Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Variables separadas

dx dt =f(t)·g(x) dx g(x) = f(t)dt G(x)=F(x)+c

Carga de un condensador a través de una resistencia

Considérese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el condensador está descargado. Si se cierra el interruptor I la carga empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el condensador se empieza a cargar. Una vez que el condensador adquiere la carga máxima, la corriente cesa en el circuito.

En el circuito de la figura tendremos que la suma Vab+Vbc+Vca=0

La ecuación del circuito es

iR+ q C V ε =0

Teniendo en cuenta que la intensidad se define como la carga que atraviesa la sección del circuito en la unidad de tiempo, i=dq/dt, tendremos la siguiente ecuación para integrar

R dq dt = V ε q C 0 q dq C V ε q = 1 RC 0 t dt q=C V ε ( 1exp( t RC ) )

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la intensidad en función del tiempo

i= dq dt = V ε R exp( t RC )

>> syms R C V;
>> q=dsolve('R*Dq=V-q/C','q(0)=0')
q =C*V - (C*V)/exp(t/(C*R))
>> i=diff(q)
i =V/(R*exp(t/(C*R)))

Damos valores a R=2, C=0.3, V=10 y representamos la carga q del condensador y la intensidad i de la corriente en función del tiempo en la misma ventana gráfica

>> qq=subs(q,{R,C,V},{2,0.3,10})
qq =3 - 3/exp((5*t)/3)
>> ii=subs(i,{R,C,V},{2,0.3,10})
ii =5/exp((5*t)/3)
 
>> hold on
>> ezplot(qq,[0,5])
>> h=ezplot(ii,[0,5]);
>> set(h,'color','r')
>> grid on
>> hold off
>> ylim([0,5])
>> title('Carga de un condensador')

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

dx dt +P(t)x=Q(t)

La solución de la ecuación diferencial homogénea con Q(t)=0, es

x=C·exp( P(t)dt )

Cuando Q(t)≠0, se supone que C es una función de t se busca una solución de la ecuación no homogénea.

dx dt =tan(t)·x+cos(t)

Resolvemos la ecuación homogénea

dx x =tan(t)·dt log(x)=log( 1 cos(t) )+C x=c· 1 cos(t)

Considerando c como función de t.

dx dt = dc dt 1 cos(t) +c sin(t) cos 2 (t)

Introducimos dx/dt y x en la ecuación diferencial no homogénea

dc dt 1 cos(t) +c sin(t) cos 2 (t) =tan(t)c· 1 cos(t) +cos(t) dc dt = cos 2 (t) c= 1 2 t+ 1 4 sin(2t)+ C 1

Introducimos c en la solución de la ecuación diferencial homogénea

x=( 1 2 t+ 1 4 sin(2t)+ C 1 ) 1 cos(t)

>> x=dsolve('Dx-tan(t)*x=cos(t)')
x =(t/2 + sin(2*t)/4)/cos(t) + C2/cos(t)

Ecuación de Bernoulli

dx dt +P(t)x=Q(t) x m m0,m1

Se reduce a una lineal haciendo la sustitución x=u·v

dx dt 4 t x=t x x=u·v u dv dt + du dt v 4 t u·v=t u·v ( du dt 4 t u )·v+u dv dt =t u·v { du dt 4 t u=0u= t 4 u dv dt =t u·v t 4 dv dt =t t 4 ·v v= ( 1 2 ln| t |+C ) 2 x=u·v= t 4 ( 1 2 ln| t |+C ) 2

>> x=dsolve('Dx-4*x/t=t*sqrt(x)')
x =                       0
 (t^4*(C3 + log(t))^2)/4

Ecuaciones diferenciales exactas

Sea la ecuación diferencial

P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0 Q(t,x) dx dt =P(t,x)

Si se cumple que

P x = Q t

La ecuación diferencial se puede escribir de la forma dU(t,x)=P(t,xdt+Q(t,xdx=0, U(t,x)=C.

U= P(t,x)dt +φ(x) U= (3 t 2 +6t x 2 )dt +φ(x)= t 3 +3 t 2 x 2 +φ(x) Q(t,x)= U x 6 t 2 x+4 x 3 =6 t 2 x+ dφ dx dφ dx =4 x 3 φ(x)= x 4 +C U= t 3 +3 t 2 x 2 +φ(x)= t 3 +3 t 2 x 2 + x 4 +C

MATLAB no sabe calcular la solución de esta ecuación diferencial mediante dsolve para este caso,

>> syms t x;
>> P=3*t^2+6*t*x^2;
>> Q=6*t^2*x+4*x^3;
>> diff(P,x)
ans =12*t*x
>> diff(Q,t)
ans =12*t*x
>> x=dsolve('Dx+(3*t^2+6*t*x^2)/(6*t^2*x+4*x^3)=0') 
x =    ((9*t^4 - 4*t^3 + C7)^(1/2)/2 - (3*t^2)/2)^(1/2)
....

Para obtener la solución vamos a reproducir el procedimiento empleado para obtener la solución analítica.

>> syms x t;
>> P=3*t^2+6*t*x^2;
>> Q=6*t^2*x+4*x^3;
>> diff(P,x)
ans =12*t*x
>> diff(Q,t)
ans =12*t*x %diferencial exacta
>> u1=int(P,t) %integra P respecto de t
u1 =t^2*(3*x^2 + t)
>> du2=Q-diff(u1,x)
du2 =4*x^3
>> u2=int(du2,x) %integra respecto de x
u2 =x^4
>> u=u1+u2 
u =t^2*(3*x^2 + t) + x^4

Si la diferencial no es exacta es posible encontrar un factor integrante μ, tal que

x ( μP )= t ( μQ )

Este factor integrante se puede calcular fácilmente en dos casos:

1 Q ( P x Q t )=f(t)μ=exp( f(t)dt ) 1 P ( P x Q t )=g(x)μ=exp( g(x)dx )

La ecuación diferencial se puede escribir de la forma dU(t,x)=μP(t,xdt+μQ(t,xdx=0, U(t,x)=C.

Sea la ecuación diferencial

P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0 ( 2tx+ t 2 x+ x 3 3 )dt+( t 2 + x 2 )dx=0

Calculamos el factor integrante μ

1 Q ( P x Q t )= 1 t 2 + x 2 ( 2t+ t 2 + x 2 2t )=1μ= e t

Obtenemos la solución de la ecuación diferencial

U= μP(t,x)dt +φ(x) U= e t ( 2tx+ t 2 x+ x 3 3 )dt +φ(x)= =x t 2 e t + x 3 3 e t +φ(x) μQ(t,x)= U x e t ( t 2 + x 2 )= t 2 e t + x 2 e t + dφ dx dφ dx =0φ(x)=C U=x t 2 e t + x 3 3 e t +C= e t x( t 2 + x 2 3 )+C

>> clear
>> syms x t c;
>> P=2*t*x+x*t^2+x^3/3;
>> Q=t^2+x^2;
>> diff(P,x)
ans =t^2 + 2*t + x^2
>> diff(Q,t)
ans =2*t %no es diferencial exacta
>> dmu=(diff(P,x)-diff(Q,t))/P
dmu =(t^2 + x^2)/(t^2*x + 2*t*x + x^3/3)
>> dmu=(diff(P,x)-diff(Q,t))/Q
dmu =1
>> mu=exp(t); %factor integrante
>> u1=int(P*mu,t)
u1 =(x*exp(t)*(3*t^2 + x^2))/3
>> du2=mu*Q-diff(u1,x)
du2 =exp(t)*(t^2 + x^2) - (2*x^2*exp(t))/3 - (exp(t)*(3*t^2 + x^2))/3
>> simplify(du2)
ans =0
>> u=u1+c
u =(x*exp(t)*(3*t^2 + x^2))/3+c

Ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes

a 1 d n x d t n + a 2 d n1 x d t n1 +... a n dx dt + a n+1 x=0 x=Cexp(s·t) a 1 s n + a 2 s n1 +...+ a n s+ a n+1 =0

Raíces reales
Si las raíces s1,s2,...sn de la ecuación característica son distintas, la solución de la ecuación diferencial es

x= C 1 exp( s 1 ·t)+ C 2 exp( s 2 ·t)+... C n exp( s n ·t)

Si las raíces se repiten, por ejemplo la raíz s1 se repite m veces, s1=s2=...sm

x=( C 1 + C 2 t+...+ C m t m1 )exp( s 1 ·t)+ C m+1 exp( s m+1 ·t)+... C n exp( s n ·t)

Raíces complejas

Si las raíces de la ecuación característica son complejas, estas aparecen por pares, s1=a+bi y s2=a-bi que son conjugadas.

C 1 exp(at+bi·t)+ C 2 exp(atbi·t)= exp(at)( C 1 ·exp(bi·t)+ C 2 ·exp(bi·t) )= exp(at)( ( C 1 + C 2 )cos(bt)+i( C 1 C 2 )sin(bt) )= exp(at)( B 1 cos(bt)+ B 2 sin(bt) )=Aexp(at)sin(bt+φ)

La más importante de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas es la de segundo orden con coeficientes constantes p y q.

d 2 x d t 2 +p dx dt +qx=0

La ecuación característica es s2+ps+q=0. La solución general se escribe en una de las tres formas siguientes:

x= C 1 exp( s 1 t)+ C 2 exp( s 2 t)raíces reales distintas x=( C 1 + C 2 ·t)exp( s 1 t)raíces reales iguales x=exp(at)( C 1 cos(bt)+ C 2 sin(bt) )raíces complejas

Ecuación diferencial no homogénea

a 1 d n x d t n + a 2 d n1 x d t n1 +... a n dx dt + a n+1 x=f(x)

La solución se compone de la suma de dos términos: la correspondiente a la ecuación homogénea y de una solución particular.

Ejemplos

  1. Ecuación diferencial homogénea con condiciones iniciales dadas.
  2. d 2 x d t 2 + dx dt 6x=0 t=0{ x=3 dx dt =1

    La ecuación característica es s2+2s-6=0, cuyas raíces son s=-3 y s=2;

    x= C 1 e 3t + C 2 e 2t t=0{ 3= C 1 + C 2 1=3 C 1 +2 C 2 x= 7 5 e 3t + 8 5 e 2t

    >> x=dsolve('D2x+Dx-6*x=0','x(0)=3','Dx(0)=-1')
    x =(8*exp(2*t))/5 + 7/(5*exp(3*t))
  3. Ecuación diferencial no homogénea
  4. d 2 x d t 2 +4 dx dt +3x=3 e 2t t=0{ x=1 dx dt =1

    La solución de esta ecuación diferencial se compone de la suma de dos términos, la homogénea y la particular
    La ecuación característica es s2+4s+3=0, cuyas raíces son s=-1 y s=-3; La solución de la ecuación diferencial homogénea es:

    x= C 1 e t + C 2 e 3t

    La solución particular es x1=Aexp(-2t) que sustituimos en la ecuación diferencial para determinar el valor de A

    4A e 2t +4·(2)A e 2t +3A e 2t =3 e 2t A=3

    La solución completa es

    x= C 1 e t + C 2 e 3t 3 e 2t

    Determinamos las constantes C1 y C2 a partir de las condiciones iniciales

    x= C 1 e t + C 2 e 3t 3 e 2t t=0{ 1= C 1 + C 2 3 1= C 1 3 C 2 +6 x= 5 2 e t + 3 2 e 3t 3 e 2t

    >> x=dsolve('D2x+4*Dx+3*x=3*exp(-2*t)','x(0)=1','Dx(0)=-1')
    x =5/(2*exp(t)) - 3/exp(2*t) + 3/(2*exp(3*t))
  5. Ecuación diferencial no homogénea, cambia la solución particular
  6. d 2 x d t 2 +4 dx dt +3x=2 e t t=0{ x=1 dx dt =1

    La ecuación característica es s2+4s+3=0, cuyas raíces son s=-1 y s=-3; La solución de la ecuación diferencial homogénea es:

    x = C 1 e t + C 2 e 3 t

    La solución particular es x1=A·t·exp(-t) que sustituimos en la ecuación diferencial para determinar el valor de A

    2A e t +At e t +4·( A e t At e t )+3At e t =2 e t A=1

    La solución completa es

    x= C 1 e t + C 2 e 3t t e t

    Determinamos las constantes C1 y C2 a partir de las condiciones iniciales

    x= C 1 e t + C 2 e 3t t e t t=0{ 1= C 1 + C 2 1= C 1 3 C 2 1 x= 3 2 e t 1 2 e 3t t e t

    >> x=dsolve('D2x+4*Dx+3*x=-2*exp(-t)','x(0)=1','Dx(0)=-1')
    x =3/(2*exp(t)) - 1/(2*exp(3*t)) - t/exp(t)
  7. Otros ejemplos
  8. 2 d 2 x d t 2 dx dt x=4t e 2t

    La ecuación característica es 2s2-s-1=0, cuyas raíces son s=1 y s=-1/2

    La solución particular es de la forma x1=(At+B)exp(2t). Calculamos los coeficientes A y B en la ecuación diferencial

    2 e 2t ( 4A+4B+4At ) e 2t ( A+2B+2At ) e 2t ( B+At )=4t e 2t A= 4 5 B= 28 25

    La solución general de la ecuación diferencial es

    x= C 1 e t + C 2 e t/2 + e 2t ( 4 5 t 28 25 )

    >> x=dsolve('2*D2x-Dx-x=4*t*exp(2*t)')
    x =(4*exp(2*t)*(t - 1))/3 + C11*exp(t) + C12/exp(t/2) - 
    (8*exp((5*t)/2)*(5*t - 2))/(75*exp(t/2))
    >> simplify(x)
    ans =(4*t*exp(2*t))/5 - (28*exp(2*t))/25 + C11*exp(t) + C12/exp(t/2)

    d 2 x d t 2 2 dx dt +x=t· e t

    La ecuación característica es s2-2s+1=0, cuyas raíces son iguales s=1. La solución de la ecuación diferencial homogénea es

    x= C 1 e t + C 2 e t/2

    La solución particular es de la forma x1=(At+Bt2·exp(t). Calculamos los coeficientes A y B en la ecuación diferencial, dando A=1/6 y B=0.

    La solución general de la ecuación diferencial es

    x=( C 1 + C 2 t ) e t + 1 6 t 3 e t

    >> x=dsolve('D2x-2*Dx+x=t*exp(t)')
    x =(t^3*exp(t))/6 + C14*exp(t) + C15*t*exp(t)

    d 2 x d t 2 +x=tsin(t)

    La ecuación característica es s2+1=0, cuyas raíces son complejas conjugadas s1=i, s2=-i. La solución de la ecuación diferencial homogénea es

    x= C 1 cos(t)+ C 2 sin(t)

    La solución particular es de la forma x1=t·((At+B)·cos(t)+(Ct+D)·sin(t)).Calculamos los coeficientes A, B, C y D en la ecuación diferencial, dando A=-1/4, B=0, C=0, D=1/4.

    La solución general de la ecuación diferencial es

    x= C 1 cos(t)+ C 2 sin(t) t 2 4 cos(t)+ t 4 sin(t)

    >> x=dsolve('D2x+x=t*sin(t)')
    x =sin(t)*(sin(2*t)/8 - (t*cos(2*t))/4) + cos(t)*(cos(2*t)/8 + 
    (t*sin(2*t))/4 - t^2/4 - 1/8) + C17*cos(t) + C18*sin(t) 
    >> simplify(x)
    ans =C17*cos(t) - (t^2*cos(t))/4 + C18*sin(t) + (t*sin(t))/4
    

Referencias

Barenkov, Demidovich, Efimenko..., Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. Paraninfo (1975)