Una varilla con una fuente de calor en su extremo

El extremo libre de una varilla metálica de longitud L, está a una temperatura fija T0, por ejemplo, la de un baño que contenga una mezcla de hielo y agua. En el otro extremo, hay una fuente de calor de potencia dQ/dt watios. En un punto x de la varilla se coloca un termómetro. Cuando se conecta la fuente de calor, observamos como la temperatura en dicho punto, va creciendo hasta que toma un valor constante T después de cierto tiempo, teóricamente infinito. Se ha establecido el estado estacionario.

Retiramos la fuente de calor, los dos extremos de la varilla x=0, y x=L están a la temperatura fija T0 del baño. Observamos como la temperatura de dicho punto de la varilla va descendiendo hasta que alcanza la temperatura T0 de baño al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito.

Se conecta la fuente de calor

El estado estacionario

La ecuación diferencial que describe la conducción térmica

T t =α 2 T x 2 α= K ρc

En el estado estacionario la temperatura de los puntos de la varilla no cambia con el tiempo, ∂T/∂t=0, ∂T/∂x es constante, de acuerdo a la ley de Fourier

T x = Q ˙ SK Q ˙ = dQ dt

El signo menos indica que la temperatura disminuye a lo largo de la varilla: el foco caliente está en x=0, y el foco frío en x=L.

En el estado estacionario t→∞

L x Q ˙ KS dx = T 0 T dT T(x,)= T 0 + Q ˙ KS (Lx)

Conociendo la potencia de la fuente de calor, la temperatura fija T0 del extremo x=L y la temperatura T de dicho punto x de la varilla determinamos el coeficiente K de conductividad térmica.

Ejemplo:

El termómetro se coloca en la posición x=3 cm, y mide una temperatura máxima de T=53.6º C un tiempo suficientemente grande después de haber conectado la fuente de calor.

53.6=0+ 4 K(π· 0.005 2 ) (0.250.03)K=209.0W/(m·K)

Conducción del calor a lo largo de la varilla

Vamos a resolver la ecuación de la conducción del calor

1 α T t = 2 T x 2 0<x<Lt>0

con las condiciones de contorno

T(x,t) x | x=0 = Q ˙ SK T(L,t)= T 0

y la condición inicial T(x,0)=T0

Definimos la función u(x,t)=T(x,t)-T(x,∞), en términos de esta nueva función, la ecuación de la conducción del calor, las condiciones de contorno en x=0 y en x=L y la condición inicial en el instante t=0, se escriben

1 α u t = 2 u x 2 0<x<Lt>0 ·contorno u(x,t) x | x=0 =0u(L,t)=0 ·inicialu(x,0)= Q ˙ KS (Lx)

Buscamos una solución de la forma u(x, t)=F(xG(t), variables separadas

1 α 1 G(t) dG(t) dt = 1 F(x) d 2 F(x) d x 2 = ω 2

Integramos la primera ecuación diferencial

dG(t) dt +α ω 2 G(t)=0 G(t)=G(0)·exp( α ω 2 t )

Integramos la segunda ecuación diferencial

d 2 F(x) d x 2 + ω 2 F(x)=0

Es una ecuación diferencial similar a la de un Movimiento Armónico Simple, cuya solución es F(x)=Acos(ωx)+Bsin(ωx)

Condiciones de contorno

La solución completa u(x,t) es la superposición de los productos de las funciones Fn(xGn(x) para cada ωn=nπ/L

u(x,t)= n=1 A n cos( ω n x )exp( α ω n 2 t )

Condición inicial

Solamente, queda por determinar los coeficientes An, identificando la solución para t=0 con la condición inicial u(x,0)

u(x,0) = n=1 A n cos( 2n1 2 π x L ) u(x,0) = Q ˙ KS (Lx)

Multiplicamos ambos miembros por cos((2m-1)πx/(2L)) e integramos entre 0 y L

0 L u(x,0) cos( 2m1 2 π x L )dx = n=1 A n 0 L cos( 2n1 2 π x L )cos( 2m1 2 π x L ) dx

Calculamos la integral de la derecha, haciendo el cambio de variable zx/L, dz= πdx/L

0 L cos( 2n1 2 π x L )cos( 2m1 2 π x L ) dx= L π 0 π cos( 2n1 2 z )cos( 2m1 2 z ) dz

Integramos dos veces por partes. Comprobamos que la integral es cero cuando m es distinto de n

( 1 ( 2n1 2m1 ) 2 ) 0 π cos( 2n1 2 z )cos( 2m1 2 z ) dz= 2 2m1 sin( 2m1 2 z )cos( 2n1 2 z ) 2(2n1) 2m1 cos( 2m1 2 z )sin( 2n1 2 z ) | 0 π =0

Cuando m=n, calculamos la integral

L π 0 π cos 2 ( 2n1 2 z ) dz= L 2π 0 π ( 1+cos( (2n1)z ) ) dz= L 2

Calculamos la integral del miembro izquierdo

0 L u(x,0) cos( 2m1 2 π x L )dx = Q ˙ KS ( L 0 L cos( 2n1 2 π x L )dx 0 L xcos( 2n1 2 π x L )dx )= Q ˙ KS ( 2L (2n1)π ) 2

Despejamos el coeficiente An

A n = Q ˙ L KS 8 ( 2n1 ) 2 π 2

Solución completa

La temperatura en cualquier punto de la varilla x, en un instante t, se compone de la suma de un término proporcional a x y de una serie rápidamente convergente que describe el estado transitorio.

u(x,t)= Q ˙ L KS 8 π 2 n=1 1 ( 2n1 ) 2 cos( 2n1 2 π x L )exp( α (2n1) 2 π 2 4 L 2 t ) T(x,t)=u(x,t)+T(x,)= T 0 + Q ˙ L KS { 1 x L 8 π 2 n=1 1 ( 2n1 ) 2 cos( 2n1 2 π x L )exp( α (2n1) 2 π 2 4 L 2 t ) }

La temperatura en un punto x, alcanza al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito, un valor constante.

T(x,)= T 0 + Q ˙ KS (Lx)

Creamos la función temperatura_2, que admite como parámetros: la potencia de la fuente de calor en W, las temperatura inicial y fija en el extremo derecho, T0, la longitud L de la varilla, el radio R de su sección circular, el parámetro 1/α, la conductividad térmica K y el tiempo t en el que queremos calcular la distribución de temperaturas en la varilla. Devuelve un vector x de puntos a lo largo de la varilla y sus correspondientes temperturas en un vector T.

function [x,T]=temperatura_2(W,T0,L,R,a2,K,t)
   x=linspace(eps,L,100);
   T=zeros(length(x),1);
   if(t==0)
       T=T0;
       return;
   end  
   T=T0+W*(L-x)/(K*pi*R*R);
   n=0;
   v=1;
   cte=pi*pi/(4*a2*L*L);
   factor=8*W*L/(K*pi*R*R*pi*pi);
   while(v>0.01)
        n=n+1;
        v=exp(-cte*(2*n-1)^2*t);
        T=T-factor*v*cos(pi*(2*n-1)*x/(2*L))/(2*n-1)^2;
   end
end    

Una serie infinita tenemos que interrumpirla en algún término de acuerdo con algún criterio. Un posible criterio sería que la exponencial sea menor que un valor prefijado, por ejemplo 0.01.

Creamos un script que establece:

Define el vector de los instantes t, en segundos, en el que queremos representar la distribución de temperaturas a lo largo de la varilla.

W=400; %Potencia de la fuente de calor, (W)
T0=0; %Temperatura inicial y fija en el extremo derecho
rho=2700; %Densidad 
c=880; %calor especĂ­fico
K=203.9; %Conductividad térmica
alfa=rho*c/K;
L=0.5; % longitud de la varilla
R=0.05; % radio de la varilla

hold on
axis([0 L -5 125]);
for t=[20 100 200 500 3000]
    [x,T]=temperatura_2(W,T0,L,R,alfa,K,t);
    plot(x,T,'displayName',num2str(t));
end
title('Evolución de la temperatura de una varilla')
xlabel('x')
ylabel('T')
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
grid on
hold off  

Se desconecta la fuente de calor

Se desconecta la fuente de calor, ponemos el reloj a cero, t=0.

La ecuación que describe la conducción del calor es

1 α T t = 2 T x 2 0<x<Lt>0

Las condiciones de contorno son las siguientes: el extremo izquierdo x=0 está aislado y el extremo derecho x=L se mantiene a temperatura fija T0

T(x,t) x | x=0 =0T(L,t)= T 0

La temperatura inicial en los puntos de la varilla es la del estado estacionario de la etapa anterior

T(x,0)= T 0 + Q ˙ KS (Lx)

El estado estacionario se alcanza después de un tiempo infinito. Todos los puntos de la varilla tienen la misma temperatura del baño situado en el extremo derecho de la varilla T(x,∞)=T0.

Definimos la función u(x,t)=T(x,t)-T(x,∞), en términos de esta nueva función, la ecuación de la conducción del calor, las condición inicial en el instante t=0, y las condiciones de contorno en x=0 y en x=L se escriben

1 α u t = 2 u x 2 0<x<Lt>0 ·contorno u(x,t) x | x=0 =0u(L,t)=0 ·inicialu(x,0)= Q ˙ KS (Lx)

Solución completa

Tenemos las mismas condiciones de contorno que en el ejemplo anterior y la misma condición inicial salvo el signo. La solución de la ecuación de la conducción del calor u(x,t) es idéntica salvo el signo que la precede

u(x,t)= Q ˙ L KS 8 π 2 n=1 1 ( 2n1 ) 2 cos( 2n1 2 π x L )exp( α (2n1) 2 π 2 4 L 2 t ) T(x,t)=u(x,t)+T(x,)= T 0 + Q ˙ L KS 8 π 2 n=1 1 ( 2n1 ) 2 cos( 2n1 2 π x L )exp( α (2n1) 2 π 2 4 L 2 t )

La temperatura en cualquier punto x a lo largo de la varilla, en un instante determinado, T(x, t) es una combinación de dos términos, la que corresponde al régimen permanente T(∞, x) más la que corresponde al régimen transitorio.

En la figura se muestra, cómo la temperatura de un punto x de la varilla, va disminuyendo con el tiempo hasta que alcanza la temperatura del baño térmico T0.

Creamos la función temperatura_3, casi idéntica a temperatura_2. Se señalan en negrita los cambios introducidos

function [x,T]=temperatura_3(W,T0,L,R,a2,K,t)
   x=linspace(eps,L,100);
   T=zeros(length(x),1);
   if(t==0)
       T=T0;
       return;
   end  
   T=T0; 
   n=0;
   v=1;
   cte=pi*pi/(4*a2*L*L);
   factor=8*W*L/(K*pi*R*R*pi*pi);
   while(v>0.01)
        n=n+1;
        v=exp(-cte*(2*n-1)^2*t);
        T=T+factor*v*cos(pi*(2*n-1)*x/(2*L))/(2*n-1)^2;
   end
end

Añadimos los siguientes líneas de código al script anterior

....
figure
hold on
axis([0 L -5 125]);
for t=[1 100 200 500 3000]
    [x,T]=temperatura_3(W,T0,L,R,alfa,K,t);
    plot(x,T,'displayName',num2str(t));
end
title('Evolución de la temperatura de una varilla')
xlabel('x')
ylabel('T')
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
grid on
hold off

Referencias

Fox J. N., McMaster R. H., Measurement of the thermal properties of a metal using a relaxation method. Am. J. Phys. 43 (12) December 1975, pp. 1083-1086