Centro de masas

Consideremos un sistema formado por varias partículas, m1, m2, m3... que está situado en el campo gravitatorio terrestre, que podemos considerar uniforme y paralelo al eje vertical Z, si el sistema no es muy extenso. Las fuerza que ejerce sobre cada una de las partículas (su peso) es

m i g k ^

La resultante de las fuerzas (el peso total es)

i=1 n m i g k ^ =( i=1 n m i )g k ^

siendo n el número de partículas.

Las posiciones de las partículas respecto del Sistema de Referencia OXYZ son r 1 , r 2 , r 3 .... . El momento total del sistema de fuerzas paralelas respecto del origen O es

i=1 n r i ×( m i g k ^ )=g( i=1 n m i r i ) × k ^

El centro de masas (c.m.) del sistema de partículas se define como un punto geométrico cuya posición es R , donde situamos la resultante del sistema de fuerzas paralelas (el peso total).

Para determinar la posición del centro de masas, igualamos el momento de la resultante al momento total del sistema de fuerzas paralelas.

R ×( i=1 n m i )g k ^ =g( i=1 n m i r i )× k ^ ( i=1 n m i ) R × k ^ =( i=1 n m i r i )× k ^ R = i=1 n m i r i i=1 n m i

Las coordendas xc, yc, zc del centro de masas son

x c = ( i=1 n m i x i ) ( i=1 n m i ) y c = ( i=1 n m i y i ) ( i=1 n m i ) z c = ( i=1 n m i z i ) ( i=1 n m i )

Ejemplo

Determinar la posición del centro de masas del sistema de partículas de la figura

R = m 1 r 1 + m 2 r 2 + m 3 r 3 m 1 + m 2 + m 3 R = 2( 2 i ^ +2 j ^ )+4( 3 j ^ )+1( 4 i ^ ) 2+4+1 = 8 7 j ^

Centro de masas y simetría

En un polígono regular, en un círculo, en una esfera, etc., el centro de masas se sitúa en su centro de simetría.

En un cono, en una pirámide, etc., el centro de masa se sitúa en su eje de simetría, más cerca de la base que del vértice.

Ejemplo

El péndulo de un reloj está formado por una varilla de 500 g y 40 cm de longitud y una lenteja en forma cilíndrica de 200 g de masa y 5 cm de radio, tal como se indica en la figura. Determinar la posición de su centro de masa respecto del extremo O.

Sustituímos la varilla por una masa puntual de 0.5 kg situado a 0.2 cm del extremo O y la lenteja por una masa puntual situada a 0.45 m de O

El centro de masas del sistema formado por las dos partículas es

x c = 0.5·0.2+0.2·0.45 0.5+0.2 =0.27

27 cm por debajo del extremo O de la varilla

Centro de masas de un sólido de forma cónica, de radio R y altura h

Por simetría el centro de masas estará situado en el eje Z del cono a una altura zc de la base. Estará más cerca de la base que del vértice

Dividimos el cono en cilindros de radio x y de altura dz tal como se muestra en la figura. La masa de cada uno de los cilindros es dm=ρ·πx2dz. Siendo ρ la densidad del sólido homogéneo

Dado que la posición del centro de masas de este cilindro de masa dm es z. El centro de masas zc del cono es

z c = 0 h z·dm 0 h dm = 0 h z·ρπ x 2 dz 0 h ρπ x 2 dz = ρ 0 h z·π x 2 dz ρ 0 h π x 2 dz = 0 h z·π x 2 dz 0 h π x 2 dz

La posición del centro de masas es independiente de la densidad ρ del sólido homogéneo

Para evaluar la integral del numerador y del denominador, relacionamos el radio x con el radio R del cono y su altura h

x hz = R h

La posición del centro de masas del cono zc=h/4

Centro de masas de una figura plana homogénea

Determinar la posición del centro de masa de la figura plana y homogénea formada por un rectángulo y un cuarto de círculo.

Centro de masa del rectángulo de área 50, x1=-2.5, y1=5

Centro de masa del cuarto de círculo de área π·102/4=25π.

El eje de simetría es la bisetriz del primer cuadrante x2=y2

Calculamos x2 o y2. Elemento diferencial de área, dA=y·dx

x cm = x·dA dA = 4R 3π = 40 3π x·dA= x(y·dx)= 0 R x R 2 x 2 dx= 1 3 R 3 dA= y·dx= 0 R R 2 x 2 dx= R 2 π/2 0 sin 2 θ·dθ= R 2 π/2 0 1cos(2θ) 2 ·dθ= 1 4 π R 2

Para calcular el área del cuarto de círculo, se ha efectuado el cambio de variable, x=R·cosθ, dx=-R·sinθ.

Centro de masas de las dos figuras

x cm = 50(2.5)+25π( 40 3π ) 50+25π =1.62 y cm = 50·5+25π( 40 3π ) 50+25π =4.54

Recipente cilíndrico parcialmente lleno de líquido

Un recipiente cilíndrico de radio R y altura H contiene un líquido de densidad ρ hasta una altura h. El recipiente se inclina un ángulo θ respecto de la vertical. Vamos a calcular la posición del centro de masa del sistema formado por el líquido y el recipiente que lo contiene.

Un punto de color rojo, a una altura h/2, señala la posición del centro de masas del líquido cuando el recipiente está en la posición inicial, θ=0

Cuando se inclina el recipiente un ángulo θ, el ángulo está limitado ya que h1+h2<H, para que el líquido no se derrame. En los cálculos de la posición del c.m. se tiene en cuenta que h1≥0

Cuando el recipiente se inclina un ángulo θ, el volumen de líquido πR2h no cambia, pero lo hace el centro de masas del líquido. Estableceremos un sistema de referencia XZ inclinado como se señala en la figura. El eje Z es el eje del recipiente cilíndrico

Coordenada xl del centro de masa del líquido

Volumen de líquido

Dividimos el líquido en elementos infinitesimales paralelos al eje Z de volumen dV=(2y·dx)z, en color azul oscuro en la figura

Calcularemos el volumen del líquido con el fin de relacionar la altura h1 con h

R R 2y·z·dx =π R 2 h,{ y= R 2 x 2 z= h 1 +(Rx)tanθ 2 R R ( h 1 +(Rx)tanθ )· R 2 x 2 ·dx =2( h 1 +Rtanθ ) R R R 2 x 2 ·dx 2tanθ R R x· R 2 x 2 ·dx

La segunda integral es inmediata. Para resolver la primera integral, hacemos el cambio de variable, x=Rcosφ, dx=-Rsinφ·

R R R 2 x 2 ·dx = R 2 π 0 sin 2 φ·dφ = R 2 2 π 0 ( 1cos( 2φ ) )·dφ= R 2 2 ( 1 1 2 sin( 2φ ) ) π 0 = π R 2 2 R R x· R 2 x 2 ·dx = 1 2 ( R 2 x 2 ) 3 2 3 2 | R R = 1 3 ( R 2 x 2 ) 3 2 | R R =0

La relación entre h y h1 es

2( h 1 +Rtanθ ) π R 2 2 =π R 2 h h 1 =hRtanθ

Del mismo modo tendremos que

h 1 + h 2 =h+Rtanθ

Coordenada xl

x l = xdV dV = R R x( 2y·z·dx ) π R 2 h R R x( 2y·z·dx ) =2( h 1 +Rtanθ ) R R x R 2 x 2 ·dx 2tanθ R R x 2 · R 2 x 2 ·dx

La primera integral es nula, como hemos mostrado anteriormente. Calculamos la segunda, haciendo el cambio de variable, x=Rcosφ, dx=-Rsinφ·

R R x 2 · R 2 x 2 ·dx = R 4 π 0 cos 2 φ sin 2 φ·dφ= R 4 4 π 0 sin 2 ( 2φ ) ·dφ= R 4 8 π 0 ( 1cos( 4φ ) )dφ= R 4 8 ( φ 1 4 sin( 4φ ) ) | π 0 = π R 4 8

La coordenada xl del centro de masas del líquido es

x l = R R x( 2y·z·dx ) π R 2 h = 2 π R 4 8 tanθ π R 2 h = R 2 tanθ 4h

Coordenada zl del centro de masa del líquido

Calculamos la coordenada zl del centro de masa del líquido, como suma de dos porciones

El volumen de la porción inferior es V1R2h1 y su centro de masa se encuentra en h1/2

La coordenada zl del centro de masa del líquido es

z l = ( π R 2 h 1 ) h 1 2 π R 2 h + h 1 h 1 + h 2 zA(z)·dz π R 2 h = h 1 2 2h + z 2

Hemos dividido, la porción superior en elementos infinitesimales de espesor dz y de área de la base A(z), en color azul claro en la parte derecha de la figura

A(z)= R x ( 2y·dx ) =2 R x R 2 x 2 dx

Haciendo el cambio de variable, x=Rcosφ, dx=-Rsinφ·

A(z)=2 R x R 2 x 2 dx =2 R 2 R x sin 2 φ·dφ= R 2 R x ( 1cos( 2φ ) )dφ= R 2 ( φ 1 2 sin( 2φ ) ) | π φ =π R 2 R 2 arccos( x R )+x R 2 x 2

donde la relación entre z y x es, h-z=xtanθ, Véase la parte inferior derecha de la figura

Volumen de la porción superior

Primero, comprobamos que la suma de los volúmenes de las dos porciones es el volumen total del líquido contenido en el recipiente cilíndrico, V1+V2R2h, o bien, πR2h1+V2R2h.

Hacemos el cambio de variable

ζ=x= hz tanθ ,dζ= dz tanθ

Calculamos V2

V 2 = h 1 h 1 + h 2 A(z)·dz =tanθ R R A(ζ)dζ =tanθ R R ( π R 2 R 2 arccos( ζ R )+ζ R 2 ζ 2 )dζ

Integramos el arccos(), por partes, la tercera es inmediata

arccos( ζ R ) dζ,{ u=arccos( ζ R ),du= dζ R 2 ζ 2 dv=dζ,v=ζ =ζarccos( ζ R )+ ζ R 2 ζ 2 dζ= ζarccos( ζ R ) R 2 ζ 2 ζ R 2 ζ 2 dζ= 1 3 ( R 2 ζ 2 ) 3/2

El resultado es

V 2 = tanθ( π R 2 ζ R 2 ζarccos( ζ R )+ R 2 R 2 ζ 2 1 3 ( R 2 ζ 2 ) 3/2 ) | R R =π R 3 tanθ

Comprobación

V 1 + V 2 =π R 2 h 1 +π R 3 tanθ=π R 2 ( hRtanθ )+π R 3 tanθ=π R 2 h

Coordenada zl del centro de masa del líquido

z 2 = h 1 h 1 + h 2 zA(z)·dz π R 2 h = tanθ π R 2 h R R ( hζtanθ )( π R 2 R 2 arccos( ζ R )+ζ R 2 ζ 2 )dζ = tanθ π R 2 h { h R R ( π R 2 R 2 arccos( ζ R )+ζ R 2 ζ 2 )dζ tanθ R R ζ( π R 2 R 2 arccos( ζ R )+ζ R 2 ζ 2 )dζ } tanθ π R 2 h { hπ R 3 tanθ( π R 2 R R ζ·dζ R 2 R R ζarccos( ζ R )dζ+ R R ζ 2 R 2 ζ 2 ·dζ ) }

La primera integral multiplicada por h la hemos resuelta en el apartado anterior. Resolvemos la segunda multiplicada por -tanθ que a su vez es la suma de tres integrales, la primera es inmediata

R R ζ·dζ = ζ 2 2 | R R =0 ζarccos( ζ R )dζ ,{ u=arccos( ζ R ),du= dζ R 2 ζ 2 dv=ζ·dζ,v= ζ 2 2 = ζ 2 2 arccos( ζ R )+ 1 2 ζ 2 R 2 ζ 2 dζ,{ ζ=Rcosφ dζ=Rsinφ·dφ ζ 2 R 2 ζ 2 dζ,{ ζ=Rcosφ dζ=Rsinφ·dφ = R 2 cos 2 φ·dφ= R 2 2 ( 1+cos( 2φ ) )dφ= R 2 2 ( φ+ 1 2 sin( 2φ ) )= R 2 2 ( arccos( ζ R )+ ζ R 1 ζ 2 R 2 ) ζarccos( ζ R )dζ = ζ 2 2 arccos( ζ R ) R 2 4 ( arccos( ζ R )+ ζ R 1 ζ 2 R 2 )=( ζ 2 2 R 2 4 )arccos( ζ R ) 1 4 ζ R 2 ζ 2 R R ζarccos( ζ R )dζ = ( ζ 2 2 R 2 4 )arccos( ζ R ) 1 4 ζ R 2 ζ 2 | R R = π R 2 4 ζ 2 R 2 ζ 2 ·dζ ,{ ζ=Rcosφ dζ=Rsinφ·dφ R 4 cos 2 φ· sin 2 φ·dφ = R 4 4 sin 2 ( 2φ )dφ = R 4 8 ( 1cos( 4φ ) )dφ = R 4 8 ( φ 1 4 sin( 4φ ) ) R R ζ 2 R 2 ζ 2 ·dζ= R 4 8 ( φ 1 4 sin( 4φ ) ) | 0 π = π R 4 8

El resultado de z2 es

z 2 = tanθ π R 2 h { hπ R 3 tanθ( π R 2 R R ζ·dζ R 2 R R ζarccos( ζ R )dζ+ R R ζ 2 R 2 ζ 2 ·dζ ) }= tanθ π R 2 h { hπ R 3 tanθ( π R 2 ·0 R 2 π R 2 4 π R 4 8 ) }=Rtanθ 3 8 R 2 h tan 2 θ

Combinamos las dos porciones para obtener la coordenada zl del c.m. del líquido

z l = h 1 2 2h + z 2 = h 1 2 2h +Rtanθ 3 8 R 2 h tan 2 θ= h 2 + 1 8 R 2 h tan 2 θ

Centro de masas del recipiente y del líquido que contiene

El centro de masas del recipiente de masa mr está, por simetría, en el eje Z (0,zr), el centro de masas del recipiente y del líquido que contiene es

x cm = m l x l m r + m l = m l m r + m l 1 4 R 2 h tanθ z cm = m r z r + m l z l m r + m l = m r m r + m l z r + m l m r + m l ( h 2 + 1 8 R 2 h tan 2 θ )

La masa del líquido es ml=ρR2h) , ρ es la densidad

Angulo crítico

La posición del centro de masas del recipiente y del líquido que contiene xcm y zcm en el sistema de referencia girado XZ un ángulo θ. En el sistema de referencia horizontal y vertical X'Z', la posición del centro de msas se obtiene mediante la transformación

{ x'=( R+ x cm )cosθ z cm sinθ z'=( R+ x cm )sinθ+ z cm cosθ

La posición del centro de masas está en la vertical Z', por encima del punto de apoyo, si x'=0, para el ángulo θ denominado crítico

( R+ x cm )cosθ z cm sinθ=0

Calculamos el ángulo crítico θ0

tan θ 0 = R+ x cm ( θ 0 ) z cm ( θ 0 ) = R ρπ R 2 h m r + m l 1 4 R 2 h tan θ 0 m r m r + m l z r + ρπ R 2 h m r + m l ( h 2 + 1 8 R 2 h tan 2 θ 0 ) = R( m r +ρπ R 2 h )ρπ R 4 4 tan θ 0 m r z r +ρπ R 2 h( h 2 + 1 8 R 2 h tan 2 θ 0 ) R( m r +ρπ R 2 h )ρπ R 4 4 tan θ 0 =( m r z r +ρπ R 2 h 2 2 )tan θ 0 +ρπ R 4 8 tan 3 θ 0 1 8 tan 3 θ 0 +( m r z r +ρπ R 2 h 2 2 +ρπ R 4 4 ρπ R 4 )tan θ 0 R( m r +ρπ R 2 h ) ρπ R 4 =0

Buscamos la raíz real de la ecuación de tercer gardo

tan 3 θ 0 +( 8βγ+4 α 2 +2 )tan θ 0 8( β+α )=0,{ α= h R β= m r ρπ R 3 γ= z r R x 3 +a x 2 +bx+c=0,{ a=0 b=8βγ+4 α 2 +2 c=8( β+α )

La raíz real, véase el apartado Fórmulas para calcular las raíces, de una ecuación cúbica

Q= b 3 ,R= c 2

Hay una raíz real si R2>Q3, lo que se cumple, que vale

A= ( R+ R 2 Q 3 ) 1/3 tan θ 0 =A+ Q A

Representamos el ángulo crítico θ0 en grados, en función del parámetro α manteniendo fijos los parámetros β=0.28 y γ=3.5

function cm_botella
    beta=0.28; %parámetros
    gamma=3.5;
    aa=linspace(0.5,6,100);
    angulo=zeros(1, length(aa));
    k=1;
    for alfa=aa
        b=4*alfa^2+8*beta*gamma+2;
        c=8*(alfa+beta);

        raiz=raices_3([1,0,b,-c]);
        angulo(k)=atan(raiz(1))*180/pi; %ángulo en grados 
        k=k+1;
    end
    plot(aa,angulo)   
    grid on
    xlabel('\alpha')
    ylabel('\theta_0')
    title('Equilibro inestable')

    function x = raices_3(p)
        Q=(p(2)*p(2)-3*p(3))/9;
        R=(2*p(2)^3-9*p(2)*p(3)+27*p(4))/54;
        x=zeros(3,1); %reserva memoria para un vector de tres elementos
        if (R*R)<(Q^3)
            tetha=acos(R/sqrt(Q^3));
            x(1)=-2*sqrt(Q)*cos(tetha/3)-p(2)/3;
            x(2)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha+2*pi)/3)-p(2)/3;
            x(3)=-2*sqrt(Q)*cos((tetha-2*pi)/3)-p(2)/3;
        else
            A=-sign(R)*nthroot(abs(R)+sqrt(R*R-Q^3),3);
            if A==0
                B=0;
            else
                B=Q/A;
            end
            x(1)=(A+B)-p(2)/3;
            x(2)=-(A+B)/2-p(2)/3+(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1); %mejor que i
            x(3)=-(A+B)/2-p(2)/3-(sqrt(3)*(A-B)/2)*sqrt(-1);
        end
    end
end

La función raices_3 calcula las tres raíces de la ecuación cúbica

Alternativamente, determinamos explícitamente la raíz real de la ecuación cúbica

beta=0.28; %parámetros
gamma=3.5;
alfa=linspace(0.5,6,100);
b=4*alfa.^2+8*beta*gamma+2;
c=8*(alfa+beta);
Q=-b/3;
R=c/2;
A=-(-R+sqrt(R.^2-Q.^3)).^(1/3);
angulos=atan(A+Q./A);
plot(alfa,angulos*180/pi)   
grid on
xlabel('\alpha')
ylabel('\theta_0')
title('Equilibro inestable')

Referencias

Andrew Davis Cahoon. Water Bottle Stability. The Physics Teacher, Vol. 61, December 2023. pp. 785-787