Vamos a describir el movimiento de una partícula de masa m cargada (positivamente) con q, unida a un muelle elástico de constante k. La partícula se mueve en el seno de un campo magnético uniforme $\overrightarrow{B}=B\widehat{k}$, paralelo al eje vertical Z

A la izquierda, se muestra el muelle de constante k sin deformar cuyo extremo superior es fijo.

El muelle deformado atraviesa un pequeño orificio O situado en un plano horizontal XY. Se sitúa el origen O en el extremo inferior del muelle sin deformar. El eje Z apunta hacia abajo

En el instante t, la posición y velocidad de la partícula

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{r}=x\widehat{i}+y\widehat{j}+z\widehat{k}\\ \frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\widehat{i}+\frac{dy}{dt}\widehat{j}+\frac{dz}{dt}\widehat{k}\end{array}}$

Las fuerzas sobre la partícula son

• El peso, $mg\widehat{k}$



• La fuerza que ejerce el muelle deformado, -kr, cuyas componentes son

${\displaystyle -kx\widehat{i}-ky\widehat{j}-kz\widehat{k}}$

• La fuerza que ejerce el campo magnético

 

${\displaystyle q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}=\left|\begin{array}{ccc}\widehat{i}& \widehat{j}& \widehat{k}\\ \frac{dx}{dt}& \frac{dy}{dt}& \frac{dz}{dt}\\ 0& 0& B\end{array}\right|=qB\frac{dy}{dt}\widehat{i}-qB\frac{dx}{dt}\widehat{j}}$

Las ecuaciones del movimiento de la partícula son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx+qB\frac{dy}{dt}\\ m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-ky-qB\frac{dx}{dt}\\ m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=-kz+mg\end{array}}$

Definimos las frecuencias angulares

${\displaystyle {\omega }_s^2=\frac{k}{m},{\omega }_m=\frac{qB}{2m}}$

Las ecuaciones del movimiento se escriben

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-{\omega }_s^{2}x+2{\omega }_m\frac{dy}{dt}\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-{\omega }_s^{2}y-2{\omega }_m\frac{dx}{dt}\\ \frac{d^{2}z}{d{t}^2}=g-{\omega }_s^{2}z\end{array}}$

La tercera ecuacion diferencial es la más fácil de integrar

${\displaystyle \frac{d^{2}z}{d{t}^2}+{\omega }_s^{2}z=g}$

con la condición inicial: el instante t=0, z(0)=h, y ${\frac{dz}{dt}|}_{t=0}=0$

La solución particular es una constante C, tal que

${\displaystyle {\omega }_s^{2}C=g,C=\frac{g}{{\omega }_s^2}}$

La solución de la ecuación homogénea es z_h=A·cos(ω_st)+B·sin(ω_st). La solución completa es

${\displaystyle \begin{array}{l}z=A\cos \left({\omega }_{s}t\right)+B\sin \left({\omega }_{s}t\right)+\frac{g}{{\omega }_s^2}\\ \frac{dz}{dt}={\omega }_s\left(-A\sin \left({\omega }_{s}t\right)+B\cos \left({\omega }_{s}t\right)\right)\end{array}}$

Los coeficientes A y B se calculan a partir de las condiciones iniciales

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}A+\frac{g}{{\omega }_s^2}=h\\ {\omega }_{s}B=0\end{array}\\ B=\mathrm{0,}A=h-\frac{g}{{\omega }_s^2}\\ z=\left(h-\frac{g}{{\omega }_s^2}\right)\cos \left({\omega }_{s}t\right)+\frac{g}{{\omega }_s^2}\end{array}}$

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-{\omega }_s^{2}x+2{\omega }_m\frac{dy}{dt}\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-{\omega }_s^{2}y-2{\omega }_m\frac{dx}{dt}\end{array}}$

Definiendo la variable compleja ξ=x+iy. Multiplicamos la segunda por la unidad imaginaria i y sumamos

${\displaystyle \begin{array}{l}\zeta =x+iy,\frac{d\zeta }{dt}=\frac{dx}{dt}+i\frac{dy}{dt}\\ \frac{d^2\left(x+iy\right)}{d{t}^2}=-{\omega }_s^2\left(x+iy\right)+2{\omega }_m\left(\frac{dy}{dt}-i\frac{dx}{dt}\right)\\ \frac{d^2\left(x+iy\right)}{d{t}^2}=-{\omega }_s^2\left(x+iy\right)-2i{\omega }_m\left(\frac{dx}{dt}+i\frac{dy}{dt}\right)\\ \frac{d^2\zeta }{d{t}^2}+2i{\omega }_m\frac{d\xi }{dt}+{\omega }_s^2\xi =0\end{array}}$

Convertimos un sistema de dos ecuaciones diferenciales en una única ecuación diferencial en la variable compleja ξ. Las raíces de la ecuación característica son

${\displaystyle s^2+2i{\omega }_{m}s+{\omega }_s^2=\mathrm{0,}\{\begin{array}{l}{s}_1=-i{\omega }_m+i\sqrt{{\omega }_m^2+{\omega }_s^2}=-i\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)\\ s_2=-i{\omega }_m-i\sqrt{{\omega }_m^2+{\omega }_s^2}=-i\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)\end{array}}$

La solución de la ecuación diferencial es

${\displaystyle \zeta =A\exp \left(s_{1}t\right)+B\exp \left(s_{2}t\right)=A\exp \left(-i\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)t\right)+B\exp \left(-i\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)t\right)}$

Los coeficientes A y B son números complejos. Despejamos la parte real x y la parte imaginaria y

${\displaystyle \begin{array}{l}x+iy=\left(A_1+i{A}_2\right)\exp \left(-i\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)t\right)+\left(B_1+i{B}_2\right)\exp \left(-i\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)t\right)\\ \{\begin{array}{l}x=A_1\cos \left(\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)t\right)+A_2\sin \left(\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)t\right)+B_1\cos \left(\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)t\right)+B_2\sin \left(\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)t\right)\\ y=A_2\cos \left(\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)t\right)-A_1\sin \left(\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)t\right)+B_2\cos \left(\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)t\right)-B_1\sin \left(\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)t\right)\end{array}\end{array}}$

Las componentes v_x y v_y de la velocidad de la partícula son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)\left(-A_1\sin \left(\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)t\right)+A_2\cos \left(\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)t\right)\right)+\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)\left(-B_1\sin \left(\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)t\right)+B_2\cos \left(\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)t\right)\right)\\ \frac{dy}{dt}=-\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)\left(A_2\sin \left(\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)t\right)+A_1\cos \left(\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)t\right)\right)-\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)\left(B_2\sin \left(\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)t\right)+B_1\cos \left(\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)t\right)\right)\end{array}}$

Condiciones iniciales

$t=\mathrm{0,}x=\mathrm{0,}\frac{dx}{dt}=\mathrm{0,}y=\mathrm{0,}\frac{dy}{dt}=V$

Calculamos los coeficientes A₁, A₂, B₁ y B₂, resolviendo el sistema de ecuaciones

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{A}_1+B_1=0\\ A_2+B_2=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)A_2+\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)B_2=0\\ -\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)A_1-\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)B_1=V\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{\omega }_{ms}\left(-A_2+B_2\right)+{\omega }_m\left(A_2+B_2\right)=0\\ {\omega }_{ms}\left(A_1-B_1\right)-{\omega }_m\left(A_1+B_1\right)=V\end{array}\\ A_2=B_2=\mathrm{0,}{A}_1=\frac{V}{2{\omega }_{ms}},B_1=-\frac{V}{2{\omega }_{ms}}\end{array}}$

La trayectoria de la partícula en el plano XY es

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=\frac{V}{2{\omega }_{ms}}\left(\cos \left(\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)t\right)-\cos \left(\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)t\right)\right)=\frac{V}{{\omega }_{ms}}\sin \left({\omega }_{ms}t\right)\sin \left({\omega }_{m}t\right)\\ y=\frac{V}{2{\omega }_{ms}}\left(-\sin \left(\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)t\right)+\sin \left(\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)t\right)\right)=\frac{V}{{\omega }_{ms}}\sin \left({\omega }_{ms}t\right)\cos \left({\omega }_{m}t\right)\end{array}}$

Llamamos

${\displaystyle \begin{array}{l}a=\frac{V}{{\omega }_{ms}},n=\frac{{\omega }_{ms}}{{\omega }_m},\theta ={\omega }_{m}t\\ \{\begin{array}{l}x=a\sin \left(n\theta \right)\sin \theta \\ y=a\sin \left(n\theta \right)\cos \theta \end{array}\end{array}}$

Dado el campo magnético B, calculamos ω_m y ω_ms y posteriormente, n. Sin embargo, es más interesante fijar el valor de n y después, calcular el campo magnético B correspondiente a dicho valor

${\displaystyle \begin{array}{l}{\omega }_s^2=\frac{k}{m},{\omega }_m=\frac{qB}{2m},{\omega }_{ms}=\sqrt{{\omega }_s^2+{\omega }_m^2}\\ n=\frac{{\omega }_{ms}}{{\omega }_m}\\ B=\frac{2m{\omega }_s}{q\sqrt{n^2-1}}\end{array}}$

Datos

• Masa de la partícula, m=0.02 kg
• Carga de la partícula, q=0.1 C
• Constante elástica del muelle, k=0.5 N/m
• Velocidad inicial, v_0y=V=0.8 m/s

Ejemplo 1. n=5

m=0.02; %masa
k=0.5; %constante del muelle
q=0.1; %carga
V=0.8; %velocidad inicial
n=5;
w_s=sqrt(k/m);
B=2*m*w_s/(q*sqrt(n^2-1)); %campo magnético
w_m=q*B/(2*m);
w_ms=sqrt(w_s^2+w_m^2);
a=V/w_ms;
fplot(@(th) a*sin(n*th).*sin(th), @(th) a*sin(n*th).*cos(th),[0,2*pi])
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectoria en el plano XY')

Con estos datos, para n=5, $B=\frac{1}{\sqrt{6}}\text{T}$

>> B
B =    0.4082

Ejemplo 2. n=4

En el script modificamos el valos de la variable n=4;

>> B
B =   0.5164

Ejemplo 3. n=π

En el script modificamos el valor de la variable n=pi;. Representamos la trayectoria en el intervalo angular θ, [0,10*pi]

>> B
B =   0.6715

Ejemplo 4. Representamos la trayectoria de la partícula en el espacio

${\displaystyle \begin{array}{l}z=\left(h-\frac{g}{{\omega }_s^2}\right)\cos \left({\omega }_{s}t\right)+\frac{g}{{\omega }_s^2}\\ n=\frac{{\omega }_{ms}}{{\omega }_m}=\frac{\sqrt{{\omega }_m^2+{\omega }_s^2}}{{\omega }_m}\\ {\omega }_s={\omega }_m\sqrt{n^2-1}\end{array}}$

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=a\sin \left(n\theta \right)\sin \theta \\ y=a\sin \left(n\theta \right)\cos \theta \\ z=\left(h-\frac{g}{{\omega }_s^2}\right)\cos \left(\theta \sqrt{n^2-1}\right)+\frac{g}{{\omega }_s^2}\end{array}}$

m=0.02; %masa
k=0.5; %constante del muelle
q=0.1; %carga
V=0.8; %velocidad inicial
n=3;
h=0.8; %altura inicial
w_s=sqrt(k/m);
B=2*m*w_s/(q*sqrt(n^2-1)); %campo magnético
w_m=q*B/(2*m);
w_ms=sqrt(w_s^2+w_m^2);
a=V/w_ms;
fplot3(@(th) a*sin(n*th).*sin(th), @(th) a*sin(n*th).*cos(th), 
@(th) 9.8/w_s^2+(h-9.8/w_s^2)*cos(th*sqrt(n^2-1)),[0,2*pi])
grid on
set(gca,'Zdir','reverse')
xlabel('x')
ylabel('y')
xlabel('x')
zlabel('z')
title('Trayectoria')

Con estos datos, para n=3, $B=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{T}$

>> B
B =    0.7071

Condiciones iniciales

${\displaystyle t=\mathrm{0,}x=L,\frac{dx}{dt}=\mathrm{0,}y=\mathrm{0,}\frac{dy}{dt}=0}$

Calculamos los coeficientes A₁, A₂, B₁ y B₂, resolviendo el sistema de ecuaciones

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{A}_1+B_1=L\\ A_2+B_2=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{A}_2\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)+B_2\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)=0\\ -A_1\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)-B_1\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{\omega }_{ms}\left(-A_2+B_2\right)+{\omega }_m\left(A_2+B_2\right)=0\\ {\omega }_{ms}\left(A_1-B_1\right)-{\omega }_m\left(A_1+B_1\right)=0\end{array}\\ A_2=B_2=\mathrm{0,}{B}_1=\frac{{\omega }_{ms}-{\omega }_m}{2{\omega }_{ms}}L,A_1=\frac{{\omega }_{ms}+{\omega }_m}{2{\omega }_{ms}}L\end{array}}$

La trayectoria de la partícula en el plano XY es

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=\frac{{\omega }_{ms}+{\omega }_m}{2{\omega }_{ms}}L\cos \left(\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)t\right)+\frac{{\omega }_{ms}-{\omega }_m}{2{\omega }_{ms}}L\cos \left(\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)t\right)\\ y=-\frac{{\omega }_{ms}+{\omega }_m}{2{\omega }_{ms}}L\sin \left(\left({\omega }_m-{\omega }_{ms}\right)t\right)-\frac{{\omega }_{ms}-{\omega }_m}{2{\omega }_{ms}}L\sin \left(\left({\omega }_m+{\omega }_{ms}\right)t\right)\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=\frac{\left({\omega }_{ms}+{\omega }_m\right)\cos \left(\left({\omega }_{ms}-{\omega }_m\right)t\right)+\left({\omega }_{ms}-{\omega }_m\right)\cos \left(\left({\omega }_{ms}+{\omega }_m\right)t\right)}{2{\omega }_{ms}}L\\ y=\frac{\left({\omega }_{ms}+{\omega }_m\right)\sin \left(\left({\omega }_{ms}-{\omega }_m\right)t\right)-\left({\omega }_{ms}-{\omega }_m\right)\sin \left(\left({\omega }_{ms}+{\omega }_m\right)t\right)}{2{\omega }_{ms}}L\end{array}\end{array}}$

Llamamos

${\displaystyle \begin{array}{l}r=\frac{L\left({\omega }_{ms}-{\omega }_m\right)}{2{\omega }_{ms}},\theta =\left({\omega }_{ms}-{\omega }_m\right)t,n=\frac{2{\omega }_{ms}}{{\omega }_{ms}-{\omega }_m}\\ n-1=\frac{2{\omega }_{ms}}{{\omega }_{ms}-{\omega }_m}-1=\frac{{\omega }_{ms}+{\omega }_m}{{\omega }_{ms}-{\omega }_m}\\ \{\begin{array}{l}x=r\left(n-1\right)\cos \theta +r\cos \left(\left(n-1\right)\theta \right)\\ y=r\left(n-1\right)\sin \theta -r\sin \left(\left(n-1\right)\theta \right)\end{array}\end{array}}$

Fijado el valor de n calculamos el campo magnético B correspondiente a dicho valor

${\displaystyle \begin{array}{l}n=\frac{2{\omega }_{ms}}{{\omega }_{ms}-{\omega }_m}\\ {\omega }_m=\frac{n-2}{n}{\omega }_{ms}\\ {\omega }_m^2={\left(\frac{n-2}{n}\right)}^2\left({\omega }_s^2+{\omega }_m^2\right)\\ {\omega }_m=\frac{n-2}{2\sqrt{n-1}}{\omega }_s\\ B=\frac{m}{q}\frac{n-2}{\sqrt{n-1}}{\omega }_s\end{array}}$

Datos

• Masa de la partícula, m=0.02 kg
• Carga de la partícula, q=0.1 C
• Constante elástica del muelle, k=0.5 N/m
• Posición inicial, x₀=L=0.4 m

Ejemplo 1. n=4

m=0.02; %masa
k=0.5; %constante del muelle
q=0.1; %carga
L=0.4; %posición inicial
n=4;
w_s=sqrt(k/m);
B=m*(n-2)*w_s/(q*sqrt(n-1));
w_m=q*B/(2*m);
w_ms=sqrt(w_s^2+w_m^2);
r=L*(w_ms-w_m)/(2*w_ms);
fplot(@(th) r*(n-1)*cos(th)+r*cos((n-1)*th), 
@(th) r*(n-1)*sin(th)-r*sin((n-1)*th),[0,2*pi])
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectoria en el plano XY')

Con estos datos, para n=4, $B=\frac{2}{\sqrt{3}}\text{T}$

>> B
B =    1.1547

Ejemplo 2. n=9/2

En el script modificamos el valos de la variable n=9/2;. Representamos la trayectoria para el intervalo angular θ, [0,4*pi]

Con estos datos, para n=9/2, $B=\frac{5}{\sqrt{14}}\text{T}$

>> B
B =     1.3363

Ejemplo 3. n=π

En el script modificamos el valor de la variable n=pi;. Representamos la trayectoria para el intervalo angular θ, [0,12*pi]

Con estos datos, para n=π, $B=\frac{\pi -2}{\sqrt{\pi -1}}$

>> B
B =   0.7801

Ejemplo 4. Representamos la trayectoria de la partícula en el espacio

${\displaystyle z=\left(h-\frac{g}{{\omega }_s^2}\right)\cos \left({\omega }_{s}t\right)+\frac{g}{{\omega }_s^2}}$

Tenemos que expresar ω_st en términos de n y θ. Establecimos la relación

${\displaystyle \begin{array}{l}{\omega }_m=\frac{n-2}{n}{\omega }_{ms}\\ \theta =\left({\omega }_{ms}-{\omega }_m\right)t=\left(\frac{n}{n-2}{\omega }_m-{\omega }_m\right)t=\frac{2}{n-2}{\omega }_{m}t\\ {\omega }_m=\frac{n-2}{2\sqrt{n-1}}{\omega }_s\\ \theta =\frac{2}{n-2}\frac{n-2}{2\sqrt{n-1}}{\omega }_{s}t=\frac{{\omega }_{s}t}{\sqrt{n-1}}\end{array}}$

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=r\left(n-1\right)\cos \theta +r\cos \left(\left(n-1\right)\theta \right)\\ y=r\left(n-1\right)\sin \theta -r\sin \left(\left(n-1\right)\theta \right)\\ z=\left(h-\frac{g}{{\omega }_s^2}\right)\cos \left(\theta \sqrt{n-1}\right)+\frac{g}{{\omega }_s^2}\end{array}}$

m=0.02; %masa
k=0.5; %constante del muelle
q=0.1; %carga
L=0.4; %posición inicial x
n=2.1;
h=0.8; %altura inicial
w_s=sqrt(k/m);
B=m*(n-2)*w_s/(q*sqrt(n-1));
w_m=q*B/(2*m);
w_ms=sqrt(w_s^2+w_m^2);
r=L*(w_ms-w_m)/(2*w_ms);
fplot3(@(th) r*(n-1)*cos(th)+r*cos((n-1)*th), @(th) r*(n-1)*sin(th)-
r*sin((n-1)*th),@(th) 9.8/w_s^2+(h-9.8/w_s^2)*cos(th*sqrt(n-1)),[0,20*pi])
grid on
grid on
set(gca,'Zdir','reverse')
xlabel('x')
ylabel('y')
xlabel('x')
zlabel('z')
title('Trayectoria')

>> B
B =   0.0953

Referencias

MENG Yong. Motion analysis of spring pendulum in uniform magnetic field. College Physics. 2023, 42 (1)