Respuesta del oscilador a una fuerza periódica

La ecuación diferencial que describe un oscilador forzado bajo la acción de una fuerza F(t) es

d 2 x d t 2 +2γ dx dt + ω 0 2 x= F(t) m

Los casos más simples de fuerza F(t) son los siguientes:

Superposición

Cuando una fuerza F(t) es periódica de periodo P=2π/ω, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas

F ( t ) = a 0 2 + k = 1 ( a k cos ( k ω t ) + b k sin ( k ω t ) )

donde a0 a1 ...ak ... y b1 b2 .... bk .... son los denominados coeficientes de Fourier.

a k = 2 P 0 P F(t)cos(kωt) ·dtk=0,1,2.... b k = 2 P 0 P F(t)sin(kωt) ·dtk=1,2....

Aplicando el principio de superposición, la solución de la ecuación diferencial en el estado estacionario

d 2 x d t 2 + 2 γ d x d t + ω 0 2 x = F ( t ) m

es la suma de las soluciones en el estado estacionario de las ecuaciones diferenciales

d 2 x d t 2 +2γ dx dt + ω 0 2 x= a 0 2m d 2 x d t 2 +2γ dx dt + ω 0 2 x= a k m cos(kωt) d 2 x d t 2 +2γ dx dt + ω 0 2 x= b k m sin(kωt)

Teniendo en cuenta que la frecuencia de la fuerza oscilante ωf =kω, y que las amplitudes de la fuerza oscilante son F0=ak ó F0=bk. Las soluciones en el estado estacionario de cada una de las tres ecuaciones diferenciales que denominaremos, x0, xck (coseno), xsk (seno) respectivamente, son

x 0 = a 0 2m ω 0 2 x ck = a k m ω 0 2 k 2 ω 2 ( ω 0 2 k 2 ω 2 ) 2 +4 γ 2 k 2 ω 2 cos(kωt)+ a k m 2γkω ( ω 0 2 k 2 ω 2 ) 2 +4 γ 2 k 2 ω 2 sin(kωt) x sk = b k m 2γkω ( ω 0 2 k 2 ω 2 ) 2 +4 γ 2 k 2 ω 2 cos(kωt)+ b k m ω 0 2 k 2 ω 2 ( ω 0 2 k 2 ω 2 ) 2 +4 γ 2 k 2 ω 2 sin(kωt)

El comportamiento del oscilador en el estado estacionario bajo la acción de la fuerza periódica F(t) es la suma

x= x 0 + k=1 x ck + k=1 x sk = 1 m ( a 0 2 ω 0 2 + k=1 ( ( a k A k b k B k )cos(kωt)+( a k B k + b k A k )sin(kωt) ) ) A k = ω 0 2 k 2 ω 2 ( ω 0 2 k 2 ω 2 ) 2 +4 γ 2 k 2 ω 2 B k = 2γkω ( ω 0 2 k 2 ω 2 ) 2 +4 γ 2 k 2 ω 2

Ejemplos

Fuerza periódica de simetría par

Sea la fuerza periódica F(t) de periodo P=2π/ω, de la figura

Como la función es simétrica, f(x)=f(-x), par, calculamos los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier ak ya que bk=0

a k = 2 P 0 P F(t)cos(kωt)·dt= 2 P ( 0 P/4 F 0 cos(kωt)·dt + P/4 3P/4 ( F 0 )cos(kωt)·dt + 3P/4 P F 0 cos(kωt)·dt ) = 4 F 0 kπ ( 1 ) k1 2 k=1,3,5...

>> syms t P k;
>> ak=(2/P)*(int(cos(2*pi*k*t/P),t,0,P/4)-int(cos(2*pi*k*t/P),t,P/4,3*P/4)
+int(cos(2*pi*k*t/P),t,3*P/4,P));
>> subs(ak,k,sym('[1 2 3 4 5]'))
ans =[ 4/pi, 0, -4/(3*pi), 0, 4/(5*pi)]

La función F(t) se expresa como suma de armónicos

F(t)= F 0 ( 4 π cos(ωt) 4 3π cos(3ωt)+ 4 5π cos(5ωt)... )

P=20;
F0=1;
f=0;
t=linspace(0,40,500);
hold on
xx=[0 5 5 15 15 20]; %un periodo
yy=[1 1 -1 -1 1 1];
x=[xx,xx+20]; %dos periodos
y=[yy,yy];
plot(x,y,'k')
for k=1:2:9 %seis términos
    f=f+(F0*4/pi)*(-1)^((k-1)/2)*cos(2*pi*k*t/P)/k;
end
plot(t,f,'r')
xlabel('t')
ylabel('F(t)')
title('Fuerza periódica')
grid on
hold off

El comportamiento del oscilador en el estado estacionario bajo la acción de la fuerza periódica F(t) es la suma

x= k=1,3,5.. x ck = F 0 m 4 π k=1,3,5.. ( 1 ) k1 2 k ( ω 0 2 k 2 ω 2 ( ω 0 2 k 2 ω 2 ) 2 +4 γ 2 k 2 ω 2 cos(kωt) + 2γkω ( ω 0 2 k 2 ω 2 ) 2 +4 γ 2 k 2 ω 2 sin(kωt) )

w=pi/10; %frecuencia de la fuerza, P=20
w0=1; %frecuencia propia del oscilador
g=0.35; %coef. rozamiento
F0=1; %amplitud de la fuerza
m=1;  %masa
x=0;
t=linspace(0,40,500);
for k=1:2:21;  %diez términos del desarrollo en serie
    Ac=(w0^2-k^2*w^2)/((w0^2-k^2*w^2)^2+4*g^2*k^2*w^2);
    Bc=2*g*k*w/((w0^2-k^2*w^2)^2+4*g^2*k^2*w^2);
    x=x+(F0/m)*(4/pi)*((-1)^((k-1)/2)/k)*(Ac*cos(k*w*t)+Bc*sin(k*w*t));
end
plot(t,x)
xlabel('t');
ylabel('x(t)')
title('Respuesta a una fuerza periódica')
grid on

Fuerza periódica de simetría impar

Sea la fuerza periódica F(t) de periodo P=2π, de la figura

Como la función es antisimétrica, f(x)=-f(-x), impar, calculamos los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier bk ya que ak=0

b k = 2 P 0 P F(t)sin(kωt)·dt= 2 2π π π ( F 0 π t )sin(kt)·dt = F 0 π 2 π π tsin(kt)·dt = 2 F 0 π ( 1 ) k+1 k k=1,2,3...

>> syms k t;
>> bk=int((t*sin(k*t)),t,-pi,pi)/sym('pi')^2;
>> bk=simplify(bk)
bk =(2*(sin(pi*k) - pi*k*cos(pi*k)))/(pi^2*k^2)
>> subs(bk,k,sym('[1 2 3 4]'))
ans =[ 2/pi, -1/pi, 2/(3*pi), -1/(2*pi)]

La función F(t) se expresa como suma de armónicos

F(t)= 2 F 0 π ( sin(t) 1 2 sin(2t)+ 1 3 sin(3t) 1 4 sin(4t)... )

F0=1;
f=0;
hold on
xx=linspace(-pi,pi,30); %un periodo
yy=F0*xx/pi;
x=[xx(xx>0),xx+2*pi,xx+4*pi]; 
y=[yy(xx>0),yy,yy];
plot(x,y,'k')
t=linspace(0,5*pi,300);
for k=1:5 %cinco términos
    f=f+(F0*2/pi)*(-1)^(k+1)*sin(k*t)/k;
end
plot(t,f,'r')
set(gca,'XTick',0:pi:5*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi','2\pi','3\pi','4\pi','5\pi'})
xlabel('t')
ylabel('F(t)')
title('Fuerza periódica')
grid on
hold off

El comportamiento del oscilador en el estado estacionario bajo la acción de la fuerza periódica F(t) es la suma

x= k=1,2,3... x sk = F 0 m 2 π k=1,2,3.. ( 1 ) k+1 k ( 2γkω ( ω 0 2 k 2 ω 2 ) 2 +4 γ 2 k 2 ω 2 cos(kωt) + ω 0 2 k 2 ω 2 ( ω 0 2 k 2 ω 2 ) 2 +4 γ 2 k 2 ω 2 sin(kωt) )

w=1; %frecuencia de la fuerza
w0=2; %frecuencia propia del oscilador
g=0.1; %coef. rozamiento
F0=1; %amplitud de la fuerza
m=1; %masa
x=0;
t=linspace(0,5*pi,500);
for k=1:40;
    As=-2*g*k*w/((w0^2-k^2*w^2)^2+4*g^2*k^2*w^2);
    Bs=(w0^2-k^2*w^2)/((w0^2-k^2*w^2)^2+4*g^2*k^2*w^2);
    x=x+(F0/m)*(2/pi)*((-1)^(k+1)/k)*(As*cos(k*w*t)+Bs*sin(k*w*t));
end
plot(t,x)
xlabel('t');
ylabel('x(t)')
title('Respuesta a una fuerza periódica')
set(gca,'XTick',0:pi:5*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi','2\pi','3\pi','4\pi','5\pi'})
grid on