Integrales

El comando int(f,x,a,b) calcula la integral de la expresión f, respecto de la variable x, en el intervalo [a,b] donde a y b pueden ser cantidades numéricas o variables simbólicas.

Integrales indefinidas

Integrales inmediatas

x n dx = x n+1 n+1 +C dx x =ln| x |+C a x dx = a x lna +Ca>0 e x dx = e x +C sinx·dx=cosx+C cosx·dx=sinx+C dx cos 2 x =tanx+C dx sin 2 x = 1 tanx +C sinhx·dx =coshx+C coshx·dx =sinhx+C dx cosh 2 x =tanhx+C dx sinh 2 x = 1 tanhx +C dx x 2 + a 2 =arcsin( x a )+C=arccos( x a )+Ca>0 dx x 2 + a 2 = 1 a arctan( x a )+C

Si no ponemos límites a la integral, obtenemos la integral indefinida, la función cuya derivada es el integrando

sin 2 (x)·dx= 1cos(2x) 2 dx= 1 2 x sin(2x) 4 +C

>> syms x;
>> z=int(sin(x)^2)
z =x/2 - sin(2*x)/4
>> y=diff(z)
y =1/2 - cos(2*x)/2
>> simplify(y)
ans =sin(x)^2

Calculamos la derivada con diff, simplificamos la expresión obtenida con simplify y obtenemos el integrando.

Integales definidas

a b f(x)dx = F(x) | a b =F(b)F(a)

Siendo F(x) el integrando de f(x), es decir dF(x)/dx=f(x)

0 π sin 2 ( x ) · d x = 0 π 1 cos ( 2 x ) 2 d x = 1 2 x sin ( 2 x ) 4 | 0 π = π 2

>> syms x;
>> int(sin(x)^2,0,pi)
ans =pi/2

En este ejemplo, uno o los dos límites de integración respecto de la variable por defecto son simbólicos.

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s está situado a x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.

x4= 2 t ( t 3 4 t 2 +5)dt x= 1 4 t 4 4 3 t 3 +5t+ 2 3 m

>> syms t;
>> v=t^3-4*t^2+5;
>> x=int(v,2,t)+4
x =t*(t^2*(t/4 - 4/3) + 5) + 2/3
>> expand(x)
ans =t^4/4 - (4*t^3)/3 + 5*t + 2/3

Integrales de funciones trigonoméricas

Omitimos la constante C de integración en la solución de la integral indefinida

Integración por sustitución

Integración por partes

u·dv=uv vdu

Donde u y v son funciones de x

Integración de funciones racionales

P(x) Q(x) dx

Donde P(x) y Q(x)) son polinomios, siendo el grado del numerador menor que el grado del denominador.

Si Q(x)) tiene raíces reales r1, r2, ... rn de multiplicidades m1, m2, ... mn

P(x) Q(x) = A 11 (x r 1 ) + A 12 (x r 1 ) 2 +... A 1 m 1 (x r 1 ) m 1 + A 21 (x r 2 ) + A 22 (x r 2 ) 2 +... A 2 m 2 (x r 2 ) m 12 +... A n1 (x r n ) + A n2 (x r n ) 2 +... A n m n (x r n ) m n

Si Q(x)) tiene raíces complejas a+ib y a-ib
(x-(a+ib))(x-(a-ib))=x2+px+q

P(x) Q(x) = M 1 x+ N 1 x 2 +px+q +... M n x+ N n ( x 2 +px+q) n

Integrales definidas útiles en Física

+ exp(a x 2 )dx=2 0 + exp(a x 2 )dx

Dibujamos la función y=exp(-αx2), para α=1/2

>> syms x;
>> ezplot(exp(-x^2/2))
>> grid on
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')

Llamemos I a la integral

I= 0 exp( α x 2 )dx

El cuadrado de I es

I 2 = 0 0 exp( α( x 2 + y 2 ) )dxdy

Cambiamos de coordendas rectangulares a polares, r2=x2+y2, dx·dy=rdθ·dr

I 2 = 0 π/2 0 exp( α r 2 )dr·rdθ = π 2 0 exp( α r 2 )r·dr= π 4α

El resultado es

I= 0 exp( α x 2 )dx = 1 2 π α

La integral no se puede calcular salvo que el parámetro a se declare positivo

>> syms x a;
>> y=exp(-a*x^2);
>> int(y,x,-inf,inf)
Warning: Explicit integral could not be found. 
 
>> clear
>> syms x;
>> syms a positive;
>> y=exp(-a*x^2);
>> int(y,x,-inf,inf)
ans =pi^(1/2)/a^(1/2)

Derivando respecto de α

0 x 2 exp( α x 2 )dx = 1 4 π α 3

Esta integral es inmediata

0 xexp( α x 2 )dx = 1 2α

Derivando respecto de α

0 x 3 exp( α x 2 )dx = 1 2 α 2

Ejemplos en el curso de Física

Movimiento rectilíneo

Movimiento curvilíneo

El disco compacto CD

Un cohete de empuje constante

Rozamiento en el bucle

El problema de Kepler

Movimiento de dos cuerpos bajo la fuerza de atracción mutua

Movimiento de dos cuerpos bajo las fuerzas de interacción mutua (gavitatoria y eléctrica)

Series de Fourier

Respuesta del oscilador a una fuerza periódica

Péndulo simple (II)

Un modelo para el coeficiente de restitución

Transformada de Fourier

Las leyes del enfriamiento y calentamiento

La conducción del calor. Ley de Fourier

La conducción del calor en una barra

Ondas térmicas

Distribución de la energía entre las moléculas de un gas ideal

La ley de distribución de las velocidades moleculares

Enfriamiento de un gas

Efusión de un gas

Aproximación al equilibrio de dos gases contenidos en un recinto adiabático y separados por un émbolo (II)

Fómula de Stokes

Movimiento de un imán en un tubo metálico vertical (I)

Elementos de un circuito de corriente alterna

Datos de las olas del mar

Análisis de las alturas y periodos de las olas

Bibliografía

G. Baranenkov, B. Demidovich, V. Efimenko, S. Kogan, G. Lunts, E. Porsheneva, E. Sichova, S. Frolov, R. Shostak, A. Yanpolski. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. Edt. Paraninfo, 1975