El columpio (I)

El columpio se utiliza de dos formas distintas:

Para explicar cualitativamente el funcionamiento de este columpio autopropulsado, supondremos que el centro de masas del niño repentinamente sube o baja en ciertas posiciones de la oscilación.

Se efectuará un análisis simplificado, en el que se considera al niño como una masa puntual situada en su centro de masas, que puede subir o bajar su c.m. una longitud δ mediante la acción de las fuerzas interiores. Se despreciará también el rozamiento del aire y en el eje del columpio.

Etapas del movimiento

En este apartado, haremos un análisis detallado de cada una de las etapas de un ciclo de las oscilaciones del columpio.

Primera etapa

El columpio sale de la posición θ0 con velocidad angular inicial nula ω=0. Llega a la posición de equilibrio θ=0, con una velocidad angular ω1, que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía.

1 2 (m d 2 ) ω 1 2 =mgd(1cos θ 0 )

donde md2 es el momento de inercia de una masa puntual m que dista d del eje de rotación O.

La energía total inicial es E1=mgd(1-cosθ0)

Segunda etapa

Cuando el columpio alcanza la posición de equilibrio θ=0, el niño sube su centro de masas (c.m.) una distancia δ. En ese preciso instante, el momento de las fuerzas que actúa sobre el columpio es cero (todas las fuerzas pasan por el origen O), el momento angular permanece constante.

dL dt =MM=0L=cte

La velocidad angular final ω2 aumenta al disminuir la distancia al eje de rotación.

ω 2 = d 2 ( dδ ) 2 ω 1

La energía total es

E 2 = 1 2 m ( dδ ) 2 ω 2 2 +mgδ

Balance energético

Calculamos en la posición de equilibrio θ=0, la energía inicial, la final y el trabajo que ejercen las fuerzas interiores para subir una altura δ el centro de masas del niño.

La energía inicial es

E i = 1 2 (m d 2 ) ω 1 2

La energía final es

E f = 1 2 m ( dδ ) 2 ω 2 2 +mgδ= 1 2 m d 4 ( dδ ) 2 ω 1 2 +mgδ

Para que el niño suba la posición de su centro de masas δ, ha de realizar un trabajo. Calculamos la fuerza F que han de ejercer sus músculos para que su c.m. describa un arco de circunferencia de radio x, aplicando la Dinámica del movimiento circular uniforme (fuerza=masa × aceleración normal)

F-mg=mω2x.

La constancia del momento angular en la posición de equilibrio θ=0 nos proporciona el valor de la velocidad angular ω cuando el c.m. está a una distancia x del eje de rotación O

md2·ω1= mx2·ω

La fuerza F tiene el mismo sentido que el desplazamiento, el trabajo es positivo

W= d dδ (F)·dx= d dδ (mg+m ω 2 x)·dx =mgδ+ 1 2 m d 4 ( dδ ) 2 ω 1 2 1 2 m d 4 ω 1 2

Tercera etapa

Tenemos ahora la situación opuesta a la primera etapa, el columpio con una velocidad angular inicial ω2 en la posición θ=0, alcanza un máximo desplazamiento angular θ1. Aplicando el principio de conservación de la energía

mg(dδ)(1cos θ 1 )= 1 2 m ( dδ ) 2 ω 2 2

El ángulo máximo θ1 que se desvía el columpio es, combinado las expresiones anteriores

sin θ 1 2 = ( d dδ ) 3/2 sin θ 0 2

como d>(d-δ) resulta que θ1>θ0

La energía total es

E2=mg(d-δ)(1-cosθ1)+mgδ=mgd(1-cosθ1)+mgδcosθ1

Cuarta etapa

En la posición angular de desviación máxima θ1, la velocidad angular ω=0. El niño baja la posición de su centro de masas en δ.

El único cambio que experimenta el sistema es una disminución de la energía potencial a cuenta del trabajo de las fuerzas internas. Poniendo en el eje O en nivel cero de la energía potencial.

ΔEp=-mgdcosθ1+mg(d-δ)cosθ1= -mgδcosθ1

La energía total es

E3=mgd(1-cosθ1)

Quinta etapa

Es similar a la primera etapa, el columpio se mueve hacia la posición de equilibrio estable θ=0, que alcanza con una velocidad angular ω3. Aplicando el principio de conservación de la energía

1 2 (m d 2 ) ω 3 2 =mgd(1cos θ 1 )

La energía total es E3

Sexta etapa

La sexta etapa es similar a la segunda etapa. En la posición de equilibrio estable, el centro de masas sube una altura δ. La velocidad angular se incrementa de nuevo de ω3 a ω4. La constancia del momento angular en la posición de equilibrio estable θ=0, nos proporciona el valor de la velocidad angular final ω4.

ω 4 = d 2 ( dδ ) 2 ω 3

La energía total es

E 4 = 1 2 m ( dδ ) 2 ω 4 2 +mgδ

Séptima etapa

La séptima etapa es similar a la tercera etapa. El columpio parte de la posición de equilibrio estable θ=0, con una velocidad angular inicial ω4, alcanzando un desplazamiento máximo θ2 que se obtiene aplicando el principio de conservación de la energía

mg(dδ)(1cos θ 2 )= 1 2 m ( dδ ) 2 ω 4 2

Como ω4> ω3 el máximo desplazamiento θ2 > θ1

Relacionamos ambos desplazamientos mediante la fórmula

sin θ 2 2 = ( d dδ ) 3/2 sin θ 1 2

La energía total es

E4=mg(d-δ)(1-cosθ2)+mgδ=mgd(1-cosθ2)+mgδcosθ2

Octava etapa

En la posición de máximo desplazamiento θ2, ω=0, el centro de masa baja δ, con lo que se completa el primer ciclo de las oscilaciones del columpio.

La energía total es

E5=mgd(1-cosθ2)

Ecuaciones del movimiento del columpio entre las posiciones media y extremas

La ecuación del movimiento del columpio entre la posiciones extremas θi (i=0, 1, 2,3..) y la posición de equilibrio estable θ=0, es la misma que la de un péndulo de longitud l=d, l=d-δ, dependiendo de la distancia entre el c.m. y el eje O del columpio.

El momento angular de una partícula de masa m respecto del origen O es el producto del momento de inercia ml2 por la velocidad angular ω, L=ml2·ω

El momento M de las fuerzas que actúan sobre la partícula respecto del origen O es

M=-mglsinθ

La ecuación del movimiento es dL/dt=M se escribe en forma de ecuación diferencial

d 2 θ dt + g l sinθ=0

Se resuelve mediante procedimientos numéricos, con las condiciones iniciales que dependen de cada etapa del movimiento:

Resumiendo

Ejemplo

En la figura se muestra un ciclo completo de operación del columpio

1.-La energía inicial es E1=mgd(1-cosθ0)=m·9.8·1.0·(1-cos10º)=0.15·m

2.-Se aplica el principio de conservación de la energía. La velocidad angular ω1 en la posición de equilibrio es

1 2 (m· 1 2 ) ω 1 2 =m·9.8·1(1cos10º) ω 1 =0.55rad/s

La energía E2=E1

3.-El centro de masa asciende, se conserva el momento angular

md2·ω1=m(d-δ)2·ω2, ω2 =0.62 rad/s

La energía total es

E 3 = 1 2 m (10.06) 2 0.62 2 +m·9.8·0.06=0.76·m

4.-La energía cinética se convierte en energía potencial, el columpio se desvía un ángulo θ1

m·9.8(10.06)(1cos θ 1 )= 1 2 m (10.06) 2 0.62 2 θ 1 =11º

La energía E4=E3

5.-El centro de masas desciende, la energía total es

E5=m9.8·1(1-cos11º)=0.18·m

6.-Se aplica el principio de conservación de la energía. La velocidad angular ω3 en la posición de equilibrio es

1 2 (m· 1 2 ) ω 3 2 =m·9.8·1(1cos11º) ω 3 =0.60rad/s

La energía E6=E5

7.-El centro de masa asciende, se conserva el momento angular

md2·ω3=m(d-δ)2·ω4, ω4 =0.68 rad/s

La energía total es

E 7 = 1 2 m (10.06) 2 0.68 2 +m·9.8·0.06=0.79·m

8.-La energía cinética se convierte en energía potencial, el columpio se desvía un ángulo θ2

m·9.8(10.06)(1cos θ 2 )= 1 2 m (10.06) 2 0.68 2 θ 2 =12º

La energía E8=E7

9.-El centro de masas desciende, la energía total es

E9=m9.8·1(1-cos12º)=0.22·m

10.-Comienza un nuevo ciclo.

Los desplazamientos máximos se pueden calcular mediante las fórmulas

sin θ 1 2 = ( d dδ ) 3/2 sin θ 0 2 sin θ 1 2 = ( 1.0 1.00.06 ) 3/2 sin 10º 2 θ 1 =11º

Aplicamos la misma fórmula para calcular el desplazamiento máximo θ2, conocido θ1.

sin θ 2 2 = ( d dδ ) 3/2 sin θ 1 2 sin θ 2 2 = ( 1.0 1.00.06 ) 3/2 sin 11º 2 θ 2 =12º

y así sucesivamente...

clear
fi=10*pi/180;  %ángulo inicial de partida
delta=0.06;   %desplazamiento del c.m.
d=1;           %longitud del columpio
e=zeros(0,40);
angulo=zeros(0,20);
E=9.8*d*(1-cos(fi));  %energía inicial
e(1)=E;
angulo(1)=fi*180/pi;
for i=1:20
  E=E*(d/(d-delta))^2+9.8*delta; %energía al pasar por la posición fi=0
  e(2*i)=E;
  fi=2*asin((d/(d-delta))^(3/2)*sin(fi/2)) %desplazamiento angular máximo
  angulo(i+1)=fi*180/pi;
  if fi>pi/3 %no supera los 60º
      break
  end
  E=9.8*d*(1-cos(fi)); %energía final en los extremos
  e(2*i+1)=E;
end
subplot(2,1,1)
stem(e)
grid on
ylabel('energía')
subplot(2,1,2)
stem(angulo)
ylabel('ángulo')

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento del columpio, y el cambio de posición del c.m. del niño representado por un punto de color rojo, cuando el columpio pasa por las posiciones de máximo desplazamiento ω=0, por la posición de equilibrio estable θ=0.

En la parte derecha, se muestra la energía total del columpio. El nivel cero de energía potencial se ha establecido en la parte más baja de la trayectoria del c.m, es decir, en la posición del c.m. cuando el columpio está en equilibrio θ0=0. Observamos dónde cambia la energía total, dónde se conserva, transformándose la energía potencial en cinética y viceversa.

Cuando el columpio se desvía un ángulo mayor que 60º, se detiene


Referencias

Tea P., Falk H. Pumping on a swing. Am. J. Phys. 36 (1968) 1165-1166