Superficie mínima de revolución

Se genera una superficie de revolución haciendo girar la curva y=y(x) alrededor del eje X.

Por ejemplo, si y=mx, es una recta que pasa por el origen, se genera una superficie cónica, si y=cte, se genera una superficie cilíndrica.

Se tratará de encontrar la función y=y(x) que hace que el área de la superficie de revolución generada entre los puntos x=a y x=b sea mínima.

Tal como vemos en la figura, el elemento diferencial de área (en color negro) es

dA=2πy(x)·ds, siendo $ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$. El área es

${\displaystyle A(y)={\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}2\pi y(x)\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx}}$

Buscamos el mínimo de la función $f(x,y,\dot{y})=y\sqrt{1+{\dot{y}}^2}$, que no depende de x. La ecuación de Euler-Lagrange, se escribe

${\displaystyle \begin{array}{l}f-\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\dot{y}=C_1\\ y\sqrt{1+{\dot{y}}^2}-y\frac{{\dot{y}}^2}{\sqrt{1+{\dot{y}}^2}}=C_1\\ C_1\frac{dy}{dx}=\sqrt{y^2-C_1^2}\end{array}}$

La solución es

${\displaystyle \begin{array}{l}x+C_2=C_1{\displaystyle \int \frac{dy}{\sqrt{y^2-C_1^2}}}\\ x+C_2=C_1{\cosh }^{-1}\left(\frac{y}{C_1}\right)\\ y=C_1\cosh \left(\frac{x+C_2}{C_1}\right)\end{array}}$

Ejemplo, sea C₂=0, y C₁=1

y=cosh(x)

Dibujamos la superficie que se genera al girar la curva y=cosh(x) alrededor del eje X, entre los puntos de abscisa x=0 y x=2

>> syms x t;
>> ezsurf(x,cosh(x)*cos(t),cosh(x)*sin(t),[0,2*pi,0,2])
>> title('superficie de revolución')

Película jabonosa

Una película delgada de jabón está formada por una fina capa de agua atrapada entre dos capas de moléculas de tensioactivo, en este caso jabón. La forma que adquieren las películas delgadas o las pompas de jabón está determinada por la tensión superficial, una propiedad de los líquidos que podemos definir como la cantidad de energía necesaria para aumentar la superficie libre del líquido referida a la unidad de área y que tiene su origen en las fuerzas de cohesión entre las moléculas que forman el líquido.

Puesto que aumentar la cantidad de superficie necesita un aporte de energía, las películas delgadas de jabón tienden espontáneamente a adquirir una configuración de mínima superficie, y por tanto, de mínima energía. Así, cuando introducimos un marco de alambre, por ejemplo, en el líquido jabonoso y lo retiramos, la película delgada que se forma adquiere espontáneamente la forma de menor superficie compatible con los extremos impuestos por el marco.

En una película jabonosa, la energía

${\displaystyle 2\gamma {\displaystyle \int dS}}$

debe ser mínima, donde γ es la tensión superficial y la integral es el área de dicha película.

Producimos una película de jabonosa entre dos aros de radios r₁ y r₂ separados una distancia h. Las constantes C₁ y C₂, se calculan del siguiente modo: para x=0, y=r₁ y para x=h, y=r₂.

Supongamos que los aros son iguales a R. La función y(x) tiene un mínimo en x=h/2

${\displaystyle \begin{array}{l}y=C_1\cosh \left(\frac{x+C_2}{C_1}\right)\\ \frac{dy}{dx}=\sinh \left(\frac{x+C_2}{C_1}\right)=0\end{array}}$

por lo que C₂=-h/2

Llamando a=C₁, el radio del mínimo, tenemos la ecuación

${\displaystyle y=a\cosh \left(\frac{x}{a}-\frac{h}{2a}\right)}$

Para x=0, y=R. Relacionamos el radio de los aros R, la separación entre los mismos h y el radio del mínimo a

${\displaystyle R=a\cosh \left(\frac{h}{2a}\right)}$

Representamos h/R en función de a/R

${\displaystyle \frac{h}{R}=2\frac{a}{R}{\cosh }^{-1}\left(\frac{R}{a}\right)}$

fplot(@(x) 2*x.*acosh(1./x),[0,1])
grid on
ylim([0,1.4])
xlabel('a/R')
ylabel('h/R')
title('Relación: h,R,a')

Llamando x=a/R, calculamos el máximo de la función y=2xcosh^-1(1/x), igualando a cero la derivada, dy/dx=0

>> syms x;
>> diff(x*acosh(1/x))
ans =acosh(1/x) - 1/(x*(1/x - 1)^(1/2)*(1/x + 1)^(1/2))

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=2{\cosh }^{-1}x-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}}$

Calculamos la raíz (abscisa del máximo) de esta ecuación transcendente, próxima a 0.5 tal como apreciamos en la figura

>> f=@(x) 2*acosh(1/x)-2/sqrt(1-x^2);
>> xc=fzero(f,0.5)
xc =    0.5524
>> 2*xc*acosh(1/xc)
ans =    1.3255

No es posible formar una película de jabonosa cuando la distancia entre los aros h/R>1.325. A este valor lo denominamos crítico h_c/R=1.325

Para una separación h/R<1.325 son posibles dos superficies. Por ejemplo, para h/R=0.8, son posibles dos superficies de revolución:

• una, cuyo radio mínimo a/R está comprendido entre 0 y x_c
• y la otra, cuyo radio mínimo está comprendido entre x_c y 1

>>h=0.8;
>> f= @(x) 2*x*acosh(1/x)-h;
>> fzero(f,[0.1,xc])
ans =    0.1580
>> fzero(f,[xc,1])
ans =    0.9107

Representamos las dos funciones

h=0.8;
f=@(x) 2*x*acosh(1/x)-h;
hold on
a=fzero(f,[0.1,xc]); %radio menor
fplot(@(x) a*cosh(x/a-h/(2*a)),[0,h])
a=fzero(f,[xc,1]); %radio mayor
fplot(@(x) a*cosh(x/a-h/(2*a)),[0,h])
hold off
grid on
legend('menor','mayor','location','southeast')
xlabel('x/R')
ylabel('y/R')
title('Dos superficies')

Representamos la película jabonosa para uno de las dos posibles valores del parámetro a/R=0.1580

h=0.8; %distancia
a=0.1580; %radio mínimo
syms x t;
ezsurf(x,a*cosh(x/a-h/(2*a))*cos(t),a*cosh(x/a-h/(2*a))*sin(t),[0,2*pi,0,h])
title('pompa de jabón')

Area

Calculamos el área de la película jabonosa

${\displaystyle S=\underset{0}{\overset{h}{{\displaystyle \int }}}2\pi y\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx=2\pi a{\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}{\cosh }^2\left(\frac{x}{a}-\frac{h}{2a}\right)dx=\pi a^2\left(\sinh \left(\frac{h}{a}\right)+\frac{h}{a}\right)}}$

Para cada separación h<h_c entre los dos aros de radio R hay dos posibles superficies: una cuyo radio mínimo r/R es mayor que x_c y la otra, cuyo radio mínimo es menor que x_c

Calculamos al área S de estas dos superficies de revolución y las representamos en función de h/R

hc=1.325; %distancia crítica
xc=0.5524; 
hh=linspace(0.1,hc,100);
area_min=zeros(1,length(hh));
area_max=zeros(1,length(hh));
i=1;
for h=hh
    f=@(x) 2*x*acosh(1/x)-h;
    a_min=fzero(f,[0.001,xc]); %radio mínimo menor
    a_max=fzero(f,[xc,1]); %radio mínimo mayor
    area_min(i)=pi*a_min^2*(sinh(h/a_min)+h/a_min);
    area_max(i)=pi*a_max^2*(sinh(h/a_max)+h/a_max);
    i=i+1;
end
hold on
plot(hh,area_min); 
plot(hh,area_max);
line([0,hc],[2*pi,2*pi],'lineStyle','--')
hold off
grid on
legend('radio menor','radio mayor','location','southeast')
xlabel('h/R')
ylabel('S/R^2')
title('Area')

La superficie de revolución correspondiente al radio mínimo a/R menor tiene un área mayor que la superficie de revolución correspondiente al radio mínimo mayor. Es estable la configuración correspondiente a la menor energía posible, es decir, la superficie de revolución de área menor, que corresponde a la película jabonosa que tiene un radio mínimo mayor, tal como se aprecia en la figura

La línea horizontal a trazos, representa el área de los dos aros 2πR²/R²=2π. El área de los dos aros se iguala al área de la película jabonosa estable, cuando su separación es h₀/R=1.05

A medida que la separación h entre los anillos de radio R se incrementa 0<h<h₀, el área S de la película jabonosa cuyo radio mínimo es el mayor de los dos y por tanto estable, se incrementa (línea continua inferior). Cuando la separación h es mayor que h₀, h₀<h<h_c, la película jabonosa cubre los dos aros y no hay nada entre ellos (línea a trazos) cuya área (2π) es menor que la de la superficie de revolución correspondiente a esa altura h

Referencias

Tensión superficial y películas de jabón. https://www.ucm.es/data/cont/docs/76-2013-06-11-02_Surface_tension_and_soap_films.pdf

Masato Ito, Taku Sato. In situ observation of a soap-film catenoid -a simple educational physics experiment. Eur. J. Phys. 31 (2010) pp. 357-365