Equilibrio de un elemento de la cuerda

Una cuerda uniforme flexible de longitud 2L está sujeta a una varilla horizontal por sus extremos distantes 2x₀, tal como se muestra en la figura. Por razones de simetría respecto del eje Y, solamente analizaremos el comportamiento de la cuerda para x≥0.

Las fuerzas que actúan sobre un elemento ds de la cuerda son:

• El peso, λg·ds, donde λ es la masa por unidad de longitud de la cuerda.

• 2γ·ds, la fuerza debida a la tensión superficial, donde γ es el coeficiente de tensión superficial de la película jabonosa. El factor 2 se debe a que presenta dos caras.

• T+dT, es la fuerza que ejerce la parte derecha de la cuerda sobre el elemento ds, siendo θ+dθ el ángulo que forma con la horizontal.

• T, es la fuerza que ejerce la parte izquierda de la cuerda sobre el elemento ds, siendo θ el ángulo que forma con la horizontal.

Se pueden presentar los siguientes casos:

• Cuando la fuerza que ejerce la tensión superficial sobre el elemento ds, 2γ·ds (en color azul) es mayor que la componente del peso en la dirección normal λg·ds·cosθ (en color rojo), la cuerda es empujada hacia adentro, adoptando una configuración convexa (curvatura negativa).

• Cuando la fuerza que ejerce la tensión superficial sobre el elemento ds, 2γ·ds es menor que la componente del peso en la dirección normal λg·ds·cosθ, la cuerda es empujada hacia afuera, adoptando una configuración cóncava (curvatura positiva)

• Cuando ambas fuerza son iguales, la cuerda adopta una configuración lineal (curvatura cero)

Condiciones de equilibrio:

• A lo largo de la dirección tangencial

(T+dT)cos(dθ) =T+λg·ds·sinθ
dT= λgsinθ·ds           (1)

• A lo largo de la dirección normal

(T+dT)sin(dθ)+2γ·ds =λg·ds·cosθ
T·dθ+2γ·ds =λgcosθ·ds

${\displaystyle T=\lambda g\frac{ds}{d\theta }(\cos \theta -\alpha )\alpha =\frac{2\gamma }{\lambda g}}$                    (2)

En la figura, se muestra el significado del cociente ds/dθ. dθ es el ángulo que forman las rectas tangentes a la curva en la posición s y en la posición s+ds. dθ es el ángulo que forman las normales. Las direcciones normales se encuentran en un punto C denominado centro de curvatura, y ρ es el radio de curvatura, ds=ρ·dθ.

En la expresión (2), el ángulo θ está comprendido 0≤θ≤π/2 por tanto 0≤cosθ≤1. Por otra parte, la tensión de la cuerda T es siempre positiva.

• Si α>1, entonces ds/dθ<0  la cuerda adopta una forma convexa.

• Si α<1, hay tres posibilidades:

• Si cosθ>α entonces ds/dθ>0,  la cuerda adopta una forma cóncava

• Si cosθ<α entonces ds/dθ<0,  la cuerda adopta una forma convexa

• Si cosθ=α entonces ds/dθ=0, la cuerda adopta una forma lineal

Ahora bien, el ángulo θ varía a lo largo de la cuerda por lo que esta comparación no es satisfactoria.

Los parámetros más importantes de este sistema físico son α=2γ/λg, ya definido y el cociente x₀/L entre la separación de los extremos de la cuerda 2x₀ y la longitud de la cuerda 2L.

• En la configuración lineal θ es constante, cosθ=x₀/L.  Esta configuración se obtiene por tanto, cuando α=x₀/L.

• La configuración convexa se adopta cuando α>cosθ, (π/2<θ<θ₀) donde θ₀ es la tangente a la cuerda en su extremo x₀, es equivalente a α>x₀/L

• La configuración cóncava se adopta cuando α<cosθ, (0<θ<θ₀), es equivalente a α<x₀/L

Ecuación de curva que describe la forma que adopta la cuerda

Dividiendo las ecuaciones de equilibrio (1) y (2)

${\displaystyle \frac{dT}{T}=\frac{\sin \theta }{\cos \theta -\alpha }d\theta }$

Integrando

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int \frac{dT}{T}}={\displaystyle \int \frac{\sin \theta }{\cos \theta -\alpha }d\theta }+\text{cte}\\ \ln T=-\ln (\cos \theta -\alpha )+\text{cte}\\ T(\cos \theta -\alpha )=C\lambda g\end{array}}$

donde C es una constante a determinar

Despejando T y sustituyéndola en la ecuación (2)

${\displaystyle \frac{ds}{d\theta }=\frac{C}{{\left(\cos \theta -\alpha \right)}^2}}$

Teniendo en cuenta que

dx=ds·cosθ
dy=ds·sinθ

Obtenemos las ecuaciones diferenciales de la curva dependiente del parámetro θ

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=\frac{C·\cos \theta }{{\left(\cos \theta -\alpha \right)}^2}\frac{dy}{d\theta }=\frac{C·\text{sin}\theta }{{\left(\cos \theta -\alpha \right)}^2}}$

A continuación, vamos a integrar estas ecuaciones.

La segunda, se integra de forma inmediata

${\displaystyle y=C{\displaystyle \int \frac{\sin \theta }{{(\cos \theta -\alpha )}^2}}d\theta +C·c_y}$     

c_y es una constante de integración cuyo valor determinaremos más adelante.

Haciendo el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}t=\cos \theta -\alpha dt=-\sin \theta ·d\theta \\ \frac{y}{C}={\displaystyle \int \frac{-dt}{t^2}}+c_y=\frac{1}{t}+c_y\end{array}}$

Deshaciendo el cambio

${\displaystyle \frac{y}{C}=\frac{1}{\cos \theta -\alpha }+c_y}$                       (3)

Más difícil resulta resolver la primera integral,

${\displaystyle \frac{x}{C}={\displaystyle \int \frac{\cos \theta }{{\left(\cos \theta -\alpha \right)}^2}d\theta }+c_x}$

c_x es una constante de integración cuyo valor determinaremos más adelante.

Se realiza el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}t=\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)dt=\frac{1}{2}(1+t^2)d\theta \\ \cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{array}}$

El integrando se convierte en

${\displaystyle \frac{1-t^2}{{(1-t^2-\alpha -\alpha t^2)}^2}dt}$

Se pueden presentar tres casos según que α>1, α<1 y α=1que conducen a distintos funciones integrando como veremos a continuación.

Caso α>1

Llamando

${\displaystyle \begin{array}{l}{\beta }^2=\frac{\alpha +1}{\alpha -1}>0\\ \frac{x}{C}=\frac{2}{{(\alpha -1)}^2}{\displaystyle \int \frac{1-t^2}{{\left(1+{\beta }^2{t}^2\right)}^2}dt}+c_x=\frac{2}{{(\alpha -1)}^2}{\displaystyle \int \frac{1+{\beta }^2{t}^2-{\beta }^2{t}^2-t^2}{{\left(1+{\beta }^2{t}^2\right)}^2}dt}+c_x=\\ \frac{2}{{(\alpha -1)}^2}\left\{{\displaystyle \int \frac{dt}{\left(1+{\beta }^2{t}^2\right)}}-(1+{\beta }^2){\displaystyle \int \frac{t^2}{{\left(1+{\beta }^2{t}^2\right)}^2}dt}\right\}+c_x\end{array}}$

La primera integral es inmediata y la segunda, procedemos a integrarla por partes

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{t^2}{{(1+{\beta }^2{t}^2)}^2}}dt=-\frac{1}{2{\beta }^2}\frac{t}{(1+{\beta }^2{t}^2)}+\frac{1}{2{\beta }^3}\arctan (\beta t)}$

El resultado final es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{C}=\frac{2}{{(\alpha -1)}^2}\left\{\frac{1}{\beta }\arctan (\beta t)-(1+{\beta }^2)\left(-\frac{1}{2{\beta }^2}\frac{t}{(1+{\beta }^2{t}^2)}+\frac{1}{2{\beta }^3}\arctan (\beta t)\right)\right\}+c_x=\\ \frac{2}{{(\alpha -1)}^2{\beta }^2}\left\{\frac{{\beta }^2-1}{\beta }\arctan (\beta t)+\frac{(1+{\beta }^2)t}{(1+{\beta }^2{t}^2)}\right\}+c_x\end{array}}$

Ahora, se deshace los cambios se expresa t en función del ángulo θ, y β en función de α.

${\displaystyle \cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}{t}^2=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }=\frac{{(1-\cos \theta )}^2}{{\sin }^2\theta }t=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }}$

El resultado final es

${\displaystyle \frac{x}{C}=\frac{1}{{\alpha }^2-1}\left\{\frac{2}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\arctan \left(\frac{\alpha +1}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+\frac{\alpha \sin \theta }{\alpha -\cos \theta }\right\}+c_x}$          (4)

Caso α<1

Llamando

${\displaystyle \begin{array}{l}{\beta }^2=\frac{1+\alpha }{1-\alpha }>0\\ \frac{x}{C}=\frac{2}{{(1-\alpha )}^2}{\displaystyle \int \frac{1-t^2}{{\left(1-{\beta }^2{t}^2\right)}^2}dt}+c_x=\frac{2}{{(1-\alpha )}^2}{\displaystyle \int \frac{1-{\beta }^2{t}^2+{\beta }^2{t}^2-t^2}{{\left(1-{\beta }^2{t}^2\right)}^2}dt}+c_x=\\ \frac{2}{{(1-\alpha )}^2}\left\{{\displaystyle \int \frac{dt}{\left(1-{\beta }^2{t}^2\right)}}+({\beta }^2-1){\displaystyle \int \frac{t^2}{{\left(1-{\beta }^2{t}^2\right)}^2}dt}\right\}+c_x\end{array}}$

El resultado de la primera integral es

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{dt}{1-{\beta }^2{t}^2}}=\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{dt}{1+\beta t}}+\frac{1}{2}{\displaystyle \int \frac{dt}{1-\beta t}}=\frac{1}{2\beta }\ln \left|\frac{1+\beta t}{1-\beta t}\right|}$

La segunda, la integramos por partes

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\displaystyle \int \frac{t^2}{{\left(1-{\beta }^2{t}^2\right)}^2}}dt=\frac{1}{2{\beta }^2}\frac{t}{(1-{\beta }^2{t}^2)}-\frac{1}{2\beta }{\displaystyle \int \frac{dt}{1-{\beta }^2{t}^2}}= \\ \frac{1}{2{\beta }^2}\frac{t}{(1-{\beta }^2{t}^2)}-\frac{1}{4{\beta }^3}\ln \left|\frac{1+\beta t}{1-\beta t}\right|} \end{gathered}$$

El resultado final es

${\displaystyle \frac{x}{C}=\frac{1}{{(1-\alpha )}^2{\beta }^2}\left\{\frac{{\beta }^2+1}{2\beta }\ln \left|\frac{1+\beta t}{1-\beta t}\right|+({\beta }^2-1)\frac{t}{1-{\beta }^2{t}^2}\right\}+c_x}$

Ahora, se deshace los cambios se expresa t en función del ángulo θ, y β en función de α.

${\displaystyle \cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}{t}^2=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }=\frac{{(1-\cos \theta )}^2}{{\sin }^2\theta }t=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }}$

El resultado final es

${\displaystyle \frac{x}{C}=\frac{1}{1-{\alpha }^2}\left\{\frac{1}{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )\tan (\theta /2)}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )\tan (\theta /2)}\right|+\frac{\alpha \sin \theta }{\cos \theta -\alpha }\right\}+c_x}$           (5)

Caso α=1

${\displaystyle \frac{x}{C}=2{\displaystyle \int \frac{1-t^2}{{\left(-2t^2\right)}^2}dt}+c_x=\frac{1}{2}{\displaystyle \int \left(\frac{1}{t^4}-\frac{1}{t^2}\right)dt}+c_x=\frac{1}{2}\left(\frac{-1}{3t^3}+\frac{1}{t}\right)+c_x}$

Deshaciendo los cambios

t=tan(θ/2)

${\displaystyle \frac{x}{C}=\frac{-1}{6{\tan }^3(\theta /2)}+\frac{1}{2\tan (\theta /2)}+c_x}$                (6)

Configuración lineal

Este caso especial, se produce cuando cosθ=α=x₀/L.

Como el ángulo θ es constante, la cuerda adopta la forma de un segmento de recta cuya ecuación es

${\displaystyle y=(x-x_0)\tan \theta =\frac{\sqrt{L^2-x_0^2}}{x_0}(x-x_0)}$

Dado que α=2γ/(λg), podemos diseñar un experimento, para medir la tensión superficial γ del fluido, conocida la densidad lineal λ de la cuerda y midiendo el ángulo θ

2γ=λgcosθ

%alfa=0.5; %parámetro
k=0.5; %cociente x0/L
lon=2; %mitad de la cuerda, L

hold on
fill([-k*lon,0,k*lon],[0,-lon*sin(acos(k)),0],'c')
line([-k*lon,k*lon],[0,0],'color','k', 'lineWidth',1.5)
line([-k*lon,0],[0,-lon*sin(acos(k))],'color','k', 'lineWidth',1.5)
line([k*lon,0],[0,-lon*sin(acos(k))],'color','k', 'lineWidth',1.5)
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Configuración triangular \alpha=x_0/L')

Configuración cóncava

La cuerda adopta una configuración cóncava cuando α<x₀/L, naturalmente α<1

Las ecuaciones paramétricas de la curva son (3) y (5)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{C}=\frac{1}{1-{\alpha }^2}\left\{\frac{1}{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )\tan (\theta /2)}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )\tan (\theta /2)}\right|+\frac{\alpha \sin \theta }{\cos \theta -\alpha }\right\}+c_x\\ \frac{y}{C}=\frac{1}{\cos \theta -\alpha }+c_y\end{array}}$

La configuración cóncava es similar en su forma a la catenaria, presentando un mínimo (vértice) en x=0.

• Para x=0, la recta tangente a la cuerda en el vértice forma un ángulo θ=0

• Para y=0, recta tangente a la cuerda en el extremo forma un ángulo θ=θ₀.

Con estos dos datos determinamos las constantes de integración c_x y c_y

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{C}=\frac{1}{1-{\alpha }^2}\left\{\frac{1}{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )\tan (\theta /2)}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )\tan (\theta /2)}\right|+\frac{\alpha \sin \theta }{\cos \theta -\alpha }\right\}\\ \frac{y}{C}=\frac{1}{\cos \theta -\alpha }-\frac{1}{\cos {\theta }_0-\alpha }\end{array}}$

Para representar la curva que describe la forma que adopta la cuerda, necesitamos conocer la constante C y el ángulo θ₀.

Cálculo de la constante C y del ángulo θ₀.

La longitud de la mitad de la cuerda L, se obtiene integrando

${\displaystyle L={\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}ds}=C{\displaystyle \underset{0}{\overset{{\theta }_0}{\int }}\frac{d\theta }{{\left(\cos \theta -\alpha \right)}^2}}}$

Para resolver esta integral seguimos los mismos pasos que para obtener la abscisa x en función del parámetro θ.

Se realiza el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}t=\tan \left(\frac{\theta }{\text{2}}\right)dt=\frac{1}{2}(1+t^2)d\theta \\ \cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{array}}$

La integral se convierte en

$$\begin{gathered} {\displaystyle \begin{array}{l}\frac{L}{C}=\frac{2}{{(1-\alpha )}^2}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\frac{1+t^2}{{\left(1+\frac{\alpha +1}{\alpha -1}{t}^2\right)}^2}dt}=\frac{2}{{(1-\alpha )}^2}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\frac{1+t^2}{{\left(1-{\beta }^2{t}^2\right)}^2}dt}{\beta }^2=\frac{1+\alpha }{1-\alpha }\\ \frac{L}{C}=\frac{2}{{(1-\alpha )}^2}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\frac{1-{\beta }^2{t}^2+{\beta }^2{t}^2+t^2}{{\left(1-{\beta }^2{t}^2\right)}^2}dt}= \\ \frac{2}{{(1-\alpha )}^2}\left\{{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\frac{dt}{\left(1-{\beta }^2{t}^2\right)}}+({\beta }^2+1){\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\frac{t^2}{{\left(1-{\beta }^2{t}^2\right)}^2}dt}\right\}=\\ {\frac{1}{{(1-\alpha )}^2{\beta }^2}\left\{\frac{{\beta }^2-1}{2\beta }\ln \left|\frac{1+\beta t}{1-\beta t}\right|+({\beta }^2+1)\frac{t}{1-{\beta }^2{t}^2}\right\}|}_{t_0}^{t_1}\end{array}} \end{gathered}$$

Deshaciendo los cambios  obtenemos

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{L}{C}={\frac{1}{1-{\alpha }^2}\left\{\frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )\tan (\theta /2)}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )\tan (\theta /2)}\right|+\frac{\sin \theta }{\cos \theta -\alpha }\right\}|}_0^{{\theta }_0}\\ \frac{L}{C}=\frac{1}{1-{\alpha }^2}\left\{\frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )\tan ({\theta }_0/2)}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )\tan ({\theta }_0/2)}\right|+\frac{\sin {\theta }_0}{\cos {\theta }_0-\alpha }\right\}\end{array}}$

La posición del extremo de la cuerda es x₀ y el ángulo que forma la recta tangente en este punto es θ₀ (véase la figura)

${\displaystyle \frac{x_0}{C}=\frac{1}{1-{\alpha }^2}\left\{\frac{1}{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )\tan ({\theta }_0/2)}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )\tan ({\theta }_0/2)}\right|+\frac{\alpha \sin {\theta }_0}{\cos {\theta }_0-\alpha }\right\}}$

Se elimina C en estas dos últimas ecuaciones, obteniendo una ecuación trascendente en θ₀. En la figura, vemos que para α=0.3<x₀/L=0.5 dicha ecuación tiene un cero en un ángulo próximo a 70º, y presenta una discontinuidad para el ángulo tal que

${\displaystyle \sqrt{1-{\alpha }^2}=(1+\alpha )\tan \left(\theta /2\right)}$

Para α=0.3, θ=72.5º

alfa=0.3; %parámetro
k=0.5; %cociente x0/L

f=@(x) (1-k*alfa)*log(abs((sqrt(1-alfa^2)+(1+alfa)*tan(x/2))./(sqrt(1-alfa^2)-
(1+alfa)*tan(x/2))))/sqrt(1-alfa^2)+(alfa-k)*sin(x)./(cos(x)-alfa);
fplot(f,[0,pi/2])
set(gca,'XTick',0:15*pi/180:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','15','30','45','60','75','90'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('f(\theta)')
title('Raíz \theta_0')
phi=2*atan(sqrt(1-alfa^2)/(1+alfa)); %discontinuidad
th_0=fzero(f,phi/2);
disp(th_0*180/pi)

  68.7499

Se resuelve la ecuación trascendente por procedimientos numéricos, obteniéndose el ángulo θ₀=68.7º que forma la tangente a la cuerda en el extremo x₀=1.

Una vez que se ha determinado θ₀, se calcula C y se representa las ecuaciones paramétricas x(θ), y(θ) en el intervalo 0≤θ≤θ₀.

alfa=0.3; %parámetro
k=0.5; %cociente x0/L
lon=2; %mitad de la cuerda, L

phi=2*atan(sqrt(1-alfa^2)/(1+alfa)); %discontinuidad
th_0=fzero(f,phi/2); %ángulo límite para x0
C=k*lon*(1-alfa^2)/(log(abs((sqrt(1-alfa^2)+(1+alfa)*tan(th_0/2))
/(sqrt(1-alfa^2)-(1+alfa)*tan(th_0/2))))/sqrt(1-alfa^2)+alfa*sin(th_0)
/(cos(th_0)-alfa));
x=@(th) C*(log(abs((sqrt(1-alfa^2)+(1+alfa)*tan(th/2))./
(sqrt(1-alfa^2)-(1+alfa)*tan(th/2))))/sqrt(1-alfa^2)+alfa*sin(th).
/(cos(th)-alfa))/(1-alfa^2);
y=@(th) C*(1./(cos(th)-alfa)-1/(cos(th_0)-alfa));
t=linspace(0,th_0,100);
x1=x(t);
y1=y(t);
hold on
fill([-fliplr(x1),x1],[fliplr(y1),y1],'c')
line([-k*lon,k*lon],[0,0],'color','k', 'lineWidth',1.5)
plot(-x1,y1,'k',x1,y1,'k', 'lineWidth',1.5)
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Configuración cóncava')

Configuración convexa

Hay tres posibles configuraciones convexas.

• α>x₀/L con α<1
• α>1
• α=1

La configuración convexa tiene la particularidad de que una longitud d de la cuerda por debajo del vértice P está pegada a la porción d del otro lado del eje Y. Una porción L-d de la cuerda forma el arco convexo a cada uno de los lados de dicho eje. La recta tangente a la cuerda forma ángulos θ comprendidos entre π/2 y θ₀.

Del punto P, cuelga una longitud d de la cuerda por cada lado, la tensión de la cuerda en este punto es

T=λgd

Deducimos por integración una expresión para la tensión de la cuerda en función del parámetro θ,

T(cosθ-α)=Cλg

En el punto P, para θ=π/2 se obtiene

-Tα=Cλg

El valor de la constante C=-αd

Primer caso, α>x₀/L con α<1

Este caso es similar al cóncavo

Las ecuaciones paramétricas de la cuerda son (3) y (5)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{C}=\frac{1}{1-{\alpha }^2}\left\{\frac{1}{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )\tan (\theta /2)}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )\tan (\theta /2)}\right|+\frac{\alpha \sin \theta }{\cos \theta -\alpha }\right\}+c_x\\ \frac{y}{C}=\frac{1}{\cos \theta -\alpha }+c_y\end{array}}$

• Para x=0, el ángulo que forma la recta tangente a la cuerda es θ= π/2.

• Para y=0, el ángulo que forma la recta tangente a la cuerda es θ=θ₀

Con estos dos datos determinamos las constantes de integración c_x y c_y.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{-\alpha d}=\frac{1}{1-{\alpha }^2}\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )\tan (\theta /2)}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )\tan (\theta /2)}\right|+\frac{\alpha \sin \theta }{\cos \theta -\alpha }\\ -\frac{1}{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )}\right|+1\end{array}\right\}\\ \frac{y}{-\alpha d}=\frac{1}{\cos \theta -\alpha }-\frac{1}{\cos {\theta }_0-\alpha }\end{array}}$

Para representar la curva que describe la forma que adopta la cuerda, necesitamos conocer la longitud d y el ángulo θ₀.

Cálculo de la longitud d y del ángulo θ₀.

La longitud de la mitad de la cuerda L, se obtiene integrando

${\displaystyle L-d={\displaystyle \underset{0}{\overset{L-d}{\int }}ds}=C{\displaystyle \underset{\pi /2}{\overset{{\theta }_0}{\int }}\frac{d\theta }{{\left(\cos \theta -\alpha \right)}^2}}=\alpha d{\displaystyle \underset{{\theta }_0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\theta }{{\left(\cos \theta -\alpha \right)}^2}}}$

Ya hemos obtenido en la configuración cóncava el valor del integrando

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{L-d}{\alpha d}={\frac{1}{1-{\alpha }^2}\left\{\frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )\tan (\theta /2)}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )\tan (\theta /2)}\right|+\frac{\sin \theta }{\cos \theta -\alpha }\right\}|}_{{\theta }_0}^{\pi /2}=\\ \frac{L}{\alpha d}-\frac{1}{\alpha }=\frac{1}{1-{\alpha }^2}\left\{\begin{array}{l}\frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )}\right|-\frac{1}{\alpha }\\ -\frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )\tan ({\theta }_0/2)}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )\tan ({\theta }_0/2)}\right|-\frac{\sin {\theta }_0}{\cos {\theta }_0-\alpha }\end{array}\right\}\\ \frac{L}{\alpha d}=\frac{1}{1-{\alpha }^2}\left\{\begin{array}{l}\frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )}\right|-\alpha \\ -\frac{\alpha }{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )\tan ({\theta }_0/2)}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )\tan ({\theta }_0/2)}\right|-\frac{\sin {\theta }_0}{\cos {\theta }_0-\alpha }\end{array}\right\}\end{array}}$

La posición del extremo de la cuerda es x₀ y el ángulo que forma la recta tangente a la cuerda en este punto es θ₀.

${\displaystyle \frac{x_0}{-\alpha d}=\frac{1}{1-{\alpha }^2}\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )\tan ({\theta }_0/2)}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )\tan ({\theta }_0/2)}\right|+\frac{\alpha \sin {\theta }_0}{\cos {\theta }_0-\alpha }\\ -\frac{1}{\sqrt{1-{\alpha }^2}}\ln \left|\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}+(1+\alpha )}{\sqrt{1-{\alpha }^2}-(1+\alpha )}\right|+1\end{array}\right\}}$

Se elimina d en estas dos últimas ecuaciones, obteniendo una ecuación trascendente en θ₀. En la figura, vemos que para α=0.7>x₀/L=0.5 y α<1. Dicha ecuación tiene un cero en un ángulo próximo a 50º y presenta una discontinuidad para el ángulo tal que

${\displaystyle \sqrt{1-{\alpha }^2}=(1+\alpha )\tan \left(\theta /2\right)}$

Para α=0.7, θ=45.6º

Se resuelve la ecuación trascendente, por procedimientos numéricos, obteniéndose el ángulo θ₀=50.4º que forma la tangente a la cuerda en el extremo x₀=1.

alfa=0.7; %parámetro
k=0.5; %cociente x0/L

f=@(x) (k*alfa-1)*log(abs((sqrt(1-alfa^2)+(1+alfa)*tan(x/2))./
(sqrt(1-alfa^2)-(1+alfa)*tan(x/2))))/sqrt(1-alfa^2)+(k-alfa)*sin(x).
/(cos(x)-alfa)+(1-k*alfa)*log(abs((sqrt(1-alfa^2)+1+alfa)/
(sqrt(1-alfa^2)-1-alfa)))/sqrt(1-alfa^2)-1+k*alfa;
fplot(f,[0,pi/2])
set(gca,'XTick',0:15*pi/180:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','15','30','45','60','75','90'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('f(\theta)')
title('Raíz \theta_0')
phi=2*atan(sqrt(1-alfa^2)/(1+alfa)); %discontinuidad
th_0=fzero(f,pi/2);
disp(th_0*180/pi)

50.4494

Una vez que se ha determinado θ₀, se calcula d y se representa las ecuaciones paramétricas x(θ), y(θ) en el intervalo θ₀≤θ≤π/2

alfa=0.7; %parámetro
k=0.5; %cociente x0/L
lon=2; %mitad de la cuerda, L

f=@(x) (k*alfa-1)*log(abs((sqrt(1-alfa^2)+(1+alfa)*tan(x/2))./
(sqrt(1-alfa^2)-(1+alfa)*tan(x/2))))/sqrt(1-alfa^2)+(k-alfa)*sin(x).
/(cos(x)-alfa)+(1-k*alfa)*log(abs((sqrt(1-alfa^2)+1+alfa)/
(sqrt(1-alfa^2)-1-alfa)))/sqrt(1-alfa^2)-1+k*alfa;
th_0=fzero(f,pi/2);

d=-k*lon*(1-alfa^2)/(alfa*(log(abs((sqrt(1-alfa^2)+(1+alfa)*tan(th_0/2))/
(sqrt(1-alfa^2)-(1+alfa)*tan(th_0/2))))/sqrt(1-alfa^2)+alfa*sin(th_0)
/(cos(th_0)-alfa)-log(abs((sqrt(1-alfa^2)+1+alfa)/
(sqrt(1-alfa^2)-1-alfa)))/sqrt(1-alfa^2)+1));
x=@(th) -alfa*d*(log(abs((sqrt(1-alfa^2)+(1+alfa)*tan(th/2))./
(sqrt(1-alfa^2)-(1+alfa)*tan(th/2))))/sqrt(1-alfa^2)+alfa*sin(th)./
(cos(th)-alfa)-log(abs((sqrt(1-alfa^2)+1+alfa)/(sqrt(1-alfa^2)-1-alfa)))
/sqrt(1-alfa^2)+1)/(1-alfa^2);
y=@(th) -alfa*d*(1./(cos(th)-alfa)-1/(cos(th_0)-alfa));
t=linspace(th_0,pi/2,100);
x1=x(t);
y1=y(t);
hold on
fill([-fliplr(x1),x1],[fliplr(y1),y1],'c')
line([-k*lon,k*lon],[0,0],'color','k', 'lineWidth',1.5)
line([0,0],[y1(end), y1(end)-d],'color','k', 'lineWidth',1.5)
plot(-x1,y1,'k',x1,y1,'k', 'lineWidth',1.5)
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Configuración convexa, \alpha<1')

d es la longitud de la cuerda que está pegada, por debajo del vértice

d =    0.1523

Segundo caso, α>1

Las ecuaciones paramétricas de la cuerda son (3) y (4)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{C}=\frac{1}{{\alpha }^2-1}\left\{\frac{2}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\arctan \left(\frac{\alpha +1}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+\frac{\alpha \sin \theta }{\alpha -\cos \theta }\right\}+c_x\\ \frac{y}{C}=\frac{1}{\cos \theta -\alpha }+c_y\end{array}}$

con C=-αd como en el caso anterior

• Para x=0, el ángulo que forma la recta tangente a la cuerda es θ= π/2.

• Para y=0, el ángulo que forma la recta tangente a la cuerda es θ=θ₀

Con estos dos datos determinamos las constantes de integración c_x y c_y.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{-\alpha d}=\frac{1}{{\alpha }^2-1}\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\arctan \left(\frac{\alpha +1}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+\frac{\alpha \sin \theta }{\alpha -\cos \theta }\\ -\frac{2}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\arctan \left(\frac{\alpha +1}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\right)-1\end{array}\right\}\\ \frac{y}{-\alpha d}=\frac{1}{\cos \theta -\alpha }-\frac{1}{\cos {\theta }_0-\alpha }\end{array}}$

Para representar la curva que describe la forma que adopta la cuerda, necesitamos conocer la longitud d y el ángulo θ₀.

Cálculo de la longitud d y del ángulo θ₀.

La longitud de la mitad de la cuerda L, se obtiene integrando

${\displaystyle L-d={\displaystyle \underset{0}{\overset{L-d}{\int }}ds}=C{\displaystyle \underset{\pi /2}{\overset{{\theta }_0}{\int }}\frac{d\theta }{{\left(\cos \theta -\alpha \right)}^2}}=\alpha d{\displaystyle \underset{{\theta }_0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\theta }{{\left(\cos \theta -\alpha \right)}^2}}}$

Se realiza el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}t=\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)dt=\frac{1}{2}(1+t^2)d\theta \\ \cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{array}}$

La integral se convierte en

$$\begin{gathered} {\displaystyle \begin{array}{l}\frac{L-d}{\alpha d}=\frac{2}{{(\alpha -1)}^2}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\frac{1+t^2}{{\left(1+\frac{\alpha +1}{\alpha -1}{t}^2\right)}^2}dt}=\frac{2}{{(\alpha -1)}^2}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\frac{1+t^2}{{\left(1+{\beta }^2{t}^2\right)}^2}dt}{\beta }^2=\frac{\alpha +1}{\alpha -1}\\ \frac{L-d}{\alpha d}=\frac{2}{{(\alpha -1)}^2}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\frac{1+{\beta }^2{t}^2-{\beta }^2{t}^2+t^2}{{\left(1+{\beta }^2{t}^2\right)}^2}dt}= \\ \frac{2}{{(\alpha -1)}^2}\left\{{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\frac{dt}{\left(1+{\beta }^2{t}^2\right)}}+(1-{\beta }^2){\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\frac{t^2}{{\left(1+{\beta }^2{t}^2\right)}^2}dt}\right\}=\end{array}} \end{gathered}$$

La primera integral es inmediata y la segunda procedemos a integrarla por partes

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{t^2}{{\left(1+{\beta }^2{t}^2\right)}^2}}dt=-\frac{1}{2{\beta }^2}\frac{t}{(1+{\beta }^2{t}^2)}+\frac{1}{2{\beta }^3}\arctan (\beta t)}$

El resultado final es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{L-d}{\alpha d}={\frac{2}{{(\alpha -1)}^2}\left\{\frac{1}{\beta }\arctan (\beta t)+(1-{\beta }^2)\left(-\frac{1}{2{\beta }^2}\frac{t}{(1+{\beta }^2{t}^2)}+\frac{1}{2{\beta }^3}\arctan (\beta t)\right)\right\}|}_{t_1}^{t_2}=\\ {\frac{2}{{(\alpha -1)}^2{\beta }^2}\left\{\frac{{\beta }^2+1}{\beta }\arctan (\beta t)+\frac{({\beta }^2-1)t}{(1+{\beta }^2{t}^2)}\right\}|}_{t_1}^{t_2}\end{array}}$

Ahora, se deshace los cambios se expresa t en función del ángulo θ, y β en función de α.

${\displaystyle \cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}{t}^2=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }=\frac{{(1-\cos \theta )}^2}{{\sin }^2\theta }t=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }}$

El resultado final es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{L}{\alpha d}-\frac{1}{\alpha }={\frac{1}{{\alpha }^2-1}\left\{\frac{2\alpha }{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\arctan \left(\frac{\alpha +1}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+\frac{\sin \theta }{\alpha -\cos \theta }\right\}|}_{{\theta }_0}^{\pi /2}\\ =\frac{1}{{\alpha }^2-1}\left\{\frac{2\alpha }{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\arctan \left(\frac{\alpha +1}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\right)+\frac{1}{\alpha }-\frac{2\alpha }{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\arctan \left(\frac{\alpha +1}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\tan \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)\right)-\frac{\sin {\theta }_0}{\alpha -\cos {\theta }_0}\right\}\\ \frac{L}{\alpha d}=\frac{1}{{\alpha }^2-1}\left\{\frac{2\alpha }{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\arctan \left(\frac{\alpha +1}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\right)+\alpha -\frac{2\alpha }{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\arctan \left(\frac{\alpha +1}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\tan \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)\right)-\frac{\sin {\theta }_0}{\alpha -\cos {\theta }_0}\right\}\end{array}}$

La posición del extremo de la cuerda es x₀ y el ángulo que forma la recta tangente a la cuerda en este punto es θ₀.

${\displaystyle \frac{x_0}{-\alpha d}=\frac{1}{{\alpha }^2-1}\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\arctan \left(\frac{\alpha +1}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\tan \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)\right)+\frac{\alpha \sin {\theta }_0}{\alpha -\cos {\theta }_0}\\ -\frac{2}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\arctan \left(\frac{\alpha +1}{\sqrt{{\alpha }^2-1}}\right)-1\end{array}\right\}}$

Se elimina d en estas dos últimas ecuaciones, obteniendo una ecuación trascendente en θ₀. En la figura, vemos que para α=1.2 la ecuación presenta un cero para un ángulo próximo a 31º

Se resuelve la ecuación trascendente, por procedimientos numéricos, obteniéndose el ángulo θ₀=30.7º que forma la tangente a la cuerda en el extremo x₀=1.

alfa=1.2; %parámetro
k=0.5; %cociente x0/L

f=@(x) (k*alfa-1)*2*atan((alfa+1)*tan(x/2)/sqrt(alfa^2-1))
/sqrt(alfa^2-1)+(k-alfa)*sin(x)./(alfa-cos(x))+(1-k*alfa)*2*atan((alfa+1)
/sqrt(alfa^2-1))/sqrt(alfa^2-1)+1-k*alfa;
fplot(f,[0,pi/2])
set(gca,'XTick',0:15*pi/180:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','15','30','45','60','75','90'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('f(\theta)')
title('Raíz \theta_0')
th_0=fzero(f,[0,pi/2]);
disp(th_0*180/pi)

30.6950

Una vez que se ha determinado θ₀, se calcula d y se representa las ecuaciones paramétricas x(θ), y(θ) en el intervalo θ₀≤θ≤π/2

alfa=1.2; %parámetro
k=0.5; %cociente x0/L
lon=2; %mitad de la cuerda, L

f=@(x) (k*alfa-1)*2*atan((alfa+1)*tan(x/2)/sqrt(alfa^2-1))/
sqrt(alfa^2-1)+(k-alfa)*sin(x)./(alfa-cos(x))+(1-k*alfa)*2*atan((alfa+1)
/sqrt(alfa^2-1))/sqrt(alfa^2-1)+1-k*alfa;
th_0=fzero(f,[0,pi/2]);

d=-k*lon*(alfa^2-1)/(alfa*(2*atan((alfa+1)*tan(th_0/2)/sqrt(alfa^2-1))
/sqrt(alfa^2-1)+alfa*sin(th_0)/(alfa-cos(th_0))-2*atan((alfa+1)/
sqrt(alfa^2-1))/sqrt(alfa^2-1)-1));
x=@(th) -alfa*d*(2*atan((alfa+1)*tan(th/2)/sqrt(alfa^2-1))
/sqrt(alfa^2-1)+alfa*sin(th)./(alfa-cos(th))-2*atan((alfa+1)/
sqrt(alfa^2-1))/sqrt(alfa^2-1)-1)/(alfa^2-1);
y=@(th) -alfa*d*(1./(cos(th)-alfa)-1/(cos(th_0)-alfa));
t=linspace(th_0,pi/2,100);
x1=x(t);
y1=y(t);
hold on
fill([-fliplr(x1),x1],[fliplr(y1),y1],'c')
line([-k*lon,k*lon],[0,0],'color','k', 'lineWidth',1.5)
line([0,0],[y1(end), y1(end)-d],'color','k', 'lineWidth',1.5)
plot(-x1,y1,'k',x1,y1,'k', 'lineWidth',1.5)
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Configuración convexa, \alpha>1')

d es la longitud de la cuerda que está pegada, por debajo del vértice

d =    0.4442

Tercer caso, α=1

Las ecuaciones paramétricas de la cuerda son (3) y (6)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{C}=\frac{1}{6\tan (\theta /2)}\left(4-\frac{1}{{\sin }^2(\theta /2)}\right)+c_x\\ \frac{y}{C}=\frac{1}{\cos \theta -1}+c_y\end{array}}$

con C=-αd=-d como en el caso anterior

• Para x=0, el ángulo que forma la recta tangente a la cuerda es θ= π/2.

• Para y=0, el ángulo que forma la recta tangente a la cuerda es θ=θ₀

Con estos dos datos determinamos las constantes de integración c_x y c_y.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{-d}=\frac{-1}{6{\tan }^3(\theta /2)}+\frac{1}{2\tan (\theta /2)}-\frac{1}{3}\\ \frac{y}{-d}=\frac{1}{\cos \theta -1}-\frac{1}{\cos {\theta }_0-1}\end{array}}$

Para representar la curva que describe la forma que adopta la cuerda, necesitamos conocer la longitud d y el ángulo θ₀.

Cálculo de la longitud d y del ángulo θ₀.

La longitud de la mitad de la cuerda L, se obtiene integrando

${\displaystyle L-d={\displaystyle \underset{0}{\overset{L-d}{\int }}ds}=C{\displaystyle \underset{\pi /2}{\overset{{\theta }_0}{\int }}\frac{d\theta }{{\left(\cos \theta -1\right)}^2}}=d{\displaystyle \underset{{\theta }_0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\theta }{{\left(\cos \theta -1\right)}^2}}}$

Se realiza el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}t=\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)dt=\frac{1}{2}(1+t^2)d\theta \\ \cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ L-d=2d{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\frac{1+t^2}{{\left(-2t^2\right)}^2}dt}=\frac{d}{2}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\left(\frac{1}{t^4}+\frac{1}{t^2}\right)dt}={\frac{d}{2}\left(\frac{-1}{3t^3}-\frac{1}{t}\right)|}_{t_0}^{t_1}\end{array}}$

Deshaciendo los cambios

${\displaystyle \begin{array}{l}L-d={-\frac{d}{2}\left(\frac{1}{3{\tan }^3(\theta /2)}+\frac{1}{\tan (\theta /2)}\right)|}_{{\theta }_0}^{\pi /2}\\ \frac{L}{d}=\frac{1}{6{\tan }^3({\theta }_0/2)}+\frac{1}{2\tan ({\theta }_0/2)}+\frac{1}{3}\end{array}}$

La posición del extremo de la cuerda es x₀ y el ángulo que forma la recta tangente a la cuerda en este punto es θ₀.

${\displaystyle \frac{x_0}{d}=\frac{1}{6{\tan }^3({\theta }_0/2)}-\frac{1}{2\tan ({\theta }_0/2)}+\frac{1}{3}}$

Se elimina d en estas dos últimas ecuaciones, obteniendo una ecuación trascendente en θ₀. En la figura, vemos que para α=1, la ecuación presenta un cero para un ángulo próximo a 38.º

Se resuelve la ecuación trascendente, por procedimientos numéricos, obteniéndose el ángulo θ₀=38.3º que forma la tangente a la cuerda en el extremo x₀=1.

%alfa=1; %parámetro
k=0.5; %cociente x0/L

f=@(x) (k-1)./(6*tan(x/2).^3)+(k+1)./(2*tan(x/2))+(k-1)/3;
fplot(f,[pi/6,pi/2])
set(gca,'XTick',0:15*pi/180:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','15','30','45','60','75','90'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('f(\theta)')
title('Raíz \theta_0')
th_0=fzero(f,[pi/6,pi/2]);
disp(th_0*180/pi)

 38.2714

Una vez que se ha determinado θ₀, se calcula d y se representa las ecuaciones paramétricas x(θ), y(θ) en el intervalo θ₀≤θ≤π/2

%alfa=1; %parámetro
k=0.5; %cociente x0/L
lon=2; %mitad de la cuerda, L

f=@(x) (k-1)./(6*tan(x/2).^3)+(k+1)./(2*tan(x/2))+(k-1)/3;
th_0=fzero(f,[pi/6,pi/2]);

d=k*lon/(1/(6*tan(th_0/2)^3)-1/(2*tan(th_0/2))+1/3);
x=@(th) -d*(-1./(6*tan(th/2).^3)+1./(2*tan(th/2))-1/3); 
y=@(th) -d*(1./(cos(th)-1)-1/(cos(th_0)-1));
t=linspace(th_0,pi/2,100);
x1=x(t);
y1=y(t);
hold on
fill([-fliplr(x1),x1],[fliplr(y1),y1],'c')
line([-k*lon,k*lon],[0,0],'color','k', 'lineWidth',1.5)
line([0,0],[y1(end), y1(end)-d],'color','k', 'lineWidth',1.5)
plot(-x1,y1,'k',x1,y1,'k', 'lineWidth',1.5)
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Configuración convexa, \alpha=1')

d es la longitud de la cuerda que está pegada, por debajo del vértice

d =    0.3470

Actividades

Se introduce

• El cociente x₀/L<1 (distancia 2x₀ entre los extremos de la cuerda, entre la longitud 2L de la cuerda), en el control titulado x0/L

• El valor del parámetro α, en el control titulado Alfa

• Se ha fijado la longitud de la mitad de la cuerda en el valor L=2.0

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se dibuja la forma que adopta la cuerda, se proporciona los datos de la ordenada y_min del vértice, para x=0, y en el caso de las configuraciones convexas, la longitud d de la parte de la cuerda que permanece pegada debajo del vértice. Sus abscisas son x=0 y sus ordenadas varían entre y_min e y_min+d.

Fijado el valor de α, se observa el efecto de la modificación de la distancia 2x₀ entre los extremos de la cuerda sujetos a la varilla horizontal.

Fijado el valor de la distancia 2x₀ entre los extremos de la cuerda, se modifica el valor del parámetro α=2σ/λg. Simulando cuerdas de distintas densidades λ o películas jabonosas de distinto coeficiente de tensión superficial σ.

Se dibuja

• En color azul, la fuerza que ejerce la tensión superficial por unidad de longitud, 2σ

• En color negro, el peso de la cuerda por unidad del longitud, λg

• En color rojo, la componente del peso, en la dirección normal, λg·cosθ

Se cambia la ordenada y del punto de la cuerda en el que se dibujan las fuerzas, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición.

Se compara la longitud del vector de color azul (tensión superficial) con el vector de color rojo (componente del peso).

Energía mínima

En este apartado, vamos a obtener las ecuaciones diferenciales de curva que describe la forma que adopta la cuerda bajo la acción de la gravedad y la tensión superficial de la película jabonosa que encierra, utilizando el cálculo de variaciones, resolveremos una situación similar al denominado problema isoperimétrico.

Para ello, calculamos la energía potencial gravitatoria de la cuerda y la energía de la película jabonosa. Dado que las configuraciones son simétricas con respecto al eje Y, se realizan los cálculos solamente para x>0

• La energía potencial gravitatoria es

${\displaystyle E_g=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\left(\lambda ds\right)gy}}$

siendo λ·ds la masa del elemento de cuerda ds, que está a una altura y por debajo del eje X donde hemos establecido el nivel cero de la energía potencial.

• Como γ es la energía por unidad de área. La energía superficial es

${\displaystyle E_s={\displaystyle \underset{0}{\overset{x_0}{\int }}2\gamma (y·dx)}}$

La suma de estas dos energías deberá ser mínima, con la condición de que la longitud L (de media cuerda) permanezca constante

${\displaystyle L={\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}ds}}$

La longitud del arco ds es

${\displaystyle ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=dy\sqrt{{\left(\frac{dx}{dy}\right)}^2+1}}$

Las energías y la longitud de la cuerda se expresan de forma alternativa

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_g=-{\displaystyle \underset{-y_0}{\overset{0}{\int }}\lambda gy\left(\sqrt{{\left(\frac{dx}{dy}\right)}^2+1}\right)dy}\\ E_s={\displaystyle \underset{-y_0}{\overset{0}{\int }}2\gamma y\left(\frac{dx}{dy}\right)dy}\\ L={\displaystyle \underset{-y_0}{\overset{0}{\int }}\left(\sqrt{{\left(\frac{dx}{dy}\right)}^2+1}\right)dy}\end{array}}$

Formamos la función auxiliar dependiente del parámetro η, que por conveniencia hemos puesto con signo negativo

${\displaystyle F(y,x,\dot{x})=-\lambda gy\left(\sqrt{{\left(\frac{dx}{dy}\right)}^2+1}\right)+2\gamma y\left(\frac{dx}{dy}\right)-\eta \sqrt{{\left(\frac{dx}{dy}\right)}^2+1}}$

Dado que la función F depende de y, x y dx/dy, la ecuación de Euler-Lagrange se escribe (se ha intercambiado x por y)

${\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}-\frac{d}{dy}\left(\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}\right)=0}$

Como la función F no depende de x,

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial x}=\mathrm{0,}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=C_0\\ \frac{\frac{dx}{dy}}{\sqrt{{\left(\frac{dx}{dy}\right)}^2+1}}\left(\lambda gy+\eta \right)-2\gamma y=C_0\end{array}}$

Teniendo en cuenta que la tangente a la curva y=y(x) que describe la forma de la cuerda, que queremos determinar es

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \theta =\frac{dy}{dx},\frac{dx}{dy}=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\\ \cos \theta \left(\lambda gy+\eta \right)-2\gamma y=C_0\end{array}}$

Despejamos y y comprobamos que se obtiene la misma expresión (3) que obtuvimos a partir del equilibrio de la cuerda

${\displaystyle \begin{array}{l}\lambda gy=\frac{C_0-\eta \cos \theta }{\cos \theta -\alpha }\\ \lambda gy=\frac{C_0-\eta \cos \theta +\eta \alpha -\eta \alpha }{\cos \theta -\alpha }\\ \lambda gy=\frac{C_0-\eta \alpha -\eta (\cos \theta -\alpha )}{\cos \theta -\alpha }\\ \frac{y}{C}=\frac{1}{\cos \theta -\alpha }+c_y\{\begin{array}{l}C=\frac{C_0-\eta \alpha }{\lambda g}\\ c_y=\frac{-\eta }{C_0-\eta \alpha }\end{array}\end{array}}$

Conocido y en función del ángulo θ de la pendiente, obtenemos x

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dy}{d\theta }=\frac{C\sin \theta }{{\left(\cos \theta -\alpha \right)}^2}\\ \frac{dx}{d\theta }=\frac{dx}{dy}\frac{dy}{d\theta }=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\frac{C\sin \theta }{{\left(\cos \theta -\alpha \right)}^2}=\frac{C\cos \theta }{{\left(\cos \theta -\alpha \right)}^2}\end{array}}$

Hemos obtenido las ecuaciones diferenciales cuya solución para los distintos casos, nos proporciona las ecuaciones paramétricas x=x(θ) e y=y(θ) que describen la forma de la cuerda, bajo la acción de la gravedad y la tensión superficial de la película jabonosa que encierra

Referencias

Behroozi F., Mohazzabi P., McCrickard J. P., Remarkable shapes of a catenary under the effect of gravity and surface tension. Am. J. Phys. 62 (12) December 1994, pp. 1121-1128.