Integrales
El comando
Integrales indefinidas
Integrales inmediatas
Si no ponemos límites a la integral, obtenemos la integral indefinida, la función cuya derivada es el integrando
>> syms x; >> z=int(sin(x)^2) z =x/2 - sin(2*x)/4 >> y=diff(z) y =1/2 - cos(2*x)/2 >> simplify(y) ans =sin(x)^2
Calculamos la derivada con
Integales definidas
Siendo F(x) el integrando de f(x), es decir dF(x)/dx=f(x)
>> syms x; >> int(sin(x)^2,0,pi) ans =pi/2
En este ejemplo, uno o los dos límites de integración respecto de la variable por defecto son simbólicos.
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s está situado a x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.
>> syms t; >> v=t^3-4*t^2+5; >> x=int(v,2,t)+4 x =t*(t^2*(t/4 - 4/3) + 5) + 2/3 >> expand(x) ans =t^4/4 - (4*t^3)/3 + 5*t + 2/3
Integrales de funciones trigonoméricas
Omitimos la constante C de integración en la solución de la integral indefinida
>> syms x; >> int(1/sin(x)) ans =log(tan(x/2))
Llamamos u=tan(x/2)
Volviendo a la variable x
>> int(1/cos(x)) ans =log(1/cos(x)) + log(sin(x) + 1)
>> int(tan(x)^4) ans =x - tan(x) + tan(x)^3/3
>> int(1/cos(x)^4) ans =(sin(x) + 2*cos(x)^2*sin(x))/(3*cos(x)^3)
>> int(1/sin(x)^3) ans =log(tan(x/2))/2 - cos(x)/(2*sin(x)^2)
Integrando por partes la primera integral
>> int(1/cos(x)^3) ans =log(tan(x/2 + pi/4))/2 + tan(x)/(2*cos(x))
Integración por sustitución
Se hace la sustitución, z=x2+1, dz=2x·dx
>> int(x/sqrt(x^2+1)) ans =(x^2 + 1)^(1/2)
Se hace la sustitución, z=ex, dz=exdx
>> int(1/cosh(x)) ans =2*atan(exp(x))
Se hace la sustitución, x=tant, dx=dt/cos2t
>> int(sqrt(x^2+1)/x^2) ans =asinh(x) - (x^2 + 1)^(1/2)/x
Véase la definición de la función asinh(x)
Se hace la sustitución, x=asint, dx=acost·dt
Como
Obtenemos
>> int(sqrt(a^2-x^2)) ans =(x*(a^2 - x^2)^(1/2))/2 - (a^2*log((a^2 - x^2)^(1/2) + x*1i)*1i)/2
Se hace la sustitución, x=ax=sinht, dx=acosht·dt
Como
Obtenemos
>> int(sqrt(a^2+x^2)) ans =(x*(a^2 + x^2)^(1/2))/2 + (a^2*log(x + (a^2 + x^2)^(1/2)))/2
Las integrales del tipo
Se reducen a integrales de los dos tipos estudiados anteriormente, tal como apreciamos en este ejemplo
>> int(sqrt(1-2*x-x^2)) ans =asin((2^(1/2)*(x + 1))/2) + (x/2 + 1/2)*(- x^2 - 2*x + 1)^(1/2)
Integración por partes
Donde u y v son funciones de x
u=x, du=dx, dv=sin(2x)dx, v=-cos(2x)/2
>> int(x*sin(2*x)) ans =sin(2*x)/4 + (x*(2*sin(x)^2 - 1))/2 >> simplify(ans) ans =sin(2*x)/4 - (x*cos(2*x))/2
u=e2x, du=2e2x·dx, dv=sin(3x)dx, v=-cos(3x)/3
>> int(exp(2*x)*sin(3*x)) ans =-(exp(2*x)*(3*cos(3*x) - 2*sin(3*x)))/13
Integración de funciones racionales
Donde P(x) y Q(x)) son polinomios, siendo el grado del numerador menor que el grado del denominador.
Si Q(x)) tiene raíces reales r1, r2, ... rn de multiplicidades m1, m2, ... mn
Si Q(x)) tiene raíces complejas a+ib y a-ib
(x-(a+ib))(x-(a-ib))=x2+px+q
Se obtiene, A=1/4, B1=-1/4, B2=1/2
>> int(x/((x-1)*(x+1)^2)) ans =- atanh(x)/2 - 1/(2*(x + 1))
Véase la definición de la función atanh(x)
Se obtiene, A=1/3, M=-1/3, N=-2/3
>> int(1/(x^3-1)) ans =log(x - 1)/3 + log(x - (3^(1/2)*1i)/2 + 1/2)*((3^(1/2)*1i)/6 - 1/6) - log(x + (3^(1/2)*1i)/2 + 1/2)*((3^(1/2)*1i)/6 + 1/6)
Integrales definidas útiles en Física
Dibujamos la función y=exp(-αx2), para α=1/2
>> syms x; >> ezplot(exp(-x^2/2)) >> grid on >> xlabel('x') >> ylabel('y')
Llamemos I a la integral
El cuadrado de I es
Cambiamos de coordendas rectangulares a polares, r2=x2+y2, dx·dy=rdθ·dr
El resultado es
La integral no se puede calcular salvo que el parámetro a se declare positivo
>> syms x a; >> y=exp(-a*x^2); >> int(y,x,-inf,inf) Warning: Explicit integral could not be found. >> clear >> syms x; >> syms a positive; >> y=exp(-a*x^2); >> int(y,x,-inf,inf) ans =pi^(1/2)/a^(1/2)
Derivando respecto de α
Esta integral es inmediata
Derivando respecto de α
Ejemplos en el curso de Física
Movimiento de dos cuerpos bajo la fuerza de atracción mutua
Movimiento de dos cuerpos bajo las fuerzas de interacción mutua (gavitatoria y eléctrica)
Respuesta del oscilador a una fuerza periódica
Un modelo para el coeficiente de restitución
Las leyes del enfriamiento y calentamiento
La conducción del calor. Ley de Fourier
La conducción del calor en una barra
Distribución de la energía entre las moléculas de un gas ideal
La ley de distribución de las velocidades moleculares
Movimiento de un imán en un tubo metálico vertical (I)
Elementos de un circuito de corriente alterna
Análisis de las alturas y periodos de las olas
Bibliografía
G. Baranenkov, B. Demidovich, V. Efimenko, S. Kogan, G. Lunts, E. Porsheneva, E. Sichova, S. Frolov, R. Shostak, A. Yanpolski. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. Edt. Paraninfo, 1975