Consideremos dos cilindros coaxiales de radios el interior a y el exterior b. Se establece una diferencia de potencial entre los dos cilindros V_c, gnerándose un campo elécctrico cuya dirección es radial y apunta hacia el eje de los cilindros,tal como se muestra en la figura

En la página titulada Condensador cilíndrico y esférico calculamos el campo eléctrico aplicando la ley de Gauss y la diferencia de potencial V_c entre las placas del condensador

${\displaystyle \begin{array}{l}E=\frac{Q}{2\pi {\epsilon }_{0}rL}\\ V_c={\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}E\cdot dr}=\frac{Q}{2\pi {\epsilon }_{0}L}\ln \frac{b}{a}\\ E=\frac{V_c}{\ln \frac{b}{a}}\frac{1}{r}\end{array}}$

En este caso, se conoce la diferencia de potencial entre los cilindros V_c en vez de la carga Q

El campo eléctrico no es constante, es inversamnete proporcional a la distancia al eje de los cilindros

Se establece un campo magnético B uniforme y paralelo al eje entre los dos cilindros situándolos paralelamente en el interior de un solenoide

Ecuaciones del movimiento

En primer lugar, expresaremos la posición, velocidad y aceleración de la partícula en coordenadas cilíndricas. La fuerza sobre un electrón (carga negativa e) que ejerce el campo eléctrico E y e campo magnético B es

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{F}=-e\overrightarrow{E}-e\left(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}\right)=eE\widehat{\rho }-e\left|\begin{array}{ccc}\widehat{\rho }& \widehat{\phi }& \widehat{k}\\ \frac{d\rho }{dt}& \rho \frac{d\phi }{dt}& \frac{dz}{dt}\\ 0& 0& B\end{array}\right|\\ \overrightarrow{F}=e\left(E-B\rho \frac{d\phi }{dt}\right)\widehat{r}+e\left(B\frac{d\rho }{dt}\right)\widehat{\phi }\end{array}}$

La trayectoria del electrón está contenida en un plano perpendicular al eje de los cilindros. La ecuación del movimiento es

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{d^2\rho }{d{t}^2}-\rho {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2=\frac{e}{m}\left(E-B\rho \frac{d\phi }{dt}\right)\\ \rho \frac{d^2\phi }{d{t}^2}+2\frac{d\rho }{dt}\frac{d\phi }{dt}=\frac{e}{m}B\frac{d\rho }{dt}\end{array}}$

La segunda ecuación se puede integrar

La aceleración angular se expresa

${\displaystyle \frac{d^2\phi }{d{t}^2}=\frac{d\omega }{dt}=\frac{d\omega }{d\rho }\frac{d\rho }{dt},\omega =\frac{d\phi }{dt}}$

De este modo, eliminamos la velocidad radial dρ/dt de la segunda ecuación del movimiento

${\displaystyle \begin{array}{l}\rho \frac{d\omega }{d\rho }\frac{d\rho }{dt}+2\frac{d\rho }{dt}\frac{d\phi }{dt}=\frac{eB}{m}\frac{d\rho }{dt}\\ \rho \frac{d\omega }{d\rho }+2\omega =\frac{eB}{m}\end{array}}$

Separamos las variables e integramos

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\omega }{\frac{eB}{m}-2\omega }=\frac{d\rho }{\rho }\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{\omega }{\int }}\frac{d\omega }{\frac{eB}{m}-2\omega }={\displaystyle \underset{a}{\overset{\rho }{\int }}\frac{d\rho }{\rho }}}\\ -\frac{1}{2}\left\{\ln \left(\frac{eB}{m}-2\omega \right)-\ln \left(\frac{eB}{m}\right)\right\}=\ln \frac{\rho }{a}\\ \frac{\frac{eB}{m}}{\frac{eB}{m}-2\omega }={\left(\frac{\rho }{a}\right)}^2\\ \frac{d\phi }{dt}=\frac{1}{2}\frac{eB}{m}\left(1-\frac{a^2}{{\rho }^2}\right)\end{array}}$

Recordaremos que el cátodo emite electrones cuya velocidad tiene dirección radial, ${\frac{d\phi }{dt}|}_{\rho =a}=0$

Conservación de la energía

La velocidad inicial de los electrones en ρ=a es v₀ en la dirección radial, la energía potencial es E_p(a): La conservación de la eneergía se expresa

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}m{v}_0^2+E_p(a)=\frac{1}{2}m\left({\left(\frac{d\rho }{dt}\right)}^2+{\left(\rho \frac{d\phi }{dt}\right)}^2\right)+E_p(\rho )\\ \frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m\left({\left(\frac{d\rho }{dt}\right)}^2+{\left(\rho \frac{d\phi }{dt}\right)}^2\right)+E_p(\rho )-E_p(a)\end{array}}$

La diferencia de energías potenciales es el área de color gris claro

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m\left({\left(\frac{d\rho }{dt}\right)}^2+{\left(\rho \frac{d\phi }{dt}\right)}^2\right)-e{\displaystyle \underset{a}{\overset{\rho }{\int }}E·dr}\\ \frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m\left({\left(\frac{d\rho }{dt}\right)}^2+{\rho }^2\frac{1}{4}{\left(\frac{eB}{m}\right)}^2{\left(1-\frac{a^2}{{\rho }^2}\right)}^2\right)-e\frac{V_c}{\ln \frac{b}{a}}\ln \frac{\rho }{a}\end{array}}$

Cuando alcanza la máxima distancia r_m al eje, la velocidad en la dirección radial dρ/dt=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m{r}_m^2\frac{1}{4}{\left(\frac{eB}{m}\right)}^2{\left(1-\frac{a^2}{r_m^2}\right)}^2-e{V}_c\frac{\ln \frac{r_m}{a}}{\ln \frac{b}{a}}\\ v_0^2+\frac{2e}{m}\frac{V_c}{\ln \frac{b}{a}}\ln \frac{r_m}{a}={\left(\frac{eB}{2m}\left(\frac{r_m^2-a^2}{r_m}\right)\right)}^2\end{array}}$

La mínima velocidad inicial del electrón para que justamente, alcance el cilindro exterior, r_m=b es

${\displaystyle v_{mín}^2={\left(\frac{eB}{2m}\left(\frac{b^2-a^2}{b}\right)\right)}^2-\frac{2e}{m}{V}_c}$

Habitualmente, el radio del cátodo a<<b es muy pequeño

${\displaystyle v_{mín}^2\approx {\left(\frac{eB}{2m}b\right)}^2-\frac{2e}{m}{V}_c=\frac{2e}{m}{V}_c\left(\frac{B^2}{B_c^2}-1\right),B_c=\sqrt{\frac{8m{V}_c}{e{b}^2}}}$

Para que exista velocidad mínima, se tiene que cumplir que B>B_c, donde B_c se denomina campo magnético crítico

Caso particular, campo magnético nulo B=0

Cuando no hay campo magnético, B=0, el electrón es acelerado en la dirección radial desde el cátodo al ánodo. La ecuación del movimiento es

${\displaystyle \frac{d^2\rho }{d{t}^2}=\frac{e}{m}\frac{V_c}{\ln \frac{b}{a}}\frac{1}{\rho }}$

La conservación de la energía nos prporciona la velocidad del electrón dρ/dt en función de la distancia radial ρ

${\displaystyle \frac{1}{2}m{\left(\frac{d\rho }{dt}\right)}^2=\frac{1}{2}m{v}_0^2+e\frac{V_c}{\ln \frac{b}{a}}\ln \frac{\rho }{a}}$

Trayectorias

La fuerza que ejerce el campo magnético (perpendicular a la velocidad) hace que la trayectoria deje de ser rectilínea, hace que se curve, tal como vamos a ver en los ejemplos más abajo.

Resolveremos mediante el procedimiento numérico ode45 de MATLAB el sistema de dos ecuaciones diferenciales

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{d^2\rho }{d{t}^2}=\frac{e}{m}\frac{V_c}{\ln \frac{b}{a}}\frac{1}{\rho }+\rho \frac{d\phi }{dt}\left(\frac{d\phi }{dt}-\frac{eB}{m}\right)\\ \frac{d^2\phi }{d{t}^2}=\frac{1}{\rho }\frac{d\rho }{dt}\left(\frac{eB}{m}-2\frac{d\phi }{dt}\right)\end{array}}$

Con las siguientes condiciones iniciales

${\displaystyle t=\mathrm{0,}\{\begin{array}{l}\rho =a,\frac{d\rho }{dt}=v_0\\ \phi =\mathrm{0,}\frac{d\phi }{dt}=0\end{array}}$

En primer lugar, establecemos el sistema de unidades: ρ=10^-3r (la distancia radial en mm), el tiempo t=10^-9τ

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\frac{{10}^{-3}}{{10}^{-18}}\frac{d^{2}r}{d{\tau }^2}=\frac{e}{m}\frac{V_c}{\ln \frac{b}{a}}\frac{1}{{10}^{-3}r}+r{10}^{-3}\frac{d\phi }{{10}^{-9}d\tau }\left(\frac{d\phi }{{10}^{-9}d\tau }-\frac{eB}{m}\right)\\ \frac{d^2\phi }{{10}^{-18}d{\tau }^2}=\frac{1}{{10}^{-3}r}\frac{{10}^{-3}dr}{{10}^{-9}d\tau }\left(\frac{eB}{m}-2\frac{d\phi }{{10}^{-9}d\tau }\right)\end{array}\\ \{\begin{array}{l}\frac{d^{2}r}{d{\tau }^2}=\frac{e}{m}\frac{V_c}{\ln \frac{b}{a}}\frac{{10}^{-12}}{r}+r\frac{d\phi }{d\tau }\left(\frac{d\phi }{d\tau }-\frac{eB}{m}{10}^{-9}\right)\\ \frac{d^2\phi }{d{\tau }^2}=\frac{1}{r}\frac{dr}{d\tau }\left(\frac{eB}{m}{10}^{-9}-2\frac{d\phi }{d\tau }\right)\end{array}\end{array}}$

Las unidades de la velocidad son

${\displaystyle \frac{d\rho }{dt}=\frac{{10}^{-3}}{{10}^{-9}}\frac{dr}{d\tau }={10}^6\frac{dr}{d\tau }}$

Datos

• Masa del electrón, m=9.1091·10^-31 kg;
• Carga del electrón, e=1.6021·10-19 C
• Radio del cátodo, a=0.1 mm
• Radio del ánodo, b=5 mm
• Diferencia de potencial, V_c=65 V

Con estos datos calculamos el campo magnético crítico, B_c=0.0109 T

• Representamos la trayectoria del eléctrón para B=B_c, para las velocidades iniciales v₀=0 y 2

function tray_electron_5
    a=0.1; %radio cátodo
    b=5; %radio ánodo
    Vc=65; %diferencia de potencial
    m=9.1091e-31; %masa del electrón
    q=1.6021e-19; %carga del electrón
    Bc=sqrt(8*m*Vc/(q*b^2*1e-6)); %campo magnético crítico  
    B=Bc;
    hold on
    fplot(@(th) a*cos(th),@(th) a*sin(th),[0,2*pi],'lineWidth', 1.5,
'color','b')
    fplot(@(th) b*cos(th),@(th) b*sin(th),[0,2*pi],'lineWidth', 1.5,
'color','r')
    opts=odeset('events',@stop_electron);
    f=@(t,x) [x(2);  q*Vc*1e-12/(m*log(b/a)*x(1))+x(1)*x(4)*(x(4)-
q*B*1e-9/m); x(4); x(2)*(q*B*1e-9/m-2*x(4))/x(1)];
    for v0=[0,2]
       [t,x]=ode45(f,linspace(0,1,100),[a,v0,0,0]);
        plot(x(:,1).*cos(x(:,3)),x(:,1).*sin(x(:,3)))
       [~,x]=ode45(f,linspace(t(end),5,100),[x(end,1),x(end,2),
x(end,3),x(end,4)], opts);
        plot(x(:,1).*cos(x(:,3)),x(:,1).*sin(x(:,3)))
    end
    axis equal
    hold off
    grid on
    xlabel('x')
    ylabel('y')
    title('Trayectorias')

    function [value,isterminal,direction]=stop_electron(~,x)
        value=x(1)-a;
        isterminal=1; %1 detiene la integración cuando se hace cero   
        direction=1; % 1 crece, -1 decrece, 0 no importa
    end
end



Para la velocidad inicial v₀=0 la trayectoria del electrón es tangente al ánodo, para una velocidad mayor el electrón choca con el ánodo

• Representamos la trayectoria del eléctrón para B=0.9B_c, para las velocidades iniciales v₀=0.1 y 1.5

function tray_electron_6
    a=0.1; %radio cátodo en mm
    b=5; %radio ánodo en mm
    Vc=65; %diferencia de potencial
    m=9.1091e-31; %masa del electrón
    q=1.6021e-19; %carga del electrón
    Bc=sqrt(8*m*Vc/(q*b^2*1e-6)); %campo magnético crítico  
    B=0.9*Bc;
    hold on
    fplot(@(th) a*cos(th),@(th) a*sin(th),[0,2*pi],'lineWidth', 1.5,
'color','b')
    fplot(@(th) b*cos(th),@(th) b*sin(th),[0,2*pi],'lineWidth', 1.5,
'color','r')
    opts=odeset('events',@stop_electron);
    f=@(t,x) [x(2);  q*Vc*1e-12/(m*log(b/a)*x(1))+x(1)*x(4)*(x(4)-
q*B*1e-9/m); x(4); x(2)*(q*B*1e-9/m-2*x(4))/x(1)];
    for v0=[0.1,1.5]
       [t,x]=ode45(f,linspace(0,1,100),[a,v0,0,0]);
        plot(x(:,1).*cos(x(:,3)),x(:,1).*sin(x(:,3)))
       [~,x]=ode45(f,linspace(t(end),5,100),[x(end,1),x(end,2),x(end,3),
x(end,4)], opts);
        plot(x(:,1).*cos(x(:,3)),x(:,1).*sin(x(:,3)))
    end
    axis equal
    hold off
    grid on
    xlabel('x')
    ylabel('y')
    title('Trayectorias')

    function [value,isterminal,direction]=stop_electron(~,x)
        value=x(1)-a;
        isterminal=1; %1 detiene la integración cuando se hace cero   
        direction=1; % 1 crece, -1 decrece, 0 no importa
    end
end



En ambos casos, los electrones chocan con el ánodo

• Representamos la trayectoria del eléctrón para B=2B_c, para las velocidades iniciales v_m=8.2821 (mínima), 4 y 10

function tray_electron_3
    a=0.1; %radio cátodo en mm
    b=5; %radio ánodo en mm
    Vc=65; %diferencia de potencial
    m=9.1091e-31; %masa del electrón
    q=1.6021e-19; %carga del electrón
    Bc=sqrt(8*m*Vc/(q*b^2*1e-6)); %campo magnético crítico  
    B=2*Bc;
    vm=sqrt(2*q*Vc*(B^2/Bc^2-1)/m)*1e-6;
    hold on
    fplot(@(th) a*cos(th),@(th) a*sin(th),[0,2*pi],'lineWidth', 1.5,
'color','b')
    fplot(@(th) b*cos(th),@(th) b*sin(th),[0,2*pi],'lineWidth', 1.5,
'color','r')
    opts=odeset('events',@stop_electron);
    f=@(t,x) [x(2);  q*Vc*1e-12/(m*log(b/a)*x(1))+x(1)*x(4)*
(x(4)-q*B*1e-9/m); x(4); x(2)*(q*B*1e-9/m-2*x(4))/x(1)];
    for v0=[vm,4,10]
       [t,x]=ode45(f,linspace(0,1,100),[a,v0,0,0]);
        plot(x(:,1).*cos(x(:,3)),x(:,1).*sin(x(:,3)))
       [~,x]=ode45(f,linspace(t(end),3,100),[x(end,1),x(end,2),x(end,3),
x(end,4)], opts);
       plot(x(:,1).*cos(x(:,3)),x(:,1).*sin(x(:,3)))
    end
    axis equal
    hold off
    grid on
    xlabel('x')
    ylabel('y')
    title('Trayectorias')

    function [value,isterminal,direction]=stop_electron(~,x)
        value=x(1)-a;
        isterminal=1; %1 detiene la integración cuando se hace cero   
        direction=1; % 1 crece, -1 decrece, 0 no importa
    end
end



Para la velocidad inicial v_m la trayectoria del electrón es tangente al ánodo, para una velocidad mayor el electrón choca con el ánodo y para una menor no llega

Corriente eléctrica

• Si el campo magnético B<B_c los electrones emitidos por el cátodo chocan con el ánodo, pasa una corriente eléctrica que es máxima

• Si el campo magnético B>B_c, los electrones emitidos por el cátodo con velocidad radial v₀ mayor que la mínima v_m chocan con el ánodo, pasa una corriente menor. Este es el caso más interesante que estudiaremos en este apartado

En la página titulada La ley de distribución de las velocidades moleculares en el apartado 'Sublimación de un sólido'. El número de moléculas dn_x cuya velocidad está comprendida entre v_x y v_x+dv_x

${\displaystyle d{n}_x=N{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{1/2}\exp \left(-\frac{m{v}_x^2}{2kT}\right)d{v}_x}$

Si en vez de moléculas son electrones con carga e. La densidad de corriente en la dirección radial, J_r

${\displaystyle \begin{array}{l}{J}_r={\displaystyle \underset{v_{x,mín}}{\overset{\infty }{\int }}e{v}_{x}d{n}_x}=Ne{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{1/2}{\displaystyle \underset{v_{x,mín}}{\overset{\infty }{\int }}{v}_x\exp \left(-\frac{m{v}_x^2}{2kT}\right)}d{v}_x=Nq{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{1/2}\left(\frac{kT}{m}\right)\exp \left(-\frac{m{v}_{x,\min }^2}{2kT}\right)\\ J_r=Ne\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\exp \left(-\frac{m{v}_{x,\min }^2}{2kT}\right)\end{array}}$

La intensidad es el producto de la densidad de corriente J_r por el área lateral del cátodo 2πaL

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{I}{I_{máx}}=\{\begin{array}{l}\mathrm{1,}B\le B_c\\ \exp \left(-\frac{m}{2kT}{v}_{x,\text{mín}}^2\right)=\exp \left(-\frac{e{V}_c}{kT}\left(\frac{B^2}{B_c^2}-1\right)\right),B>B_c\end{array}\\ B_c=\sqrt{\frac{8m{V}_c}{e{b}^2}}\end{array}}$

Representamos el cociente I/I_máx en función del campo magnético B.

a=0.1e-3; %radio cátodo
b=5e-3; %radio ánodo
Vc=65; %diferencia de potencial
m=9.1091e-31; %masa del electrón
q=1.6021e-19; %carga del electrón
Bc=sqrt(8*m*Vc/(q*b^2)); %campo magnético crítico
T=1100; %temperatura
B=linspace(Bc,Bc+0.00005,300);
Ek=q*Vc*(B.^2/Bc^2-1);
I=exp(-q*Vc*(B.^2/Bc^2-1)/(1.3805e-23*T));
plot(B*1000,I)
line([Bc,Bc]*1000,[0,1],'lineStyle','--')
line([10.87,Bc*1000],[1,1])
grid on
xlabel('B (mT)')
ylabel('I/I_{máx}')
title('Corriente')

La intensidad se hace casi cero cuando el campo magnético se incrementa un poco por encima del campo magnético crítico B_c (línea vertical a trazos)

Referencias

Valery Kurbatsky, Oksana Lozovenko. Motion of electrons in crossed fields, radial electric and uniform magnetic: theory and computer simulation. Eur. J. Phys. 47 (2026) 025206