Oscilaciones forzadas de un péndulo

El centro de oscilación vibra horizontalmente

Supongamos un péndulo formado por una varilla inextensible y sin peso de longitud l, en cuyo extremo hay una partícula de masa m. El centro de oscilación describe un Movimiento Armónico Simple a lo largo del eje horizontal X con amplitud A y frecuencia angular ω, z(t)=Acos(ωt). Vamos a estudiar las oscilaciones forzadas de este sistema oscilante.

Establecemos un origen y unos ejes X e Y como se muestra en la figura. La posición de la partícula de masa m es

{ x=Acos( ωt )+lsinθ y=lcosθ

Derivando respecto del tiempo, obtenemos las componentes de la velocidad

{ dx dt =Aωsin( ωt )+lcosθ dθ dt dy dt =lsinθ dθ dt

La energía cinética es

T= 1 2 m( ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 )= 1 2 m( A 2 ω 2 sin 2 ( ωt )2lAωsin( ωt )cosθ dθ dt + l 2 ( dθ dt ) 2 )

La energía potencial de la masa m es mgy=-mglcosθ

La lagrangiana L=T-V es

L= 1 2 m( A 2 ω 2 sin 2 ( ωt )2lAωsin( ωt )cosθ dθ dt + l 2 ( dθ dt ) 2 )+mglcosθ L= 1 2 m( A 2 ω 2 sin 2 ( ωt )2lAωsin( ωt )cosθ· θ ˙ + l 2 θ ˙ 2 )+mglcosθ

Ecuación del movimiento

d dt ( L θ ˙ ) L θ =0 l d 2 θ d t 2 +gsinθA ω 2 cos( ωt )cosθ=0

Para resolver la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, despejamos la aceleración

d 2 θ d t 2 = A l ω 2 cos( ωt )cosθ ω 0 2 sinθ

Donde ω 0 2 =g/l es la frecuencia natural de las oscilaciones del péndulo. Resolvemos la ecuación diferencial con las siguientes condiciones iniciales t=0, θ=θ0, dθ/dt=0

Representamos la posición angular θ del péndulo en función del tiempo t para una frecuencia angular ω próxima a la de resonancia ω0=3.13 rad/s para un péndulo de longitud l=1 m

A=0.1; %amplitud de la oscilación del centro de oscilación
w=3; %frecuencia de oscilación delcentro de oscilación
L=1; %longitud del péndulo
w0=sqrt(9.8/L); %frecuencia natural

x0=[pi/6,0]; %condiciones iniciales
tspan=[0,30];
% x(1)=theta, x(2)=dtheta/dt,
fg=@(t,x)[x(2);A*w^2*cos(w*t)*cos(x(1))/L-w0^2*sin(x(1))];
[t,x]=ode45(fg,tspan,x0);
plot(t, x(:,1)) 
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Péndulo forzado')

Como caso particular, consideremos las oscilaciones de pequeña amplitud

d 2 θ d t 2 + ω 0 2 θ= A l ω 2 cos( ωt )

La solución particular de la ecuación diferencial es θ1= C1cos(ωt)+D1sin(ωt). Obtendremos los valores de C1 y D1 haciendo que θ1 cumpla la ecuación diferencial lineal completa

C 1 ω 2 cos(ωt) D 1 ω 2 sin(ωt)+ ω 0 2 ( C 1 cos(ωt)+ D 1 sin(ωt) )= A l ω 2 cos( ωt ) C 1 = A ω 2 l( ω 0 2 ω 2 ) D 1 =0

La solución de la ecuación diferencial homogénea para ωω0 es θ2= C2cos(ω0t)+D2sin(ω0t) donde C2 y D2 se determinan a partir de las condiciones iniciales

La solución completa es θ=θ1+θ2

θ= A ω 2 l( ω 0 2 ω 2 ) cos( ωt )+ C 2 cos( ω 0 t )+ D 2 sin( ω 0 t )

Cuando ω=ω0 la amplitud tiende a infinito. Sin embargo, tan pronto como la amplitud se hace grande la aproximación de oscilaciones de pequeña amplitud deja de cumplirse.

El centro de oscilación vibra verticalmente. El péndulo invertido

Supongamos un péndulo formado por una varilla inextensible y sin peso de longitud l, en cuyo extremo hay una partícula de masa m. El centro de oscilación describe un Movimiento Armónico Simple a lo largo del eje vertical Y con amplitud A y frecuencia angular ω, z(t)=Acos(ωt). Vamos a estudiar las oscilaciones forzadas de este sistema oscilante.

Establecemos un origen y unos ejes X e Y como se muestra en la figura. La posición de la partícula de masa m es

{ x=lsinθ y=Acos( ωt )+lcosθ

Derivando respecto del tiempo, obtenemos las componentes de la velocidad

{ dx dt =lcosθ dθ dt dy dt =Aωsin( ωt )lsinθ dθ dt

La energía cinética es

T= 1 2 m( ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 )= 1 2 m( A 2 ω 2 sin 2 ( ωt )+2lAωsin( ωt )sinθ dθ dt + l 2 ( dθ dt ) 2 )

La energía potencial de la masa m es mgy

V=mgAcos( ωt )+mglcosθ

La lagrangiana L=T-V es

L= 1 2 m( A 2 ω 2 sin 2 ( ωt )+2lAωsin( ωt )sinθ dθ dt + l 2 ( dθ dt ) 2 )mgAcos( ωt )mglcosθ L= 1 2 m( A 2 ω 2 sin 2 ( ωt )+2lAωsin( ωt )sinθ· θ ˙ + l 2 θ ˙ 2 )mgAcos( ωt )mglcosθ

Ecuación del movimiento

d dt ( L θ ˙ ) L θ =0 l d 2 θ d t 2 +sinθ( A ω 2 cos( ωt )g )=0

Para resolver la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, despejamos la aceleración

d 2 θ d t 2 =( ω 0 2 A l ω 2 cos( ωt ) )sinθ

Donde ω 0 2 =g/l es la frecuencia natural de las oscilaciones del péndulo. Resolvemos la ecuación diferencial con las siguientes condiciones iniciales t=0, θ=θ0, dθ/dt=0

Representamos la posición angular θ del péndulo en función del tiempo t para una frecuencia angular ω muy grande en comparación con la frecuencia natural ω0=3.13 rad/s para un péndulo de longitud l=1 m

A=0.005; %amplitud de la oscilación del centro de oscilación
w=1000; %frecuencia de oscilación del centro de oscilación
L=1; %longitud del péndulo
w0=sqrt(9.8/L); %frecuencia natural
x0=[0.1,0]; %condiciones iniciales
tspan=[0,8];
% x(1)=theta, x(2)=dtheta/dt,
fg=@(t,x)[x(2);(-A*w^2*cos(w*t)/L+w0^2)*sin(x(1))];
[t,x]=ode45(fg,tspan,x0);
plot(t, x(:,1)) 
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Péndulo invertido')

Si reducimos el tiempo de integración, cambiando la línea, tspan=[0,0.1]; veremos la oscilación del péndulo alrededor del valor medio, que se ha representado en la figura anterior

A=0.005; %amplitud de la oscilación del centro de oscilación
w=1000; %frecuencia de oscilación del centro de oscilación
L=1; %longitud del péndulo
w0=sqrt(9.8/L); %frecuencia natural
x0=[0.1,0]; %condiciones iniciales
tspan=[0,0.1];
% x(1)=theta, x(2)=dtheta/dt,
fg=@(t,x)[x(2);(-A*w^2*cos(w*t)/L+w0^2)*sin(x(1))];
[t,x]=ode45(fg,tspan,x0);
plot(t, x(:,1)) 
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Péndulo invertido')

El centro de oscilación describe un movimiento circular

Supongamos un péndulo formado por una varilla inextensible y sin peso de longitud l, en cuyo extremo hay una partícula de masa m. El centro de oscilación describe un movimiento circular uniforme de radio R y con velocidad angular Ω. Vamos a estudiar las oscilaciones forzadas de este sistema oscilante.

Establecemos un origen y unos ejes X e Y como se muestra en la figura. En un instante dado t la posición angular del centro de oscilación es Ωt y el péndulo se ha desviado θ de la vertical.

La posición de la partícula de masa m es

{ x=Rcos( Ωt )+lsinθ y=Rsin( Ωt )lcosθ

Derivando respecto del tiempo, obtenemos las componentes de la velocidad

{ dx dt =ΩRsin( Ωt )+lcosθ dθ dt dy dt =ΩRcos( Ωt )+lsinθ dθ dt

La energía cinética es

T= 1 2 m( ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 )= 1 2 m( Ω 2 R 2 +2RlΩsin( θΩt ) dθ dt + l 2 ( dθ dt ) 2 )

La energía potencial de la masa m es mgy

V=mg( Rsin( Ωt )lcosθ )

La lagrangiana L=T-V es

L= 1 2 m( Ω 2 R 2 +2RlΩsin( θΩt ) dθ dt + l 2 ( dθ dt ) 2 )mg( Rsin( Ωt )lcosθ ) L= 1 2 m( Ω 2 R 2 +2RlΩsin( θΩt ) θ ˙ + l 2 θ ˙ 2 )mg( Rsin( Ωt )lcosθ )

Ecuación del movimiento

d dt ( L θ ˙ ) L θ =0 l d 2 θ d t 2 +gsinθR Ω 2 cos( θΩt )=0

Para resolver la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, despejamos la aceleración

d 2 θ d t 2 = R l Ω 2 cos( θΩt ) ω 0 2 sinθ=0

Donde ω 0 2 =g/l es la frecuencia natural de las oscilaciones del péndulo. Resolvemos la ecuación diferencial con las siguientes condiciones iniciales t=0, θ=θ0, dθ/dt=0

Representamos la posición angular θ del péndulo en función del tiempo t para una velocidad angular de rotación Ω próxima a la frecuencia natural ω0=3.1 rad/s para un péndulo de longitud l=1 m

L=1; %longitud del péndulo
w0=sqrt(9.8/L); %frecuencia natural
R=0.15; %radio de la circunferencia
w=3.1; %velocidad angular de roatación
%condiciones iniciales
x0=[pi/4,0]; %condiciones iniciales
tspan=[0,20];
% x(1)=theta, x(2)=dtheta/dt,
fg=@(t,x)[x(2); R*w^2*cos(x(1)-w*t)/L-w0^2*sin(x(1))];
[t,x]=ode45(fg,tspan,x0);
plot(t,x(:,1)) 
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Péndulo rotación')

Actividades

En primer lugar, especificamos los parámetros del sistema

En segundo lugar, especificamos las condiciones iniciales

Si queremos ver la gráfica de la posición angular θ del péndulo, activamos la casilla titulada Gráfica