El péndulo de Pohl es un sistema oscilante que consta de un anillo de cobre unido a un muelle helicoidal que puede girar alrededor de un eje horizontal.

El disco se frena mediante las corrientes de Foucault que genera el campo magnético producido por una bobina en el anillo de cobre. Como se estudia en la página titulada “Corrientes de Foucault” el momento de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre las corrientes inducidas es proporcional a la velocidad angular de rotación y de sentido contrario a ésta.

La intensidad del campo magnético es proporcional a la corriente i que pasa por la bobina, la fuerza sobre dichas corrientes es también proporcional al campo magnético. El momento de frenado es proporcional, por tanto, al cuadrado de la intensidad de la corriente que pasa por la bobina.

La fuerza oscilante se proporciona mediante un motor de velocidad variable, que dispone de una rueda impulsora y una excéntrica unida a una biela. La biela se atornilla a una varilla que puede girar alrededor del mismo eje y cuyo extremo está unido al muelle helicoidal. La varilla dispone de una ranura que permite ajustar la amplitud de la oscilación forzada. La varilla impulsora y el disco giran independientemente uno del otro, solamente están conectados por el muelle helicoidal.

Oscilaciones amortiguadas

Se desplaza el disco de la posición de equilibrio y se suelta

La ecuación de la dinámica de rotación del anillo de cobre es

Iα=-kθ- λω

• α es la aceleración angular del disco cuando el indicador del péndulo se encuentra en la posición angular θ.

• I es el momento de inercia del anillo respecto del eje de rotación

• k es la constante del muelle helicoidal

• λω es el momento de rozamiento proporcional a la velocidad angular ω de rotación, debidos a las corrientes de Foucault producidas en el disco de cobre por el campo magnético de la bobina.

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\gamma \frac{d\theta }{dt}+{\omega }_0^2\theta =0{\omega }_{\text{0}}^{\text{2}}=\frac{k}{I}2\gamma =\frac{\lambda }{I}}$

ω₀ es la frecuencia natural o propia del oscilador y γ es la constante de amortiguamiento.

El péndulo de Pohl de la marca Leybold-Heraeus que disponemos en el laboratorio de Física de la Escuela de Ingeniería de Eibar tiene una frecuencia de aproximadamente f₀=0.5 Hz, un periodo P₀=1/f₀=2 s, la frecuencia angular propia es ω₀=2πf₀=π rad/s en ausencia de rozamiento, es decir, cuando no se conecta la bobina a la fuente de alimentación de corriente continua.

Oscilación amortiguada. γ<ω₀

La solución de la ecuación diferencial es

${\displaystyle \theta =\exp (-\gamma t)\left(A\sin (\omega t)+B\cos (\omega t)\right){\omega }^2={\omega }_0^2-{\gamma }^2}$

ω es la frecuencia angular de la oscilación amortiguada, que difiere poco de la frecuencia propia ω₀, si el amortiguamiento γ es pequeño. No se debe de confundir ω la frecuencia de la oscilación amortiguada, con la velocidad angular de rotación del disco.

La velocidad angular de rotación dθ/dt es

${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}=-\gamma \exp (-\gamma t)\left(A\sin (\omega t)+B\cos (\omega t)\right)+\omega \exp (-\gamma t)\left(A\cos (\omega t)-B\sin (\omega t)\right)}$

Las condiciones iniciales determinan los valores de las constantes A y φ.

En la experiencia simulada, se desplaza el disco de cobre 150º, θ₀=5π/6 de la posición de equilibrio y se suelta, momento en el que empieza a contar el tiempo t=0.

${\displaystyle \begin{array}{l}t=0\{\begin{array}{l}\theta ={\theta }_0\\ \frac{d\theta }{dt}=0\end{array}\{\begin{array}{l}B={\theta }_0\\ A=\frac{\gamma }{\omega }{\theta }_0\end{array}\\ \theta ={\theta }_0\exp (-\gamma t)\left(\frac{\gamma }{\omega }\sin (\omega t)+\cos (\omega t)\right)\\ \frac{d\theta }{dt}=-\frac{{\omega }_0^2}{\omega }\exp (-\gamma t)\sin (\omega t)\end{array}}$

Las sucesivas posiciones de máximo desplazamiento angular, para las cuales la velocidad angular del disco es cero, se denominan posiciones de retorno y se calculan poniendo dθ/dt=0

${\displaystyle \begin{array}{l}{t}_n=\frac{n\pi }{\omega }\\ {\theta }_n=A\exp (-\gamma t_n)\text{sin(}n\pi +\phi \text{)}={\left(-1\right)}^n\frac{{\theta }_{\text{0}}}{\text{sin}\phi }\exp (-\gamma t_n)\text{sin(}\phi \text{)}={\left(-1\right)}^n{\theta }_0\exp (-\gamma t_n)\end{array}}$

Medida de la constante de amortiguamiento

En el instante t_m=mπ/ω, el máximo desplazamiento del indicador del péndulo es

${\displaystyle {\theta }_m={(-1)}^m{\theta }_0\exp (-\gamma t_m)}$

El cociente

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\left|{\theta }_m\right|}{\left|{\theta }_n\right|}=\frac{e^{-\gamma t_m}}{e^{-\gamma t_n}}=\exp \left(-\gamma (t_m-t_n)\right)\\ \gamma =\frac{\ln \left|{\theta }_n\right|-\ln \left|{\theta }_m\right|}{t_m-t_n}\end{array}}$

Ejemplo. En el instante t=0, la posición de máximo desplazamiento es la posición inicial θ₀=150º, en el instante t₉=9.0 el desplazamiento máximo medido es -48.3º.

intensidad=0.3;
gamma=1.396*intensidad^2;  %amortiguamiento
w0=pi;                  %frecuencia propia 
w=sqrt(w0^2-gamma^2);  %frecuencia de las oscilación amortiguadas

phi_0=5*pi/6;           %ángulo inicial

t=linspace(0,10,200);
x=phi_0*exp(-gamma*t).*(gamma*sin(w*t)/w+cos(w*t));
plot(t,x);
grid on
set(gca,'YTick',-pi:pi/6:pi)
set(gca,'YTickLabel',{'-\pi','-5\pi/6','-2\pi/3','-\pi/2','-\pi/3'
,'-\pi/6','0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3','5\pi/6','\pi' })
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Oscilaciones amortiguadas')

La constante de amortiguamiento γ vale

${\displaystyle \gamma =\frac{\ln 150-\ln 48.3}{9-0}=0.126}$

Comprobación

${\displaystyle \omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}=3.139\text{rad/s}}$

t₉=9·π/ω=9.007 s

${\displaystyle {\theta }_9={(-1)}^9{\theta }_0\exp (-\gamma t_9)=-\frac{5\pi }{6}\exp (-0.126·9.007)=-0.844\text{rad}=-48.36º}$

Oscilación crítica. γ=ω₀

La solución de la ecuación diferencial es

${\displaystyle \theta =(At+B)\exp (-\gamma t)}$

La velocidad angular de rotación dθ/dt es

${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}=A\exp (-\gamma t)+(At+B)(-\gamma )\exp (-\gamma t)}$

Las condiciones iniciales determinan los valores de las constantes A y B.

En la experiencia simulada, se desplaza el disco de cobre 150º, θ₀=5π/6 de la posición de equilibrio y se suelta, momento en el que empieza a contar el tiempo t=0.

θ₀=B
0=A-γB

Despejamos del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas A y B.

${\displaystyle \theta ={\theta }_0(\gamma t+1)\exp (-\gamma t)}$

El oscilador tiende a la posición de equilibrio θ=0, después de un tiempo t→∞, sin oscilar

Oscilación sobreamortiguada. γ>ω₀

La solución de la ecuación diferencial es

${\displaystyle \theta =(A\exp (-\beta t)+B\exp (\beta t))\exp (-\gamma t){\beta }^2={\gamma }^2-{\omega }_0^2}$

La velocidad angular de rotación dθ/dt es

$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{d\theta }{dt}=\left(-\beta A\exp (-\beta t)+\beta B\exp (\beta t)\right)\exp (-\gamma t)+ \\ \left(A\exp (-\beta t)+B\exp (\beta t)\right)(-\gamma )\exp (-\gamma t)} \end{gathered}$$

Las condiciones iniciales determinan los valores de las constantes A y B.

En la experiencia simulada, se desplaza el disco de cobre 150º, θ₀=5π/6 de la posición de equilibrio y se suelta, momento en el que empieza a contar el tiempo t=0.

θ₀=A+B
0=β(B-A)-γ(A+B)

Despejamos del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas A y B.

${\displaystyle \theta =\frac{{\theta }_0}{2}\left\{\left(1-\frac{\gamma }{\beta }\right)\exp (-\beta t)+\left(1+\frac{\gamma }{\beta }\right)\exp (\beta t)\right\}\exp (-\gamma t)}$

El oscilador tiende a la posición de equilibrio θ=0, después de un tiempo t→∞, sin oscilar.

intensidad=2;
gamma=1.396*intensidad^2;  %amortiguamiento
w0=pi;                  %frecuencia propia 
beta=sqrt(gamma^2-w0^2); 

phi_0=5*pi/6;           %ángulo inicial

t=linspace(0,10,200);
x=(phi_0/2)*((1-gamma/beta)*exp(-beta*t)
+(1+gamma/beta)*exp(beta*t)).*exp(-gamma*t);
plot(t,x);
grid on
set(gca,'YTick',0:pi/6:pi)
set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3','5\pi/6','\pi' })
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Oscilaciones sobreamortiguadas')

Actividades

Se introduce,

• La intensidad i de la corriente que pasa por la bobina, lo que equivale a una constante de amortiguamiento γ=1.396·i²

• La frecuencia propia o natural del oscilador se mantiene fija e igual a ω₀=π rad/s

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa las oscilaciones amortiguadas del péndulo de Pohl

Oscilaciones forzadas

En un oscilador amortiguado, la oscilación desaparece al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito. En esta sección se describe el mecanismo que permite mantener la oscilación.

Disponemos de un motor de velocidad angular variable ω_f. El eje M del motor está situado a una distancia horizontal c y vertical a del eje O del anillo de cobre donde situamos el origen. Una excéntrica de radio r=|MB| está unida a una biela AB. El extremo A de la biela de longitud b está unida a una varilla excitadora AP que puede girar alrededor del eje O. La distancia R=OA se puede modificar mediante un tornillo que sujeta el extremo A de la biela a una ranura existente en la varilla. Modificando R se modifica la amplitud de la fuerza oscilante.

Como el motor gira con velocidad angular constante, en un determinado instante el ángulo que forma la excéntrica con la horizontal θ=ω_f.·t. Dado el ángulo θ, calcularemos el ángulo φ, que forma la varilla con la vertical.

Sea α el ángulo que forma la biela con la horizontal,

R·cosφ-b·sinα=a-r·sinθ
R·sinφ+b·cosα=c+r·cosθ

Eliminamos el ángulo α de este sistema de dos ecuaciones

(Rcosφ-a+rsinθ)²+(c+rcosθ-Rsinφ)²=b²

y teniendo en cuenta que φ es un ángulo pequeño, por lo que sinφ≈φ y cosφ≈0

${\displaystyle \phi =\frac{R^2+r^2+a^2+c^2-b^2-2Ra+2Rr\text{sin}\theta -2ar\text{sin}\theta +2cr\cos \theta }{2cR+2rR\cos \theta }}$

En la figura, se muestra la gráfica del ángulo de la fuerza φ en función de θ, para los siguientes datos r=1.0, b=22.0, a=10.0, c=22.0,

• La curva roja se ha trazado para R=7.0

• La curva azul se ha trazado para R=12.0

r=1;
b=22;
a=10;
c=22;

theta=(0:360)*pi/180;
hold on;
for R=[7,12]
    phi=(R^2+r^2+a^2+c^2-b^2-2*R*a+2*R*r*sin(theta)
-2*a*r*sin(theta)+2*c*r*cos(theta)).
/(2*c*R+2*r*R*cos(theta));
    plot(theta,phi)
end
hold off
legend('7','12','location','southwest')
grid on
set(gca,'XTick',0:pi/6:2*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3'
,'5\pi/6','\pi','7\pi/6',
'4\pi/3','3\pi/2','5\pi/3','11\pi/6','2\pi'})
xlim([0,2*pi])
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Fuerza oscilante')

Ambas curvas difieren de un MAS, aunque pueden hacerse próximas a un MAS con una elección apropiada de los parámetros.

Como vemos en la figura, cambiando R, la distancia entre el eje de rotación del anillo de cobre O y el extremo A de la biela cambia la amplitud de la fuerza oscilante.

En la simulación supondremos que la fuerza oscilante produce un momento respecto del eje de rotación del anillo, descrito por la función armónica

M_f=M_0f·cos(ω_f·t)

siendo M_0f· la amplitud y ω_f la frecuencia angular.

La ecuación del movimiento del disco se escribe ahora

Iα=-kθ- λω+M_f

• α  es la aceleración angular del disco cuando el indicador del péndulo se encuentra en la posición angular θ.

• I es el momento de inercia del anillo respecto del eje de rotación

• k es la constante del muelle helicoidal

• λω es el momento de rozamiento proporcional a la velocidad angular ω de rotación, debidos a las corrientes de Foucault producidas en el disco de cobre por el campo magnético de la bobina.

• M_f es el momento de la fuerza oscilante producida por el motor respecto del eje de rotación O.

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\gamma \frac{d\theta }{dt}+{\omega }_0^2\theta =\frac{M_{0f}}{I}\text{cos(}{\omega }_{f}t){\omega }_{\text{0}}^{\text{2}}=\frac{k}{I}2\gamma =\frac{\lambda }{I}}$

• donde ω₀ es la frecuencia natural o propia del oscilador
• ω_f es la frecuencia angular del momento producido por la fuerza oscilante de amplitud M_0f
• γ es la constante de amortiguamiento, ${\gamma }^2<{\omega }_0^2$

Como mostramos en la página titulada “El estado transitorio y su evolución hacia el estado estacionario”, la solución de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales θ=0, y dθ/dt=0 en el instante t=0, el indicador del anillo parte del origen con velocidad angular inicial nula, es

${\displaystyle \theta =\frac{M_{0f}}{I\left({({\omega }_0^2-{\omega }_f^2)}^2+4{\gamma }^2{\omega }_f^2\right)}\left\{\begin{array}{l}({\omega }_0^2-{\omega }_f^2)\left(\cos ({\omega }_{f}t)-\exp (-\gamma t)\cos (\omega t)\right)+\\ 2\gamma {\omega }_f\left(\text{sin}({\omega }_{f}t)-\frac{{\omega }_0^2+{\omega }_f^2}{2\omega {\omega }_f}\exp (-\gamma t)\text{sin}(\omega t)\right)\end{array}\right\}}$

intensidad=0.3;
gamma=1.396*intensidad^2; %constante amortiguamiento
w0=pi;	%frecuencia propia
rFuerza=9;  %amplitud
frec=0.5; %frecuencia de la fuerza oscilante
wf=2*pi*frec;

A=((17.0-rFuerza)/10)/((w0^2-wf^2)*(w0^2-wf^2)+4*gamma^2*wf^2);
w=sqrt(w0^2-gamma^2);
t=linspace(0,20,400);
x=A*((w0^2-wf^2)*(cos(wf*t)-exp(-gamma*t).*cos(w*t))
+2*gamma*wf*(sin(wf*t)-((w0^2+wf^2)/(2*w*wf))*exp(-gamma*t).*sin(w*t)));
plot(t,x);
grid on
set(gca,'YTick',-pi:pi/6:pi)
set(gca,'YTickLabel',{'-\pi','-5\pi/6','-2\pi/3','-\pi/2'
,'-\pi/3','-\pi/6','0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3','5\pi/6','\pi' })
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Oscilaciones forzadas')

Actividades

Se introduce,

• La Intensidad i de la corriente que pasa por la bobina, lo que equivale a una constante de amortiguamiento γ=1.396·i²

• La frecuencia del momento de la fuerza oscilante f, en el control titulado Frecuencia fuerza, ω_f=2πf rad/s.

• La frecuencia propia o natural del oscilador se mantiene fija e igual a, f₀=0.5 Hz, ω₀=π rad/s

• La amplitud del momento de la fuerza oscilante M_0f/I, en el control titulado Amplitud.

Se pulsa el botón titulado Nuevo.