Centro de masas

Consideremos un sistema formado por varias partículas, m1, m2, m3... que está situado en el campo gravitatorio terrestre, que podemos considerar uniforme y paralelo al eje vertical Z, si el sistema no es muy extenso. Las fuerza que ejerce sobre cada una de las partículas (su peso) es

m i g k ^

La resultante de las fuerzas (el peso total es)

i=1 n m i g k ^ =( i=1 n m i )g k ^

siendo n el número de partículas.

Las posiciones de las partículas respecto del Sistema de Referencia OXYZ son r1, r2, r3,...El momento total del sistema de fuerzas paralelas respecto del origen O es

i=1 n r i ×( m i g k ^ ) =g( i=1 n m i r i )× k ^

El centro de masas (c.m.) del sistema de partículas se define como un punto geométrico cuya posición es R, donde situamos la resultante del sistema de fuerzas paralelas (el peso total).

Para determinar la posición del centro de masas R, igualamos el momento de la resultante al momento total del sistema de fuerzas paralelas.

R×( i=1 n m i )g k ^ =g( i=1 n m i r i )× k ^ ( i=1 n m i )R× k ^ =( i=1 n m i r i )× k ^ R= ( i=1 n m i r i ) ( i=1 n m i )

Las coordendas xc, yc, zc del centro de masas son

x c = ( i=1 n m i x i ) ( i=1 n m i ) y c = ( i=1 n m i y i ) ( i=1 n m i ) z c = ( i=1 n m i z i ) ( i=1 n m i )

Ejemplo

Determinar la posición del centro de masas del sistema de partículas de la figura

R= m 1 r 1 + m 2 r 2 + m 3 r 3 m 1 + m 2 + m 3 R= 2(2 i ^ +2 j ^ )+4(3 j ^ )+1(4 j ^ ) 2+4+1 = 8 7 j ^

Centro de masas y simetría

En un polígono regular, en un círculo, en una esfera, etc., el centro de masas se sitúa en su centro de simetría.

En un cono, en una pirámide, etc., el centro de masa se sitúa en su eje de simetría, más cerca de la base que del vértice.

Ejemplo

El péndulo de un reloj está formado por una varilla de 500 g y 40 cm de longitud y una lenteja en forma cilíndrica de 200 g de masa y 5 cm de radio, tal como se indica en la figura. Determinar la posición de su centro de masa respecto del extremo O.

Sustituímos la varilla por una masa puntual de 0.5 kg situado a 0.2 cm del extremo O y la lenteja por una masa puntual situada a 0.45 m de O

El centro de masas del sistema formado por las dos partículas es

x c = 0.5·0.2+0.2·0.45 0.5+0.2 =0.27

27 cm por debajo del extremo O de la varilla

Centro de masas de un sólido de forma cónica, de radio R y altura h

Por simetría el centro de masas estará situado en el eje Z del cono a una altura zc de la base. Estará más cerca de la base que del vértice

Dividimos el cono en cilindros de radio x y de altura dz tal como se muestra en la figura. La masa de cada uno de los cilindros es dm=ρ·πx2dz. Siendo ρ la densidad del sólido homogéneo

Dado que la posición del centro de masas de este cilindro de masa dm es z. El centro de masas zc del cono es

z c = 0 h z·dm 0 h dm = 0 h z·ρπ x 2 dz 0 h ρπ x 2 dz = ρ 0 h z·π x 2 dz ρ 0 h π x 2 dz = 0 h z·π x 2 dz 0 h π x 2 dz

La posición del centro de masas es independiente de la densidad ρ del sólido homogéneo

Para evaluar la integral del numerador y del denominador, relacionamos el radio x con el radio R del cono y su altura h

x hz = R h

La posición del centro de masas del cono zc=h/4