La forma que adopta una cuerda bajo la acción de su peso y de la tensión superficial.

Equilibrio de un elemento de la cuerda

Una cuerda uniforme flexible de longitud 2L está sujeta a una varilla horizontal por sus extremos distantes 2x0, tal como se muestra en la figura. Por razones de simetría respecto del eje Y, solamente analizaremos el comportamiento de la cuerda para x≥0.

Las fuerzas que actúan sobre un elemento ds de la cuerda son:

Se pueden presentar los siguientes casos:

Condiciones de equilibrio:

En la figura, se muestra el significado del cociente ds/dθ. es el ángulo que forman las rectas tangentes a la curva en la posición s y en la posición s+ds. es el ángulo que forman las normales. Las direcciones normales se encuentran en un punto C denominado centro de curvatura, y ρ es el radio de curvatura, ds=ρ·dθ.

En la expresión (2), el ángulo θ está comprendido 0≤θ≤π/2 por tanto 0≤cosθ≤1. Por otra parte, la tensión de la cuerda T es siempre positiva.

Ahora bien, el ángulo θ varía a lo largo de la cuerda por lo que esta comparación no es satisfactoria.

Los parámetros más importantes de este sistema físico son α=2γ/λg, ya definido y el cociente x0/L entre la separación de los extremos de la cuerda 2x0 y la longitud de la cuerda 2L.

Ecuación de curva que describe la forma que adopta la cuerda

Dividiendo las ecuaciones de equilibrio (1) y (2)

dT T = sinθ cosθα dθ

Integrando

dT T = sinθ cosθα dθ +cte lnT=ln(cosθα)+cte T(cosθα)=Cλg

donde C es una constante a determinar

Despejando T y sustituyéndola en la ecuación (2)

ds dθ = C ( cosθα ) 2

Teniendo en cuenta que

dx=ds·cosθ
dy=ds
·sinθ

Obtenemos las ecuaciones diferenciales de la curva dependiente del parámetro θ

dx dθ = C·cosθ ( cosθα ) 2 dy dθ = C·sinθ ( cosθα ) 2

A continuación, vamos a integrar estas ecuaciones.

La segunda, se integra de forma inmediata

y=C sinθ (cosθα) 2 dθ+C· c y     

cy es una constante de integración cuyo valor determinaremos más adelante.

Haciendo el cambio de variable

t=cosθαdt=sinθ·dθ y C = dt t 2 + c y = 1 t + c y

Deshaciendo el cambio

y C = 1 cosθα + c y                       (3)

Más difícil resulta resolver la primera integral,

x C = cosθ ( cosθα ) 2 dθ + c x

cx es una constante de integración cuyo valor determinaremos más adelante.

Se realiza el cambio de variable

t=tan( θ 2 )dt= 1 2 (1+ t 2 )dθ cosθ= 1 t 2 1+ t 2

La integral se convierte en

1 t 2 (1 t 2 αα t 2 ) 2 dt

Se pueden presentar tres casos según que α>1, α<1 y α=1que conducen a distintos funciones integrando como veremos a continuación.

Caso α>1

Llamando

β 2 = α+1 α1 >0 x C = 2 (α1) 2 1 t 2 ( 1+ β 2 t 2 ) 2 dt + c x = 2 (α1) 2 1+ β 2 t 2 β 2 t 2 t 2 ( 1+ β 2 t 2 ) 2 dt + c x = 2 (α1) 2 { dt ( 1+ β 2 t 2 ) (1+ β 2 ) t 2 ( 1+ β 2 t 2 ) 2 dt }+ c x

La primera integral es inmediata y la segunda, procedemos a integrarla por partes

t 2 (1+ β 2 t 2 ) 2 dt= 1 2 β 2 t (1+ β 2 t 2 ) + 1 2 β 3 arctan(βt)

El resultado final es

x C = 2 (α1) 2 { 1 β arctan(βt)(1+ β 2 )( 1 2 β 2 t (1+ β 2 t 2 ) + 1 2 β 3 arctan(βt) ) }+ c x = 2 (α1) 2 β 2 { β 2 1 β arctan(βt)+ (1+ β 2 )t (1+ β 2 t 2 ) }+ c x

Ahora, se deshace los cambios se expresa t en función del ángulo θ, y β en función de α.

cosθ= 1 t 2 1+ t 2 t 2 = 1cosθ 1+cosθ = (1cosθ) 2 sin 2 θ t=  1cosθ sinθ

El resultado final es

x C = 1 α 2 1 { 2 α 2 1 arctan( α+1 α 2 1 tan( θ 2 ) )+ αsinθ αcosθ }+ c x          (4)

Caso α<1

Llamando

β 2 = 1+α 1α >0 x C = 2 (1α) 2 1 t 2 ( 1 β 2 t 2 ) 2 dt + c x = 2 (1α) 2 1 β 2 t 2 + β 2 t 2 t 2 ( 1 β 2 t 2 ) 2 dt + c x = 2 (1α) 2 { dt ( 1 β 2 t 2 ) +( β 2 1) t 2 ( 1 β 2 t 2 ) 2 dt }+ c x

El resultado de la primera integral es

dt 1 β 2 t 2 = 1 2 dt 1+βt + 1 2 dt 1βt = 1 2β ln| 1+βt 1βt |

La segunda, la integramos por partes

t 2 ( 1 β 2 t 2 ) 2 dt= 1 2 β 2 t (1 β 2 t 2 ) 1 2β dt 1 β 2 t 2 = 1 2 β 2 t (1 β 2 t 2 ) 1 4 β 3 ln| 1+βt 1βt |

El resultado final es

x C = 1 (1α) 2 β 2 { β 2 +1 2β ln| 1+βt 1βt |+( β 2 1) t 1 β 2 t 2 }+ c x

Ahora, se deshace los cambios se expresa t en función del ángulo θ, y β en función de α.

cosθ= 1 t 2 1+ t 2 t 2 = 1cosθ 1+cosθ = (1cosθ) 2 sin 2 θ t=  1cosθ sinθ

El resultado final es

x C = 1 1 α 2 { 1 α 2 1 ln| 1 α 2 +(1+α)tan(θ/2) 1 α 2 (1+α)tan(θ/2) |+ αsinθ cosθα }+ c x           (5)

Caso α=1

x C =2 1 t 2 ( 2 t 2 ) 2 dt + c x = 1 2 ( 1 t 4 1 t 2 )dt + c x = 1 2 ( 1 3 t 3 + 1 t )+ c x

Deshaciendo los cambios

t=tan(θ/2)

x C = 1 6 tan 3 (θ/2) + 1 2tan(θ/2) + c x                (6)

Configuración lineal

Este caso especial, se produce cuando cosθ=α=x0/L.

Como el ángulo θ es constante, la cuerda adopta la forma de un segmento de recta cuya ecuación es

y=(x x 0 )tanθ= L 2 x 0 2 x 0 (x x 0 )

Configuración cóncava

La cuerda adopta una configuración cóncava cuando α<x0/L, naturalmente α<1

La configuración cóncava es similar en su forma a la catenaria, presentando un mínimo (vértice) en x=0.

Las ecuaciones paramétricas de la curva son (3) y (5)

x C = 1 1 α 2 { 1 1 α 2 ln| 1 α 2 +(1+α)tan(θ/2) 1 α 2 (1+α)tan(θ/2) |+ αsinθ cosθα }+ c x y C = 1 cosθα + c y

Con estos dos datos determinamos las constantes de integración cx y cy

x C = 1 1 α 2 { 1 1 α 2 ln| 1 α 2 +(1+α)tan(θ/2) 1 α 2 (1+α)tan(θ/2) |+ αsinθ cosθα } y C = 1 cosθα 1 cos θ 0 α

Para representar la curva que describe la forma que adopta la cuerda, necesitamos conocer la constante C y el ángulo θ0.

Cálculo de la constante C y del ángulo θ0.

La longitud de la mitad de la cuerda L, se obtiene integrando

L= 0 L ds =C 0 θ 0 dθ ( cosθα ) 2

Para resolver esta integral seguimos los mismos pasos que para obtener la abscisa x en función del parámetro θ.

Se realiza el cambio de variable

t=tan( θ 2 )dt= 1 2 (1+ t 2 )dθ cosθ= 1 t 2 1+ t 2

La integral se convierte en

L C = 2 (1α) 2 t 0 t 1 1+ t 2 ( 1+ α+1 α1 t 2 ) 2 dt = 2 (1α) 2 t 0 t 1 1+ t 2 ( 1 β 2 t 2 ) 2 dt β 2 = 1+α 1α L C = 2 (1α) 2 t 0 t 1 1 β 2 t 2 + β 2 t 2 + t 2 ( 1 β 2 t 2 ) 2 dt = 2 (1α) 2 { t 0 t 1 dt ( 1 β 2 t 2 ) +( β 2 +1) t 0 t 1 t 2 ( 1 β 2 t 2 ) 2 dt }= 1 (1α) 2 β 2 { β 2 1 2β ln| 1+βt 1βt |+( β 2 +1) t 1 β 2 t 2 } | t 0 t 1

Deshaciendo los cambios  obtenemos

L C = 1 1 α 2 { α 1 α 2 ln| 1 α 2 +(1+α)tan(θ/2) 1 α 2 (1+α)tan(θ/2) |+ sinθ cosθα } | 0 θ 0 L C = 1 1 α 2 { α 1 α 2 ln| 1 α 2 +(1+α)tan( θ 0 /2) 1 α 2 (1+α)tan( θ 0 /2) |+ sin θ 0 cos θ 0 α }

La posición del extremo de la cuerda es x0 y el ángulo que forma la recta tangente en este punto es θ0 (véase la figura)

x 0 C = 1 1 α 2 { 1 1 α 2 ln| 1 α 2 +(1+α)tan( θ 0 /2) 1 α 2 (1+α)tan( θ 0 /2) |+ αsin θ 0 cos θ 0 α }

Se elimina C en estas dos últimas ecuaciones, obteniendo una ecuación trascendente en θ0. En la figura, vemos que para α=0.3<x0/L=0.5 dicha ecuación tiene un cero en un ángulo próximo a 70º, y presenta una discontinuidad para el ángulo tal que

1 α 2 =(1+α)tan( θ/2 )

Para α=0.3, θ=72.5º

Se resuelve la ecuación trascendente en el intervalo (0, 72.5º) por el procedimiento numérico del punto medio, obteniéndose el ángulo θ0=68.7º que forma la tangente a la cuerda en el extremo x0=1.

Una vez que se ha determinado θ0, se calcula C y se representa las ecuaciones paramétricas x(θ), y(θ) en el intervalo 0≤θθ0.

Configuración convexa

Hay tres posibles configuraciones convexas.

La configuración convexa tiene la particularidad de que una longitud d de la cuerda por debajo del vértice P está pegada a la porción d del otro lado del eje Y. Una porción L-d de la cuerda forma el arco convexo a cada uno de los lados de dicho eje. La recta tangente a la cuerda forma ángulos θ comprendidos entre π/2 y θ0.

Del punto P, cuelga una longitud d de la cuerda por cada lado, la tensión de la cuerda en este punto es

T=λgd

Deducimos por integración una expresión para la tensión de la cuerda en función del parámetro θ,

T(cosθ-α)=Cλg

En el punto P, para θ=π/2 se obtiene

-=Cλg

El valor de la constante C=-αd

Primer caso, α>x0/L con α<1

Este caso es similar al cóncavo

Las ecuaciones paramétricas de la cuerda son (3) y (5)

x C = 1 1 α 2 { 1 α 2 1 ln| 1 α 2 +(1+α)tan(θ/2) 1 α 2 (1+α)tan(θ/2) |+ αsinθ cosθα }+ c x y C = 1 cosθα + c y

Con estos dos datos determinamos las constantes de integración cx y cy.

x αd = 1 1 α 2 { 1 α 2 1 ln| 1 α 2 +(1+α)tan(θ/2) 1 α 2 (1+α)tan(θ/2) |+ αsinθ cosθα 1 α 2 1 ln| 1 α 2 +(1+α) 1 α 2 (1+α) |+1 } y αd = 1 cosθα 1 cos θ 0 α

Para representar la curva que describe la forma que adopta la cuerda, necesitamos conocer la longitud d y el ángulo θ0.

Cálculo de la longitud d y del ángulo θ0.

La longitud de la mitad de la cuerda L, se obtiene integrando

Ld= 0 Ld ds =C π/2 θ 0 dθ ( cosθα ) 2 =αd θ 0 π/2 dθ ( cosθα ) 2

Ya hemos obtenido en la configuración cóncava el valor del integrando

Ld αd = 1 1 α 2 { α α 2 1 ln| 1 α 2 +(1+α)tan(θ/2) 1 α 2 (1+α)tan(θ/2) |+ sinθ cosθα } | θ 0 π/2 = L αd 1 α = 1 1 α 2 { α α 2 1 ln| 1 α 2 +(1+α) 1 α 2 (1+α) | 1 α α α 2 1 ln| 1 α 2 +(1+α)tan( θ 0 /2) 1 α 2 (1+α)tan( θ 0 /2) | sin θ 0 cos θ 0 α } L αd = 1 1 α 2 { α α 2 1 ln| 1 α 2 +(1+α) 1 α 2 (1+α) |α α α 2 1 ln| 1 α 2 +(1+α)tan( θ 0 /2) 1 α 2 (1+α)tan( θ 0 /2) | sin θ 0 cos θ 0 α }

La posición del extremo de la cuerda es x0 y el ángulo que forma la recta tangente a la cuerda en este punto es θ0.

x 0 αd = 1 1 α 2 { 1 α 2 1 ln| 1 α 2 +(1+α)tan( θ 0 /2) 1 α 2 (1+α)tan( θ 0 /2) |+ αsin θ 0 cos θ 0 α 1 α 2 1 ln| 1 α 2 +(1+α) 1 α 2 (1+α) |+1 }

Se elimina d en estas dos últimas ecuaciones, obteniendo una ecuación trascendente en θ0. En la figura, vemos que para α=0.7>x0/L=0.5 y α<1. Dicha ecuación tiene un cero en un ángulo próximo a 50º y presenta una discontinuidad para el ángulo tal que

1 α 2 =(1+α)tan( θ/2 )

Para α=0.7, θ=45.6º

Se resuelve la ecuación trascendente, por el procedimiento numérico del punto medio, en el intervalo (45.6, 90º) obteniéndose el ángulo θ0=50.5º que forma la tangente a la cuerda en el extremo x0=1.

Una vez que se ha determinado θ0, se calcula d y se representa las ecuaciones paramétricas x(θ), y(θ) en el intervalo θ0θ≤π/2

Segundo caso, α>1

Las ecuaciones paramétricas de la cuerda son (3) y (4)

x C = 1 α 2 1 { 2 α 2 1 arctan( α+1 α 2 1 tan( θ 2 ) )+ αsinθ αcosθ }+ c x y C = 1 cosθα + c y

con C=-αd como en el caso anterior

Con estos dos datos determinamos las constantes de integración cx y cy.

x αd = 1 α 2 1 { 2 α 2 1 arctan( α+1 α 2 1 tan( θ 2 ) )+ αsinθ αcosθ 2 α 2 1 arctan( α+1 α 2 1 )1 } y αd = 1 cosθα 1 cos θ 0 α

Para representar la curva que describe la forma que adopta la cuerda, necesitamos conocer la longitud d y el ángulo θ0.

Cálculo de la longitud d y del ángulo θ0.

La longitud de la mitad de la cuerda L, se obtiene integrando

Ld= 0 Ld ds =C π/2 θ 0 dθ ( cosθα ) 2 =αd θ 0 π/2 dθ ( cosθα ) 2

Se realiza el cambio de variable

t=tan( θ 2 )dt= 1 2 (1+ t 2 )dθ cosθ= 1 t 2 1+ t 2

La integral se convierte en

Ld αd = 2 (α1) 2 t 0 t 1 1+ t 2 ( 1+ α+1 α1 t 2 ) 2 dt = 2 (α1) 2 t 0 t 1 1+ t 2 ( 1+ β 2 t 2 ) 2 dt β 2 = α+1 α1 Ld αd = 2 (α1) 2 t 0 t 1 1+ β 2 t 2 β 2 t 2 + t 2 ( 1+ β 2 t 2 ) 2 dt = 2 (α1) 2 { t 0 t 1 dt ( 1+ β 2 t 2 ) +(1 β 2 ) t 0 t 1 t 2 ( 1+ β 2 t 2 ) 2 dt }=

La primera integral es inmediata y la segunda procedemos a integrarla por partes

t 2 ( 1+ β 2 t 2 ) 2 dt= 1 2 β 2 t (1+ β 2 t 2 ) + 1 2 β 3 arctan(βt)

El resultado final es

Ld αd = 2 (α1) 2 { 1 β arctan(βt)+(1 β 2 )( 1 2 β 2 t (1+ β 2 t 2 ) + 1 2 β 3 arctan(βt) ) } | t 1 t 2 = 2 (α1) 2 β 2 { β 2 +1 β arctan(βt)+ ( β 2 1)t (1+ β 2 t 2 ) } | t 1 t 2

Ahora, se deshace los cambios se expresa t en función del ángulo θ, y β en función de α.

cosθ= 1 t 2 1+ t 2 t 2 = 1cosθ 1+cosθ = (1cosθ) 2 sin 2 θ t=  1cosθ sinθ

El resultado final es

L αd 1 α = 1 α 2 1 { 2α α 2 1 arctan( α+1 α 2 1 tan( θ 2 ) )+ sinθ αcosθ } | θ 0 π/2 = 1 α 2 1 { 2α α 2 1 arctan( α+1 α 2 1 )+ 1 α 2α α 2 1 arctan( α+1 α 2 1 tan( θ 0 2 ) ) sin θ 0 αcos θ 0 } L αd = 1 α 2 1 { 2α α 2 1 arctan( α+1 α 2 1 )+α 2α α 2 1 arctan( α+1 α 2 1 tan( θ 0 2 ) ) sin θ 0 αcos θ 0 }

La posición del extremo de la cuerda es x0 y el ángulo que forma la recta tangente a la cuerda en este punto es θ0.

x 0 αd = 1 α 2 1 { 2 α 2 1 arctan( α+1 α 2 1 tan( θ 0 2 ) )+ αsin θ 0 αcos θ 0 2 α 2 1 arctan( α+1 α 2 1 )1 }

Se elimina d en estas dos últimas ecuaciones, obteniendo una ecuación trascendente en θ0. En la figura, vemos que para α=1.2 la ecuación presenta un cero para un ángulo próximo a 31.º

Se resuelve la ecuación trascendente, por el procedimiento numérico del punto medio, obteniéndose el ángulo θ0=30.7º que forma la tangente a la cuerda en el extremo x0=1.

Una vez que se ha determinado θ0, se calcula d y se representa las ecuaciones paramétricas x(θ), y(θ) en el intervalo θ0θ≤π/2

Tercer caso, α=1

Las ecuaciones paramétricas de la cuerda son (3) y (6)

x C = 1 6tan(θ/2) ( 4 1 sin 2 (θ/2) )+ c x y C = 1 cosθ1 + c y

con C=-αd=-d como en el caso anterior

Con estos dos datos determinamos las constantes de integración cx y cy.

x d = 1 6 tan 3 (θ/2) + 1 2tan(θ/2) 1 3 y d = 1 cosθ1 1 cos θ 0 1

Para representar la curva que describe la forma que adopta la cuerda, necesitamos conocer la longitud d y el ángulo θ0.

Cálculo de la longitud d y del ángulo θ0.

La longitud de la mitad de la cuerda L, se obtiene integrando

Ld= 0 Ld ds =C π/2 θ 0 dθ ( cosθ1 ) 2 =d θ 0 π/2 dθ ( cosθ1 ) 2

Se realiza el cambio de variable

t=tan( θ 2 )dt= 1 2 (1+ t 2 )dθ cosθ= 1 t 2 1+ t 2 Ld=2d t 0 t 1 1+ t 2 ( 2 t 2 ) 2 dt = d 2 t 0 t 1 ( 1 t 4 + 1 t 2 )dt = d 2 ( 1 3 t 3 1 t ) | t 0 t 1

Deshaciendo los cambios

Ld= d 2 ( 1 3 tan 3 (θ/2) + 1 tan(θ/2) ) | θ 0 π/2 L d = 1 6 tan 3 ( θ 0 /2) + 1 2tan( θ 0 /2) + 1 3

La posición del extremo de la cuerda es x0 y el ángulo que forma la recta tangente a la cuerda en este punto es θ0.

x 0 d = 1 6 tan 3 ( θ 0 /2) 1 2tan( θ 0 /2) + 1 3

Se elimina d en estas dos últimas ecuaciones, obteniendo una ecuación trascendente en θ0. En la figura, vemos que para α=1, la ecuación presenta un cero para un ángulo próximo a 38.º

Se resuelve la ecuación trascendente, por el procedimiento numérico del punto medio, obteniéndose el ángulo θ0=38.3º que forma la tangente a la cuerda en el extremo x0=1.

Una vez que se ha determinado θ0, se calcula d y se representa las ecuaciones paramétricas x(θ), y(θ) en el intervalo θ0θ≤π/2

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se dibuja la forma que adopta la cuerda, se proporciona los datos de la ordenada ymin del vértice, para x=0, y en el caso de las configuraciones convexas, la longitud d de la parte de la cuerda que permanece pegada debajo del vértice. Sus abscisas son x=0 y sus ordenadas varían entre ymin e ymin+d.

Fijado el valor de α, se observa el efecto de la modificación de la distancia 2x0 entre los extremos de la cuerda sujetos a la varilla horizontal.

Fijado el valor de la distancia 2x0 entre los extremos de la cuerda, se modifica el valor del parámetro α=2σ/λg. Simulando cuerdas de distintas densidades λ o películas jabonosas de distinto coeficiente de tensión superficial σ.

Se dibuja

Se cambia la ordenada y del punto de la cuerda en el que se dibujan las fuerzas, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición.

Se compara la longitud del vector de color azul (tensión superficial) con el vector de color rojo (componente del peso).


Referencias

Behroozi F., Mohazzabi P., McCrickard J. P., Remarkable shapes of a catenary under the effect of gravity and surface tension. Am. J. Phys. 62 (12) December 1994, pp. 1121-1128.