El columpio (II)

En un modelo simplificado, el cuerpo del niño se sustituye por tres masas puntuales, m1, m2 y m3. La masa m3 dista l3 de la masa central m1 situada en el asiento y la masa m2 dista l2 de dicha partícula.

El niño oscila hacia delante y hacia atrás, sentado en el columpio, de modo que su posición angular en función del tiempo es θ=θ0·cos(ωt). θ0 es la amplitud y ω la frecuencia angular.

Ecuación del movimiento

Las ecuaciones de Lagrange es la forma más simple de obtener la ecuación del movimiento. Calculamos la Lagrangiana L=Ek-Ep del sistema en términos de la variable φ. Ek, es la energía cinética de las tres partículas y Ep su energía potencial. La ecuación del movimiento se obtiene.

d dt ( L φ ˙ ) L φ =0 φ ˙ = dφ dt

Posición y velocidad de las partículas

Establecemos un sistema de referencia con el origen en el punto O, eje de sujección de las cadenas, el eje Y apuntando hacia abajo, el eje X hacia la derecha.

Posición de cada una de las tres masas

{ x 1 = l 1 sinφ y 1 = l 1 cosφ { x 2 = l 1 sinφ+ l 2 sin(φ+θ) y 2 = l 1 cosφ+ l 2 cos(φ+θ) { x 3 = l 1 sinφ l 3 sin(φ+θ) y 3 = l 1 cosφ l 3 cos(φ+θ)

Derivando con respecto del tiempo, obtenemos las componentes rectangulares de las velocidades de las tres partículas

{ d x 1 dt = l 1 cosφ dφ dt d y 1 dt = l 1 sinφ dφ dt { d x 2 dt = l 1 cosφ dφ dt + l 2 cos(φ+θ)( dφ dt + dθ dt ) d y 2 dt = l 1 sinφ dφ dt l 2 sin(φ+θ)( dφ dt + dθ dt ) { d x 3 dt = l 1 cosφ dφ dt l 3 cos(φ+θ)( dφ dt + dθ dt ) d y 3 dt = l 1 sinφ dφ dt + l 3 sin(φ+θ)( dφ dt + dθ dt )

Energía cinética

Sumamos la energía cinética de las tres partículas

E k = 1 2 m 1 ( ( d x 1 dt ) 2 + ( d y 1 dt ) 2 )+ 1 2 m 2 ( ( d x 2 dt ) 2 + ( d y 2 dt ) 2 )+ 1 2 m 3 ( ( d x 3 dt ) 2 + ( d y 3 dt ) 2 ) = 1 2 ( m 1 + m 2 + m 3 ) l 1 2 ( dφ dt ) 2 + 1 2 ( m 2 l 2 2 + m 3 l 3 2 ) ( dφ dt + dθ dt ) 2 l 1 ( m 3 l 3 m 2 l 2 )cosθ( dφ dt )( dφ dt + dθ dt )

Energía potencial

Establecemos el nivel cero en el punto de suspensión O del columpio

E p = m 1 g y 1 m 2 g y 2 m 3 g y 3 = ( m 1 + m 2 + m 3 )g l 1 cosφ+( m 3 l 3 m 2 l 2 )gcos(φ+θ)

Ecuación del movimiento

Calculamos las derivadas de la Lagrangiana L=Ek-Ep respecto de la velocidad angular dφ/dt y al ángulo φ

L φ ˙ =( m 1 + m 2 + m 3 ) l 1 2 ( dφ dt )+( m 2 l 2 2 + m 3 l 3 2 )( dφ dt + dθ dt ) l 1 ( m 3 l 3 m 2 l 2 )cosθ( 2 dφ dt + dθ dt ) d dt ( L φ ˙ )=( m 1 + m 2 + m 3 ) l 1 2 ( d 2 φ d t 2 )+( m 2 l 2 2 + m 3 l 3 2 )( d 2 φ d t 2 + d 2 θ d t 2 ) l 1 ( m 3 l 3 m 2 l 2 )cosθ( 2 d 2 φ d t 2 + d 2 θ d t 2 )+ l 1 ( m 3 l 3 m 2 l 2 )sinθ( 2 dφ dt + dθ dt )( dθ dt ) L φ =( m 1 + m 2 + m 3 )g l 1 sinφ+( m 3 l 3 m 2 l 2 )gsin(φ+θ)

Agrupando términos, la ecuación diferencial se escribe

I 1 ( d 2 φ d t 2 )+ I 2 ( d 2 φ d t 2 + d 2 θ d t 2 ) l 1 N( cosθ( 2 d 2 φ d t 2 + d 2 θ d t 2 )sinθ( 2 dφ dt + dθ dt ) dθ dt ) +Mg l 1 sinφNgsin(φ+θ)=0

Donde

M= m 1 + m 2 + m 3 I 1 =M l 1 2 I 2 = m 2 l 2 2 + m 3 l 3 2 N= m 3 l 3 m 2 l 2

El niño oscila hacia delante y hacia atrás, sentado en el columpio, de modo que su posición angular en función del tiempo es θ=θ0·cos(ωt)

Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, φ=0, dφ/dt=0.

m1 = 40; %masa central
m2 = 40; %masa derecha
m3 = 20; %masa izquierda
L1 = 2.5; %longitud del péndulo
L2 = 0.4; %distancia entre m1 y m2
L3 = 0.4; %distancia entre m1 y m3
th0 = 0.7; %amplitud de la oscilación
w=1.9; %frecuencia angular 

I1=(m1+m2+m3)*L1^2; 
I2=m2*L2^2+m3*L3^2; 
N=m3*L3-m2*L2;
I0=I1+I2-2*L1*N;

datos=[(m1+m2+m3), L1, I2, N, I0, th0, w];
x0=[0,0];
[t,x]=ode45(@ed_swing,[0,100],x0,[],datos);
plot(t,x(:,1))
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta');
title('Columpio')
function fg=ed_swing(t,x,p)    
   M=p(1);
   L1=p(2);
   I2=p(3);
   N=p(4);
   I0=p(5);
   th0=p(6);
   w=p(7);
    
   theta=th0*cos(w*t);
   d_theta=-w*th0*sin(w*t);  %derivada
   A=-2*L1*sin(theta)*N*d_theta/I0;
   B=(N*9.8*sin(theta+x(1))-M*9.8*L1*sin(x(1)))/I0;
   C=((I2-L1*N*cos(theta))*w*w*theta-L1*N*sin(theta)*d_theta*d_theta)/I0;
   fg=[x(2); A*x(2)+B+C]; 
end 

Los mismos datos, cambiando la frecuencia angular por la de un péndulo simple de longitud l1=2.5 (longitud de las cadenas que sujetan el asiento), ω=1.98

m1 = 40; %masa central
m2 = 40; %masa derecha
m3 = 20; %masa izquierda
L1 = 2.5; %longitud del péndulo
L2 = 0.4; %distancia entre m1 y m2
L3 = 0.4; %distancia entre m1 y m3
th0 = 0.7; %amplitud de la oscilación
w=sqrt(9.8/L1); %frecuencia angular 
......

Caso particular

Si se eligen adecuadamente las masas m2 y m3 y las distancias l2 y l3 de modo m2·l2=m3·l3, es decir, que el coeficiente N sea nulo, la ecuación diferencial se reduce significativamente

( I 1 + I 2 )( d 2 φ d t 2 )+Mg l 1 sinφ= I 2 ω 2 θ 0 cos(ωt)

Para oscilaciones de pequeña amplitud, hacemos la aproximación sinφφ

d 2 φ d t 2 + ω 0 2 φ= F 0 cos(ωt) ω 0 2 = Mg l 1 I 1 + I 2 F 0 = I 2 ω 2 θ 0 I 1 + I 2

Se trata de un oscilador de frecuencia propia ω0 bajo la acción de una fuerza oscilante de amplitud F0 y frecuencia ω.

La solución particular de esta ecuación diferencial es de la forma C·cos(ωt). Calculamos el coeficiente C

C= F 0 ω 0 2 ω 2

La solución de la homogénea tiene la forma A·sin(ω0t)+B·cos(ω0t)

La solución general es de la forma θ= Asin(ω0t)+Bcos(ω0t)+Ccos(ωt). Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, θ=0, dθ/dt=0

θ= F 0 ω 0 2 ω 2 ( cos(ωt)cos( ω 0 t) )= 2 F 0 ω 0 2 ω 2 sin( ω 0 +ω 2 t )sin( ω 0 ω 2 t )

Consideremos la situación en la que la frecuencia de la fuerza oscilante se hace próxima a la frecuencia propia del oscilador ωω0. Utilizando el resultado, sinx/x tiende hacia 1 cuando x tiende a cero

θ= F 0 t 2 ω 0 sin( ω 0 t )

La amplitud de la oscilación crece linealmente con el tiempo t

En la figura se muestra el resultado para los siguientes datos:

m1 = 40; %masa central
m2 = 40; %masa derecha
m3 = 20; %masa izquierda
L1 = 2.5; %longitud del péndulo
L2 = 0.4; %distancia entre m1 y m2
L3 = 0.8; %distancia entre m1 y m3
th0 = 0.7; %amplitud de la oscilación
w=1.905; %frecuencia angular 
.....

Se cumple que m2·l2=m3·l3

La amplitud va creciendo linealmente al principio. Luego, la amplitud se hace grande y la aproximación sinφφ deja de tener validez

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Si se activa la casilla titulada Gráfica y se pulsa el botón titulado Nuevo, se verá la representación gráfica del ángulo φ que hace el columpio con la vertical en función del tiempo t. Para ver de nuevo el columpio en movimiento de desactiva esta casilla y se pulsa el botón titulado Nuevo.

Fijadas las masas m1, m2 y m3 y las distancias l1, l2 y l3, se tratará de investigar a qué frecuencias ω se obtiene una amplitud de φ grande.





Referencias

Referencias William B. Case, Mark A. Swanson. The pumping of a swing from the seated position. Am. J. Phys. 58 (5) May 1990, pp. 463-467

Johnathon Jackson. Analysis of The Motion of Pumping on A Swing, May 2004. http://msemac.redwoods.edu/~darnold/math55/deproj/sp04/jjackson/paperIIII.pdf