Cuando incrementamos el volumen de una gota situada sobre una superficie horizontal, se va aplanando, el líquido está comprendido entre dos superficies horizontales distantes h. Cortamos el fluido por un plano vertical y obtenemos el perfil de la superficie del líquido que comienza horizontal y termina formado un ángulo θ_c, denominado ángulo de contacto, tal como se muestra en la figura.

La diferencia de presión en un punto P entre el interior y exterior de la superficie del líquido es, de acuerdo con la ecuación de Young-Laplace.

${\displaystyle \Delta p=\gamma \left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)}$

Si la gota de líquido es grande en el punto P el radio de curvatura mayor r₂→∞. La diferencia de presión es la hidrostática, correspondiente a la altura y del punto P, Δp=ρgy

${\displaystyle \rho gy=\frac{\gamma }{r}}$

Consideremos un elemento diferencial de longitud, centrado en P, ds=r·dθ. Llamamos a²=γ/(ρg), donde a tiene dimensiones de longitud

${\displaystyle y=\frac{a^2}{r},y=a^2\frac{d\theta }{ds}}$

Deducimos la ecuación en paramétricas del perfil

• Ecuación y(θ)

La proyección de ds sobre el eje vertical Y es dy=ds·sinθ

${\displaystyle y=a^2\sin \theta \frac{d\theta }{dy},y·dy=a^2\sin \theta ·d\theta }$

Integramos esta ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{y^2}{2}=-a^2\cos \theta +c_1}$

La constante c₁ se determina sabiendo que para θ=0, y=0

${\displaystyle y=\sqrt{2a^2\left(1-\cos \theta \right)}}$

La altura h del líquido es

${\displaystyle h=\sqrt{2a^2\left(1-\cos {\theta }_c\right)}}$

Para el agua, γ=72·10^-3 N/m, ρ=1000 kg/m³, el parámetro a=0.271 cm. Para una superficie plana hidrófoba, el ángulo de contacto θ_c=π, por lo que, h=2a=0.542 cm

Representamos la ordenada y en función de θ en el intervalo [0, θ_c]

a=0.271;
fplot(@(x) sqrt(2*a^2*(1-cos(x))),[0,pi])
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3',
'5\pi/6','\pi'})
xlabel('\theta')
ylabel('y')
ylim([0,0.6])
grid on
title('Ordenada y')



• Ecuación x(θ)

La proyección de ds sobre el eje horizontal X es dx=ds·cosθ

${\displaystyle dx=(r·d\theta )\cos \theta ,dx=\frac{a^2}{y}\cos \theta ·d\theta }$

Integrando

${\displaystyle x=\sqrt{\frac{a^2}{2}}{\displaystyle \int \frac{\cos \theta }{\sqrt{1-\cos \theta }}d\theta +c_2}}$

Teniendo en cuenta, las relaciones trigonométricas

${\displaystyle \begin{array}{l}\cos \theta ={\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=1-2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)\\ 1-\cos \theta =2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)\end{array}}$

Tenemos la suma de dos integrales

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{\cos \theta }{\sqrt{1-\cos \theta }}d\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{{\displaystyle \int \frac{d\theta }{\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}}-2{\displaystyle \int \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)d\theta }\right\}}}$

La segunda integral es inmediata, y para la primera utilizamos la relación trigonométrica

${\displaystyle \sin x=\frac{2\tan \left(\frac{x}{2}\right)}{1+{\tan }^2\left(\frac{x}{2}\right)}}$

Haciendo el cambio de variable

${\displaystyle \tan \left(\frac{\theta }{4}\right)=t,dt=\frac{1}{4}\frac{d\theta }{{\cos }^2\left(\frac{\theta }{4}\right)}=\frac{1}{4}\left(1+{\tan }^2\left(\frac{\theta }{4}\right)\right)d\theta =\frac{1}{4}\left(1+t^2\right)d\theta }$

Obtenemos

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{d\theta }{\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}}={\displaystyle \int \frac{1+{\tan }^2\left(\frac{\theta }{4}\right)}{2\tan \left(\frac{\theta }{4}\right)}d\theta }={\displaystyle \int \frac{1+t^2}{2t}\frac{4dt}{1+t^2}}=2\ln t=2\ln \left(\tan \left(\frac{\theta }{4}\right)\right)}$

La expresión de la integral

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{\cos \theta }{\sqrt{1-\cos \theta }}d\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{2\ln \left(\tan \left(\frac{\theta }{4}\right)\right)+4\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\right\}}}$

Finalmente, la expresión de la abscisa x(θ) es

${\displaystyle x=a\left\{\ln \left(\tan \left(\frac{\theta }{4}\right)\right)+2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\right\}+c_2}$

Debido a que x(θ) se hace infinito cuando θ=0, la constante c₂ se elige de modo, que cuando θ=1°, x=0

Representamos la abscisa x en función de θ en el intervalo [π/180, θ_c]

a=0.271;
g=@(x) a*(log(tan(x/4))+2*cos(x/2));
c2=-g(pi/180);
fplot(@(x) g(x)+c2,[pi/180,pi])
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3','5\pi/6','\pi'})
xlabel('\theta')
ylim([0,1.2])
ylabel('x')
grid on
title('Abscisa x')

Representamos la función y=f(x) en el intervalo π/180≤θ<θ_c

a=0.271;
th_c=pi; %ángulo de contacto
f=@(x) -sqrt(2*a^2*(1-cos(x)));
g=@(x) a*(log(tan(x/4))+2*cos(x/2));
c2=-g(pi/180);
fplot(@(x) g(x)+c2, @(x) f(x) ,[pi/180,th_c])
h=f(th_c); %altura del líquido
line([0,1.2], [h,h],'lineWidth',1.5,'color','k') %plano horizontal
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
grid on
title('Perfil')

Si derramamos el líquido en un plano horizontal hecho de otro material, el ángulo de contacto es 70°. Representamos la función en paramétricas en el intervalo, 0.1°≤θ<θ_c

a=0.271;
th_c=70*pi/180; %ángulo de contacto
f=@(x) -sqrt(2*a^2*(1-cos(x)));
g=@(x) a*(log(tan(x/4))+2*cos(x/2));
c2=-g(0.1*pi/180);
fplot(@(x) g(x)+c2, @(x) f(x) ,[0.1*pi/180,th_c])
h=f(th_c); %altura
line([0,1.8], [h,h],'lineWidth',1.5,'color','k') %plano horizontal
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
grid on
title('Perfil')

Referencias

F. Behroozi. The edge profile of liquid spills. Am. J. Phys. 90 (1), January 2022. pp. 10-14