Perfil de la superficie de un líquido en contacto con una placa vertical

Supongamos que una placa muy larga se introduce en un líquido. La superficie del líquido cerca de la placa deja de ser plana. Vamos a obtener la ecuación del perfil de dicha superficie en términos de la densidad del líquido ρ, coeficiente de tensión superficial γ, y el ángulo de contacto θ

Cortamos la superficie del líquido por un plano vertical perpendicular a la placa. Establecemos los ejes X e Y. El perfil de dicha superficie es la función y=y(x) que vamos a determinar

Aplicamos la ecuación Young-Laplace para la superficie curva de un líquido

${\displaystyle \Delta p=\gamma \left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)=\frac{\gamma }{R_1}}$

Uno de los radios de curvatura es infinito, 1/R₂=0. Se traza la tangente a la curva en el punto (x,y). En la perpendicular (normal) se encuentra el centro de curvatura C, cuyo radio es R₁

La presión es mayor del lado del centro de curvatura, la diferencia Δp es la altura y de la columna de fluido

${\displaystyle \rho gy=\gamma \frac{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}{{\left(1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\right)}^{3/2}}}$

Para una función decreciente d²y/dx²>0

Multiplicamos el miembro izquierdo por dy y el miembro derecho, por su equivalente, (dy/dx)dx e integramos

${\displaystyle \frac{\rho g}{\gamma }{\displaystyle \int y·dy=}{\displaystyle \int \frac{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\frac{dy}{dx}}{{\left(1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\right)}^{3/2}}dx}}$

La primera integral es inmediata, para la segunda hacemos el cambio de variable

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{u}{{\left(1+u^2\right)}^{3/2}}}·du=-\frac{1}{\sqrt{1+u^2}},u(x)=\frac{dy}{dx},du=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}dx}$

El resultado es

${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }{y}^2=-\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}}+c_1}$

La constante c₁ se determina, con la condición x→∞, y=0, dy/dx=0. Por tanto, c₁=1

${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }{y}^2=1-\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}}}$

Para x=0 obtenemos la altura máxima del líquido h, donde la pendiente es -(π/2-θ)=-π/2+θ. Siendo θ el ángulo de contacto

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\tan \theta }}$

La altura h vale

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }{h}^2=1-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{\tan }^2\theta }}}\\ \frac{1}{2}\frac{\rho g}{\gamma }{h}^2=1-\sin \theta \\ h^2=2\frac{\gamma }{\rho g}\left(1-\sin \theta \right)\end{array}}$

Integramos de nuevo, para obtener la ecuación del perfil de la superficie del líquido y=y(x)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}}=1-\frac{k^2}{2}{y}^2,k^2=\frac{\rho g}{\gamma }\\ \frac{1}{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}={\left(1-\frac{k^2}{2}{y}^2\right)}^2\\ \frac{dy}{dx}=-k\frac{y\sqrt{1-\frac{k^2}{4}{y}^2}}{1-\frac{k^2}{2}{y}^2}\end{array}}$

Se elige el signo negativo de la raíz, por que la pendiente dy/dx es negativa. Integramos

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1-\frac{k^2}{2}{y}^2}{y\sqrt{1-\frac{k^2}{4}{y}^2}}dy=-}k{\displaystyle \int dx}+c_2}$

La primera integral es la suma de dos

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1-\frac{k^2}{2}{y}^2}{y\sqrt{1-\frac{k^2}{4}{y}^2}}dy=}{\displaystyle \int \frac{1}{y\sqrt{1-\frac{k^2}{4}{y}^2}}dy-}{\displaystyle \int \frac{\frac{k^2}{2}y}{\sqrt{1-\frac{k^2}{4}{y}^2}}dy}}$

Para la segunda integral, más sencilla, hacemos el cambio de variable

${\displaystyle u=1-\frac{k^2}{4}{y}^2,du=-\frac{k^2}{2}y·dy}$

Para la primera, hacemos el cambio de variable

${\displaystyle u^2=1-\frac{k^2}{4}{y}^2,y=\frac{2}{k}\sqrt{1-u^2},dy=-\frac{2}{k}\frac{u·du}{\sqrt{1-u^2}}}$

El resultado de la integral es

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1-\frac{k^2}{2}{y}^2}{y\sqrt{1-\frac{k^2}{4}{y}^2}}dy=}-\text{arctanh}\left(\sqrt{1-\frac{k^2}{4}{y}^2}\right)+\sqrt{4-k^2{y}^2}}$

>> syms x k;
>> int((1-k*x^2/2)/(x*sqrt(1-k*x^2/4)),x)
ans =2*(1 - (k*x^2)/4)^(1/2) - atanh((1 - (k*x^2)/4)^(1/2))

Simplificamos algo más el resultado

${\displaystyle \begin{array}{l}t=\text{arctanh}\sqrt{1-\frac{k^2}{4}{y}^2}\\ \tanh t=\sqrt{1-\frac{k^2}{4}{y}^2}\\ \frac{k^2}{4}{y}^2=1-{\tanh }^{2}t\\ \frac{k}{2}y=\frac{1}{\cosh t}\\ t=\text{arccosh}\left(\frac{2}{ky}\right)\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle \sqrt{4-k^2{y}^2}-\text{arccosh}\left(\frac{2}{ky}\right)=-kx+c_2}$

La constante c₂ se calcula, con la condición, para x=0, y=h

${\displaystyle c_2=\sqrt{4-k{h}^2}-\text{arccosh}\left(\frac{2}{h\sqrt{k}}\right)}$

Llegamos a la ecuación implícita x=x(y) que describe el perfil de la superficie del líquido en contacto con una placa plana vertical

${\displaystyle \begin{array}{l}kx=\text{arccosh}\left(\frac{2}{ky}\right)-\sqrt{4-k^2{y}^2}-\text{arccosh}\left(\frac{2}{kh}\right)+\sqrt{4-k^2{h}^2},k^2=\frac{\rho g}{\gamma }\\ h^2=\frac{2}{k^2}\left(1-\sin \theta \right)\end{array}}$

Ejemplo

Para el agua en contacto con una placa plana metálica

• Angulo de contacto, θ≈0
• Densidad, ρ=1000 kg/m³
• Coeficiente de tensión superficial, γ=72.8·10^-3 N/m

k=sqrt(1000*9.8/72.8e-3);
h=sqrt(2)/k;
f=@(x,y) -sqrt(4-(k*y).^2)+acosh(2./(k*y))+sqrt(4-(k*h)^2)-acosh(2./(k*h))-x*k;
fimplicit(f,[0,0.01,0,h])
line([0,0],[0,4e-3],'lineWidth',1.5,'color','k')
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Menisco')

El perfil de la superficie de un líquido en contacto con un cilindro vertical en ausencia de gravedad

Sea un cilindro vertical sólido de radio R situado en medio de un recipiente cilíndrico de radio L mucho mayor que R. La superficie libre del líquido alrededor del cilindro tiene el perfil que se muestra en la figura. El ángulo de contacto es θ.

El ángulo que forma la recta tangente al perfil en x=R es φ₁=π/2+θ. En general, la recta tangente forma un ángulo φ en x y una ángulo π en x=L. La pendiente dz/dt=tanφ es negativa, crece con x y la derivada segunda d²z/dx² es positiva

La ecuación Young-Laplace en ausencia de gravedad g=0

${\displaystyle \frac{\Delta p}{\gamma }=\frac{\frac{d^{2}z}{d{x}^2}}{{\left(1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2\right)}^{3/2}}-\frac{\frac{dz}{dx}}{x\sqrt{1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2}}}$

El primer término es la derivada de

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{\frac{dz}{dx}}{\sqrt{1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2}}\right)=\frac{\frac{d^{2}z}{d{x}^2}\sqrt{1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2}-\frac{2\frac{dz}{dx}\frac{d^{2}z}{d{x}^2}}{2\sqrt{1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2}}\frac{dz}{dx}}{1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2}=\frac{\frac{d^{2}z}{d{x}^2}}{{\left(1+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2\right)}^{3/2}}}$

La presión es mayor del lado de la superficie que contiene el centro de curvatura. En la figura, los centros de curvatura están en sentidos opuestos, el primero de radio r₁ está hacia el exterior y el segundo, de radio r₂ hacia el interior del fluido. El primer término es positivo y el segundo, negativo

Teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \phi =\frac{dz}{dx},\sin \phi =\frac{\tan \phi }{\sqrt{1+{\tan }^2\phi }}\\ -\frac{d\sin \phi }{dx}-\frac{\sin \phi }{x}=2r_c\end{array}}$

Fijarse que sinφ es una función decreciente con x, su derivada es negativa, para que el primer término sea positivo ponemos un signo - delante. Como φ<π, sinφ es positivo. r_c es el radio medio de curvatura

Efectuamos el cambio de variable u=sinφ

${\displaystyle \frac{du}{dx}+\frac{u}{x}=-2r_c}$

Escribimos la ecuación diferencial en la forma del apartado, 'Ecuaciones diferenciales exactas'. Véase, Ecuaciones diferenciales de primer orden.

${\displaystyle Q(t,x)\frac{dx}{dt}=-P(t,x),\{\begin{array}{l}Q(t,x)=1\\ P(t,x)=2r_c+\frac{x}{t}\end{array}}$

No es diferencial exacta, no se cumple que

${\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial t}}$

Buscamos un factor integrante

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial t}\right)=f(t),\mu =\exp \left({\displaystyle \int f(t)·dt}\right)\\ f(t)=\frac{1}{t},\mu =\exp \left({\displaystyle \int \frac{dt}{t}}\right)=\exp \left(\ln t\right)=t\end{array}}$

La ecuación diferencial se puede escribir de la forma

${\displaystyle \begin{array}{l}dU(t,x)=\mu P(t,x)dt+\mu Q(t,x)dx=0\hfill \\ \mu P(t,x)=\frac{\partial U}{\partial t},\mu Q(t,x)=\frac{\partial U}{\partial x}\hfill \end{array}}$

Obtenemos la solución de la ecuación diferencial

${\displaystyle \begin{array}{l}U={\displaystyle \int \mu P(t,x)dt+}g(x)\\ U={\displaystyle \int t\left(2r_c+\frac{x}{t}\right)}dt+g(x)\\ U=r_c{t}^2+xt+g(x)\\ \mu Q(t,x)=\frac{\partial U}{\partial x}\\ t=t+\frac{dg}{dx}\\ \frac{dg}{dx}=\mathrm{0,}g(x)=\text{cte}\\ r_c{t}^2+xt=c\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}_c{x}^2+ux=c\\ r_c{x}^2+x\sin \phi =c\end{array}}$

Con las condiciones de contorno, determinamos la constante c y el radio medio de curvatura r_c

• Para x=L, z=0, φ=π

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}_c{L}^2=c\\ r_c{x}^2+x\sin \phi =r_c{L}^2\end{array}}$

• Para x=R, φ=θ+π/2.

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}_c{x}^2+x\sin \phi =r_c{L}^2\\ r_c{R}^2+R\sin \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)=r_c{L}^2\\ r_c=\frac{R\cos \theta }{L^2-R^2}\end{array}}$

Despejamos x en función del parámetro φ, x=x(φ). φ es el angulo de la recta tangente al perfil

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}^2+\frac{\sin \phi }{r_c}x-L^2=0\\ x=\frac{-\frac{\sin \phi }{r_c}\pm \sqrt{{\left(\frac{\sin \phi }{r_c}\right)}^2+4L^2}}{2}\end{array}}$

x es positivo, elegimos la raíz con signo +

${\displaystyle x=\frac{\sqrt{{\sin }^2\phi +4L^2{r}_c^2}-\sin \phi }{2r_c}}$

Para obtener la segunda ecuación, z=z(φ), tenemos que integrar, dz/dx=tanφ. Recordaremos que u=sinφ

${\displaystyle \begin{array}{l}dz=\tan \phi ·dx=-\tan \phi \frac{du}{2r_c+\frac{u}{x}}=-\tan \phi \frac{du}{2r_c+\frac{2r_{c}u}{\sqrt{u^2+4L^2{r}_c^2}-u}}=\\ -\frac{1}{2r_c}\tan \phi \left(1-\frac{u}{\sqrt{u^2+4L^2{r}_c^2}}\right)du=-\frac{1}{2r_c}\tan \phi \left(1-\frac{\sin \phi }{\sqrt{{\sin }^2\phi +4L^2{r}_c^2}}\right)\cos \phi ·d\phi \\ dz=\frac{1}{2r_c}\left(-\sin \phi +\frac{{\sin }^2\phi }{\sqrt{{\sin }^2\phi +4L^2{r}_c^2{}_c}}\right)d\phi \end{array}}$

Integramos

${\displaystyle z(\phi )={\displaystyle \underset{\pi }{\overset{\phi }{\int }}\frac{1}{2r_c}\left(-\sin \phi +\frac{{\sin }^2\phi }{\sqrt{{\sin }^2\phi +4L^2{r}_c^2}}\right)d\phi =}\frac{1}{2r_c}\left\{\cos \phi +1+{\displaystyle \underset{\pi }{\overset{\phi }{\int }}\frac{{\sin }^2\phi }{\sqrt{{\sin }^2\phi +4L^2{r}_c^2}}d\phi }\right\}}$

Buscamos en una tabla de integrales

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{{\sin }^{2}x}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}}}dx=\frac{1}{k^2}\left(F(x,k)-E(x,k)\right)}$

El resultado de la integral es

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{\pi }{\overset{\phi }{\int }}\frac{{\sin }^2\phi }{\sqrt{{\sin }^2\phi +4L^2{r}_c^2}}d\phi }=\frac{1}{2L{r}_c}{\displaystyle \underset{\pi }{\overset{\phi }{\int }}\frac{{\sin }^2\phi }{\sqrt{1+\frac{1}{4L^2{r}_c^2}{\sin }^2\phi }}d\phi =}\\ 2L{r}_c\left(E(\phi ,k)-E(\pi ,k)-F(\phi ,k)+F(\pi ,k)\right),k^2=-\frac{1}{4L^2{r}_c^2}\end{array}}$

El perfil de la superficie del líquido en contacto con el cilindro está descrito por un par de ecuaciones dependientes de un parámetro φ

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x(\phi )=\frac{\sqrt{{\sin }^2\phi +4L^2{r}_c^2}-\sin \phi }{2r_c},r_c=\frac{R\cos \theta }{L^2-R^2}\\ z(\phi )=\frac{1+\cos \phi }{2r_c}+L\left(E(\phi ,k)-E(\pi ,k)-F(\phi ,k)+F(\pi ,k)\right),k^2=-\frac{1}{4L^2{r}_c^2}\end{array}}$

La máxima altura h del perfil se obtiene para φ=θ+π/2, h=z(θ+π/2)

Los datos son

• Radio del cilindro sólido, R=1
• Dimensión del recipoiente, L=5R
• Angulo de contacto θ: 0°, 30°, 60°

=1; %radio cilindro
L=5*R; %dimensión del recipiente
hold on
for th=[0,30,60]*pi/180 %ángulos de contacto
    rc=R*cos(th)/(L^2-R^2);
    x=@(phi) (sqrt(sin(phi).^2+(2*L*rc)^2)-sin(phi))/(2*rc);
    k2=-1/(2*L*rc)^2;
    z=@(phi) (cos(phi)+1)/(2*rc)+L*(ellipticE(phi,k2)-ellipticE(pi,k2)-
ellipticF(phi,k2)+ellipticF(pi,k2));
    fplot(x,z,[pi/2+th, pi])
    disp([th*180/pi,z(pi/2+th)])
end

line([R,R],[0,1.8],'color','k','lineWidth',1.5)
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('z')
legend('0','30','60','location','best')
title('Perfiles')

Las alturas h de los perfiles son: h=1.7622, 1.2171, 0.6148, para los ángulos de contacto: 0°, 30°, 60°, respectivamente

        0    1.7622
   30.0000    1.2171
   60.0000    0.6148

La función z=z(x) es una superficie de revolución que se genera, gorando el perfil alrededor del eje Z

R=1; %radio del cilindro
L=5*R; %dimensión del recipiente
hold on
th=pi/6; %ángulo de contacto
rc=R*cos(th)/(L^2-R^2);
x=@(phi) (sqrt(sin(phi).^2+(2*L*rc)^2)-sin(phi))/(2*rc);
k2=-1/(2*L*rc)^2;
z=@(phi) (cos(phi)+1)/(2*rc)+L*(ellipticE(phi,k2)-ellipticE(pi,k2)
-ellipticF(phi,k2)+ellipticF(pi,k2));

hold on
%cilindro
r=1*ones(30,1);
phi=linspace(0,2*pi,30);
[R,Phi]=meshgrid(r,phi);
X=R.*cos(Phi);
Y=R.*sin(Phi);
Z=repmat(linspace(0,2,30),30,1);
surfl(X,Y,Z);

%superficie de revolución
pa=linspace(pi/2+th, pi,50);
phi=linspace(0,2*pi,30);
[Pa,Phi]=meshgrid(pa,phi);
X=x(Pa).*cos(Phi);
Y=x(Pa).*sin(Phi);
Z=z(Pa);
surfl(X,Y,Z)
shading interp
colormap(gray);
X=zeros(1,length(pa));
plot3(X,x(pa),z(pa),'r')

hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Perfil')
view(105,22)

La línea de color rojo es el perfil dibujado en la figura anterior para θ=30°

Referencias

G. K. Batchelor. An Introduction to fluid dynamics. Cambridge University Press, pp. 66-67

Yanfei Tang, Shengfeng Cheng. The meniscus on the outside of a circular cylinder: From microscopic to macroscopic scales. Journal of Colloid and Interface Science 533 (2019) 401–408

I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series, and Products.. Eighth Edition. Elsevier. 2015. Pág. 190, 2.584, n° 4