular dentro del tubo de radio rm (en color rojo), que dista ζ del centro del imán. El flujo del campo magnético producido por el imán a través de la espira se debe solamente a su componente Bz

Φ(ζ)= B · dS = ( B ρ ρ ^ + B z k ^ )·dS k ^ = o r m B z (ζ)2πρ·d ρ

La fem producida en la espira, de acuerdo con la ley de Faraday, es la derivada del flujo, cambiada de signo

V ε = dΦ(ζ) dt

Consideremos la superficie cilíndrica de radio rm y altura , el flujo total del campo magnético a través de la superficie cerrada es nulo, ya que en el interior de esta superficie cerrada no hay cargas magnéticas aisladas

dΦ=Φ(ζ+dζ)-Φ(ζ)=-Bρ(2πrm)

La fem Vε se expresa

V ε = B ρ 2π r m dζ dt = B ρ 2π r m v

Alternativamente, desde el punto de vista del observador vinculado al imán, la espira se mueve (hacia arriba) en el seno del campo magnético producido por el imán. Aplicamos la exprersión de la fem

V ε = ( v × B )· dl = ( v B ρ sin90 ) dl·cos0=v B ρ 2π r m

La componente Bz del campo es paralela a la velocidad, por lo que no contribuye a la fem. La dirección del producto vectorial es tangente a la circunferencia de radio rm y la componente del campo Bρ es constante en todos los puntos de la circunferencia, por lo que la integral es inmediata. Finalmente, el sentido de la corriente inducida es el mismo que el producto vectorial y está señalado en la figura.

Consideremos un anillo de radio medio rm, anchura w y altura . La resistencia del anillo es (resistividad×longitud/sección)

R= 1 σ 2π r m w·dζ

La intensidad de la corriente inducida es di=Vε/R, en el sentido indicado en la figura (más arriba)

di= B ρ v·σw·dζ

La fuerza que ejerce un campo magnético sobre una porción dl de conductor por el que circula una corriente de intensidad I es

dF =I( u ^ t × B )dl

La fuerza resultante sobre la espira es vertical, anulándose por simetría en la dirección radial. El módulo de la fuerza es dFz=di(1·Bρ·sin90)2πrm y su sentido es hacia abajo, tal como se indica en la figura. Por la tercera ley de Newton, la fuerza que ejercen las corrientes inducidas sobre el imán es vertical, hacia arriba, de sentido contrario a su peso

d F z =( 2π r m σw B ρ 2 (ζ, r m )dζ )v

Si la posición del centro del imán es z, integramos entre -z y L-z, para un tubo de longitud L. En la práctica, los tubos son muy largos, del orden de 1.5 m y podemos poner ∞ al límite superior de la integral

F z =( 2π r m σw z Lz B ρ 2 (ζ, r m ) ·dζ )v

Velocidad límite

La fuerza Fz que ejercen las corrientes inducidas en el tubo sobre el imán, es proporcional a la velocidad v del imán y de sentido contrario a ésta

La fuerza Fz va creciendo hasta que se iguala al peso, mg, la fuerza neta sobre el imán tiende a cero, la velocidad límite final v se va haciendo constante.

v = mg 2π r m σw B ρ 2 (ζ, r m ) ·dζ

La función integrando B ρ 2 (ζ, r m ) , es simétrica se extiende teóricamente desde -∞ a +∞, pero decae rápidamente cuando nos alejamos del imán, por tanto hay que establecer un límite δ a partir del cual consideramos que la función es prácticamente cero. Por otra parte, la integral no tiene solución analítica, tendremos que seleccionar un procedimiento numérico, Simpson (1/3), para obtener su valor numérico.

function suma=simpson(f,x0,xf,n)
%n número par de intervalos, n+1 número de puntos en el vector    
    x=linspace(x0,xf,n+1);   
    h=x(2)-x(1);
    suma=f(x(1))+f(x(n+1));
    for i=2:2:n
        suma=suma+4*f(x(i));
    end
    for i=3:2:n-1
        suma=suma+2*f(x(i));
    end
    suma=suma*h/3;
end

Al procedimiento se le pasa la función f a integrar, el límite inferior x0 el límite superior xf y el número n (par) de intervalos.

Ejemplo

a=(12.7/2)/1000; %radio imán
b=a; %longitud del imán, 2b
m=12.1/1000; %masa
mu=1.76; %momemto magnético
r=7.25/1000; %radio interior del tubo
w=0.7/1000; %espesor
rm=r+w/2; %radio medio
sigma=56.0e6; %conductividad

B0=2*1e-7*mu/(b*pi*a^2);
zz=linspace(0,5*b,100);
By2=zeros(1,length(zz));
i=1;
y=rm;
for z=zz
    [B_y,B_z]=calcula_campo(a,b,y,z);
    By2(i)=(B0*B_y)^2;
    i=i+1;
end
hold on
plot(zz,By2)
line([b,b],[0,0.1],'lineStyle','--','color','k')
grid on
xlabel('z')
ylabel('B_\rho^2')
title('Cuadrado de la componente B_\rho')

%velocidad límite
By2=@(z) calcula_campo(a,b,rm,z).^2*B0^2;
v_inf=m*9.8/(2*pi*rm*sigma*w*2*simpson(By2, 0,5*b,200));
disp(v_inf)

La representación gráfica del cuadrado de Bρ nos dice que se trata de una función simétrica, que se hace prácticamente cero para z mayores que 3b, la línea a trazos marca el extremo del imán z=b. Por lo que estableceremos como límite superior de la integral δ=5b (infinito)

La velocidad límite constante v, es

0.0658

Movimiento vertical del imán en el interior del tubo

Sobre un imán de masa m actúa el peso mg y la fuerza Fz que ejercen las corrientes inducidas en el tubo sobre el imán, proporcional a la velocidad v del imán y de sentido contrario a ésta. La ecuación diferencial del movimiento es

d 2 z d t 2 =g( 2π r m σw m z B ρ 2 (ζ, r m )dζ ) dz dt

que resolveremos por procedimiento numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, z=0, dz/dt=0. Parte del reposo desde el extremo superior del tubo

El principal problema que se presenta es el cálculo de la integral cuyos límites dependen de la posición z del imán. Como apreciamos en la figura,

Modificamos el procedimiento simpson para que refleje los nuevos límites de integración dependiendo de la posición z del imán.

function suma=simpson_1(f, z, delta, n)
%n número par de intervalos, n+1 número de puntos en el vector    
    x0=-delta;    
    if z<delta
        x0=-z;
    end
    x=linspace(x0,delta,n+1);   
    h=x(2)-x(1);
    suma=f(x(1))+f(x(n+1));
    for i=2:2:n
        suma=suma+4*f(x(i));
    end
    for i=3:2:n-1
        suma=suma+2*f(x(i));
    end
        suma=suma*h/3;
end

Ejemplo

Sea un tubo suficientemente largo de

Dejamos caer por el extremo superior del tubo en posición vertical imanes cuyo diámetro 2a=12.7 mm y cuyas longitudes 2b, masas m y momentos magnéticos μ, se especifican en la siguiente tabla

No.b/am (g)μ (Am2)
11.012.11.76
21.517.92.36
32.023.83.23
43.036.45.00
54.048.26.37
61.012.91.17

Representamos la velocidad v de cada uno de los imanes en función del tiempo t

a=(12.7/2)/1000; %radio imán
m=[12.1, 17.9,23.8,36.4,48.2,12.9]/1000; %masas
mu=[1.76,2.36,3.23,5.00, 6.37,1.17]; %momemto magnéticoss
r=7.25/1000; %radio interior del tubo
w=0.7/1000; %espesor
rm=r+w/2; %radio medio
sigma=56.0e6; %conductividad 

hold on
kk=[1,1.5,2,3,4,1]; %relación b/a
v_inf=zeros(1,length(kk)); %velocidad límite
i=1;
for k=kk
    b=k*a; %longitud del imán, 2b
    B0=2*1e-7*mu(i)/(b*pi*a^2);
    delta=5*b; %límite de integración
    cte=2*pi*rm*sigma*w/m(i);
    By2=@(z) calcula_campo(a,b,rm,z)^2*B0^2;
    kr=@(z) simpson_1(By2, z, delta, 200)*cte;
    fg=@(t,x)[x(2); 9.8-kr(x(1))*x(2)];
    [t,x]=ode45(fg,[0,0.2],[0,0]);
    plot(t,x(:,2))
    den=2*simpson(By2, 0,delta,200);  %dos veces de 0 a infinito, simétrica
    v_inf(i)=9.8/(cte*den); %velocidad final constante
    i=i+1;
end
hold off
grid on
legend('1','2','3','4','5','6', 'location','best')
xlabel('t')
ylabel('v');
title('Velocidad')
disp(['b/a| ','masa(g)| ','m. magnético| ','v. final(cm/s)'])
disp([kk',(m')*1000,mu',(v_inf')*100])

Las velocidades límite constante de cada imán v, son

     b/a|  masa(g)| m. magnético| v. final(cm/s)
    1.0000   12.1000    1.7600    6.5776
    1.5000   17.9000    2.3600   10.3032
    2.0000   23.8000    3.2300   12.1915
    3.0000   36.4000    5.0000   16.7724
    4.0000   48.2000    6.3700   24.0367
    1.0000   12.9000    1.1700   15.8681

En el instante t=0.2 s las velocidades de los imanes son casi constantes. Los imanes se han desplazado muy poco a lo largo del tubo, entre 1.6 y 5.5 cm. Estos datos los proporciona el último elemento del vector posición, x(end,1)

    0.0162
    0.024
    0.0293
    0.0402
    0.0548
    0.0326

Actividades

Se introduce

El programa interactivo ha fijado los siguientes parámetros:

Por ejemplo, dejamos caer por el extremo superior del tubo en posición vertical imanes cuyas longitudes 2b, masas m y momentos magnéticos μ se especifican en la siguiente tabla

No.b/am (g)μ (Am2)
11.012.11.76
21.517.92.36
32.023.83.23
43.036.45.00
54.048.26.37
61.012.91.17

En la parte izquierda, se representa el tubo metálico y el imán a escala. En la parte derecha, la velocidad del imán en función del tiempo. En la parte superior, se proporcionan los datos de: el tiempo t, la posición z en cm y la velocidad v en cm/s del imán

Se dibujan las fuerzas sobre el imán, el peso mg un vector de longitud constante y la fuerza Fz que ejercen las corrientes inducidas en el tubo sobre el imán, que va creciendo hasta que se hace aproximadamente igual al peso. La velocidad del imán es aproximadamente constante e igual a la límite v


Aproximación dipolar

En este apartado vamos a calcular la velocidad límite v utilizando la aproximación dipolar de la componente Bρ del campo magnético producido por el imán

B ρ = μ 0 μ 4π 3 r m ζ ( ζ 2 + r m 2 ) 5/2 v = 8πmg 9 r m 3 σw ( μ 0 μ ) 2 ζ 2 ( ζ 2 + r m 2 ) 5 dζ

Queda por resolver la integral definida. Utilizando notación tradicional, llamamos, z a ζ y a a rm. Primero, integramos por partes

z 2 ( a 2 + z 2 ) 5 dz = z 8 ( a 2 + z 2 ) 5 + 1 8 dz ( a 2 + z 2 ) 4

Hacemos el cambio de variable

z=a·tanθ, dz=a·dθ/cos2θ

1 8 dz ( a 2 + z 2 ) 4 = 1 8 a 7 cos 6 ·dθ

Empleamos la relación trigonométrica

cos 2 θ= 1+cos2θ 2

La integral se convierte en

1 8 dz ( a 2 + z 2 ) 4 = 1 8 a 7 cos 6 ·dθ = 1 64 a 7 (1+ cos 3 2θ+3 cos 2 2θ+3cos2θ)dθ cos 2 2θ·dθ= 1+cos4θ 2 dθ= 1 2 θ+ 1 8 sin4θ cos 3 2θ·dθ= (1 sin 2 2θ)·dθ= 1 2 sin2θ 1 6 sin 3 2θ

El resultado final es

1 8 dz ( a 2 + z 2 ) 4 = 1 8 a 7 cos 6 ·dθ = 1 64 a 7 ( 5 2 θ+2sin2θ+ 3 8 sin4θ 1 6 sin 3 2θ )

Ahora calculamos la integral definida

z 2 ( a 2 + z 2 ) 5 dz = z 8 ( a 2 + z 2 ) 5 | + 1 64 a 7 ( 5 2 θ+2sin2θ+ 3 8 sin4θ 1 6 sin 3 2θ ) | π/2 π/2 = 1 64 a 7 5 2 ( π 2 π 2 )= 5π 128 a 7

Recuérdese que al hacer el cambio de variable z=a·tanθ,  los límites de integración cambian de z=-∞, z=+∞, a θ=-π/2, θ=+π/2.

La velocidad v límite constante vale entonces.

v = 8πmg 9 r m 3 σw ( μ 0 μ ) 2 5π 128 r m 7 = 1024(mg) r m 4 45σw ( μ 0 μ ) 2

Ejemplo

Obtenemos v=4.69 cm/s, frente al valor 6.58 cm/s que nos da un cálculo más exacto

Referencias

Norman Derby, Stanislaw Olbert. Cylindrical magnets and ideal solenoids. Am. J. Phys. 78 (3) March 2010, pp. 229-235