Transformada de Laplace

Las transformadas de Laplace se resumen en la siguiente tabla:

f(t) F(s)= 0 e st f(t)dt
c1f1(t)+c2f2(t) c1F1(s)+c2F2(s)
exp(a·t) 1 sa
cos(ωt) s s 2 + ω 2
sin(ωt) ω s 2 + ω 2
tn n! s n+1

exp(atf(t)

exp(at)·cos(ωt)

F(s-a)

sa (sa) 2 + ω 2

u(t-a) exp(-as)/s
u(t-af(t-a) exp(-asF(s)
δ(t-a) exp(-as)
f'(t) (derivada primera) s·F(s)-f(0)
f''(t) (derivada segunda) s2·F(s)-s·f(0)-s·f'(0)
g(t)= 0 t f(τ)dτ (integral) F(s)/s
f(t)=f(t+p), (función periódica) 1 1 e sp 0 p e st f(t)dt
f(at) 1 a F( s a )
tnf(t) ( 1 ) n d n d s n F(s)

Oscilaciones amortiguadas

Estudiamos la ecuación diferencial de segundo orden que describe el oscilador amortiguado, con las condiciones iniciales especificadas: en el instante t=0, la posición es es x0 y la velocidad es v0.

d 2 x d t 2 +2γ dx dt + ω 0 2 x=0 t=0{ x= x 0 dx dt = v 0

La transformada de Laplace de la ecuación diferencial es

d 2 x d t 2 +2γ dx dt + ω 0 2 x=0 t=0{ x= x 0 dx dt = v 0 ( s 2 F(s)s·x(0)x'(0) )+2γ( sF(s)x(0) )+ ω 0 2 F(s)=0 ( s 2 F(s)s· x 0 v 0 )+2γ( sF(s) x 0 )+ ω 0 2 F(s)=0 F(s)= s x 0 +2γ x 0 + v 0 ( s 2 +2γs+ ω 0 2 )

Escribimos F(s) de modo que se pueda aplicar la transformada inversa de Laplace ilaplace mirando directamente a la tabla de transformadas .

F(s)= x 0 (s+γ) (s+γ) 2 +( ω 0 2 γ 2 ) + ( γ x 0 + v 0 ) ω 0 2 γ 2 ω 0 2 γ 2 (s+γ) 2 +( ω 0 2 γ 2 ) x= x 0 e γt cos(ωt)+ ( γ x 0 + v 0 ) ω e γt sin(ωt) ω= ω 0 2 γ 2

Que es la misma solución que ya hemos obtenido anteriormente

Calculamos la transformada inversa de Laplace con MATLAB y representamos la solución de la ecuación diferencial para ω0=100 rad/s, γ=7s-1, y las condiciones iniciales x0=5 y v0=0.

>> clear
>> syms g w0 s x0 v0;
>> Fs=(s*x0+2*g*x0+v0)/(s^2+2*g*s+w0^2);
>> x=ilaplace(Fs);
>> xx=subs(x,{g w0 x0 v0},{7 100 5 0});
>> ezplot(xx,[0 0.3*pi])
>> ylim([-5 5])
>> grid on
>> title('oscilaciones amortiguadas')

Oscilaciones forzadas

Estudiamos la ecuación diferencial de segundo orden que describe el oscilador forzado, con las condiciones iniciales especificadas.

d 2 x d t 2 +2γ dx dt + ω 0 2 x= F m cos( ω f t) t=0{ x=0 dx dt =0

Supondremos que la amplitud de la fuerza oscilante F/m=1 y que ω0ωf .

La transformada de Laplace de la ecuación diferencial es

( s 2 F(s)s·x(0)x'(0) )+2γ( sF(s)x(0) )+ ω 0 2 F(s)= s s 2 + ω f 2 F(s)= s ( s 2 + ω f 2 )( s 2 +2γs+ ω 0 2 )

Escribimos F(s) como suma de fracciones más simples.

F(s)= s ( s 2 + ω f 2 )( (s+γ) 2 +( ω 0 2 γ 2 ) ) = As+B s 2 + ω f 2 + Cs+D (s+γ) 2 +( ω 0 2 γ 2 ) { A+C=0 2γA+B+D=0 ω 0 2 A+2γD+ ω f 2 C=1 ω 0 2 B+ ω f 2 D=0 A= ω 0 2 ω f 2 ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 B= 2γ ω f 2 ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 C= ω 0 2 ω f 2 ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 D= 2γ ω 0 2 ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2

Utilizamos MATLAB para resolver el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. En el código MATLAB llamamos

>> syms g w0 wf s;
>> A=[1 0 1 0; 2*g 1 0 1; w0^2 2*g wf^2 0; 0 w0^2 0 wf^2];
>> b=sym('[0;0;1;0]');
>> X=A\b
X =
  (w0^2 - wf^2)/(4*g^2*wf^2 + w0^4 - 2*w0^2*wf^2 + wf^4)
     (2*g*wf^2)/(4*g^2*wf^2 + w0^4 - 2*w0^2*wf^2 + wf^4)
 -(w0^2 - wf^2)/(4*g^2*wf^2 + w0^4 - 2*w0^2*wf^2 + wf^4)
    -(2*g*w0^2)/(4*g^2*wf^2 + w0^4 - 2*w0^2*wf^2 + wf^4)

Escribimos F(s) de modo que se pueda aplicar la transformada inversa de Laplace mirando directamente a la tabla de transformadas .

F(s)=A s s 2 + ω f 2 + B ω f 1 s 2 + ω f 2 + ( s+γ ) ( s+γ ) 2 +( ω 0 2 γ 2 ) + DCγ ω 0 2 γ 2 ω 0 2 γ 2 ( s+γ ) 2 +( ω 0 2 γ 2 ) x=Acos( ω f t )+ B ω f sin( ω f t )+C e γt cos( ωt )+ DCγ ω e γt sin( ωt ) ω= ω 0 2 γ 2

Los dos primeros términos describen el estado estacionario y los dos últimos el estado transitorio que desaparece al cabo de un tiempo teóricamente infinito al estar multiplicados por exp(-γt).

Calculamos la transformada inversa de Laplace con MATLAB y representamos la solución x de la ecuación diferencial para los valores γ=7, ω0=100 y ωf=120 y las condiciones iniciales x0=0 y v0=0.

>> syms g w0 wf s;
>> Fs=s/((s^2+wf^2)*(s^2+2*g*s+w0^2));
>> x=ilaplace(Fs);
>> xx=subs(x,{g w0 wf},{7 100 120});
>> ezplot(xx,[0 0.3*pi])