Medida de la difusividad térmica
El dispositivo experimental se muestra en la figura. Se establece un gradiente de temperatura poniendo en contacto la parte inferior de la muestra de altura L y espesor w con un recipiente a 0°C que contiene una mezcla de hielo y agua. La parte superior y lateral de la muestra se suponen aisladas.
El gradiente térmico produce un cambio en el índice de refracción de la muestra ya que el índice de refracción depende de la temperatura. Supondremos que α y dn/dT son constantes para el material empleado y para el intervalo de temperaturas a que están sometidos los distintos puntos de la muestra
Un haz laser incide sobre una muestra a una distancia y de la parte inferior. Debido a que el índice de refracción varía con la altura n(y) se desvía describiendo un arco de circunferencia de radio ρ dentro de la muestra, impactando a una altura h en una pantalla distante d de la muestra
En la página titulada 'Propagación en un medio no homogéneo (I)' estudiamos que, si en índice de refracción varía solamente con la altura, n(y) entonces.
Integrando esta ecuación diferencial con la condición inicial
Obtuvimos
En este caso la incidencia es normal, θ0=0.
El radio de curvatura se calcula mediante la fórmula.
En el que hemos despreciado el término (dy/dx)2 frente a la unidad.

Dentro de la muestra, el haz de luz describe un arco de circunferencia de radio ρ y de longitud, aproximadamente, igual a w, el espesor de la muestra. El ángulo θ1≈w/ρ=w(dn/dy)/n.
Aplicando la ley de la refracción en la superficie de separación de la muestra y el aire
nsinθ1=1·sinθ2
En la figura, más arriba, vemos que tanθ2=h/d. Cuando los ángulos son pequeños tanθ≈sinθ≈θ, por lo que la ley de la refracción, nθ1≈θ2. Despejamos la desviación h, posición del punto de impacto del haz con la pantalla
Conducción del calor en una varilla
En este apartado estudiamos la distribución de temperaturas de la muestra en el instante t, después de haber puesto en contacto la muestra a temperatura ambiente T0 con el baño a la temperatura Ta=0°C
Supongamos una varilla de longitud L, cuya temperatura inicial es T0, uno de sus extremos x=0, se mantiene a temperatura constante Ta y el otro extremo x=L está aislado.
Para calcular la temperatura T(x,t) en un punto x de la varilla y en un instante t, resolvemos la ecuación de la conducción del calor
La condición de contorno en el extremo izquierdo x=0, es T(0,t)=Ta
La condición de contorno en el extremo derecho x=L, es
La condición inicial, es la de una varilla a temperatura uniforme T(x,0)=T0
El estado estacionario
Al cabo de cierto tiempo, teóricamente infinito, que en la práctica depende del tipo de material que empleamos, se establece un estado estacionario en el que la temperatura de cada punto de la varilla no varía con el tiempo.
donde A y B se determinan a partir de las condiciones de contorno en x=0
T(0)=Ta. El coeficiente B=Ta
En x=L, la barra está aislada, la derivada respecto de x es nula, por lo que A=0
La temperatura en el estado estacionario es igual a la del baño, T(x,∞)=Ta
Solución de la ecuación de la conducción del calor
Definimos la función u(x,t)=T(x,t)-T(x,∞), en términos de esta nueva función, la ecuación de la conducción del calor se escibe,
Condición inicial
u(x,0)=T(x,0)-T(x,∞)=T0-Ta
Condiciones de contorno
En el extremo izquierdo, x=0
u(0,t)=T(0,t)-T(0,∞)=Ta-Ta=0
En el extremo derecho, x=L
Variables separadas
Buscamos una solución de la forma u(x, t)=F(x)·G(t), variables separadas
Integramos la primera ecuación diferencial
Integramos la segunda ecuación diferencial
Es una ecuación diferencial similar a la de un Movimiento Armónico Simple, cuya solución es F(x)=Asin(ωx)+Bcos(ωx)
Solución general
-
En el extremo izquierdo de la varilla x=0, u(0, t)=0, F(0)=0, por lo que B=0. F(x)=Asin(ωx)
-
En el extremo derecho de la varilla x=L, la derivada F(x) debe cumplir que, Aωcos(ωL)=0, por lo que k=ωL=(2n+1)π/2, n=0,1,2,3...
La solución completa u(x,t) es la superposición
Coeficientes An
Solamente, queda por determinar los coeficientes An, identificando la solución para t=0 con la condición inicial u(x,0)
Teniendo en cuenta la relación de ortogonalidad
Obtenemos los coeficientes An
Teniendo en cuenta el valor de kn=(2n+1)π/2
Solución completa
La solución completa es
Cambiando la variable x por y
Ejemplo
Sea una muestra de longitud L= 8 cm, la temperatura inicial es T0=22°C, la temperatura del baño térmico y=0, es Ta=0°C. La difusividad térmica de la muestra es α=1.06·10-7 m2/s
Representamos la evolución de la temperatura de la muestra con el tiempo t en minutos en las posiciones y=0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 y 3 cm
function difusividad alfa=1.06e-7; %difusividad térmica L=8; %altura del recipiente en cm T0=22; %temperatura inicial de la muestra Ta=0; %temperatura del baño térmico, x=0 hold on for yHaz=0.5:0.5:3 %altura del haz y fplot(@(t) temperatura(yHaz, t), [0,25],'displayName',num2str(yHaz)) end hold off grid on xlabel('t(min)') ylabel('T') legend('-DynamicLegend','location','best') title('Evolución de las temperaturas') function T=temperatura(y,t) suma=0; for n=0:500 suma=suma+sin((2*n+1)*pi*y/(2*L))*exp(-alfa*((2*n+1)*pi*100 /(2*L))^2*t*60)/((2*n+1)*pi); end T=suma*4*(T0-Ta); end end
Cuando el tiempo es próximo a cero, hemos de sumar muchos términos a la serie, cuando el tiempo es grande bastan unos pocos términos
Al estar el extremo y=L aislado, los cambios significativos de temperatura se producen en las proximidades de y=0.
Gradiente térmico
Para calcular la desviación h del haz laser en la pantalla, precisamos la derivada dT/dy (gradiente térmico)
Representamos la evolución del gradiente térmico dT(y,t)/dy de la muestra con el tiempo t en minutos en las mismas posiciones y=0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 y 3 cm
function difusividad_4 alfa=1.06e-7; %difusividad térmica L=8; %altura del recipiente en cm T0=22; %temperatura inicial de la muestra Ta=0; %temperatura del baño térmico, x=0 hold on for yHaz=0.5:0.5:3 %altura del haz y fplot(@(t) gradiente(yHaz, t), [0,25],'displayName',num2str(yHaz)) end hold off grid on ylim([-1,25]) legend('-DynamicLegend','location','best') xlabel('t(min)') ylabel('dT(y,t)/dy') title('Gradiente térmico') function dT=gradiente(y,t) suma=0; for n=0:500 suma=suma+cos((2*n+1)*pi*y/(2*L))*exp(-alfa*((2*n+1)*pi* 100/(2*L))^2*t*60); end dT=suma*2*(T0-Ta)/L; end end
El gradiente térmico es acusado para las posiciones cercanas al baño térmico y=0, a 0°C,
Posición del haz sobre la pantalla
Representamos la posición h del haz sobre la pantalla.
Los datos son
- Dimensiones de la muestra: altura L= 8 cm, espesor w=6 cm
- Temperatura inicial T0=22°C, temperatura del baño térmico, y=0, Ta=0°C
- La difusividad térmica de la muestra es α=1.06·10-7 m2/s
- El gradiente supuesto constante, dn/dT=1.2·10-4 1/K
- La distancia de la muestra a la pantalla, d=9.76 m
- Altura del haz laser, y=0.9 cm
function difusividad_5 alfa=1.06e-7; %difusividad térmica grad_n=1.2e-4; %gradiente dn/dT L=8; %altura del recipiente en cm espesor=6; %espesor de la muestra en cm d=9.76; %distancia a la pantalla T0=22; %temperatura inicial de la muestra Ta=0; %temperatura del baño térmico, x=0 yHaz=0.6; %altura del haz fplot(@(t) fAltura(t), [0.1,25]) grid on xlabel('t(min)') ylabel('h(cm)') title('Posición del haz sobre la pantalla') function h=fAltura(t) suma=0; for n=0:100 suma=suma+cos((2*n+1)*pi*yHaz/(2*L))*exp(-alfa*((2*n+1)*pi* 100/(2*L))^2*t*60); end h=espesor*d*grad_n*suma*2*(T0-Ta)*100/L; end end
Determinación de la difusividad térmica
En la experiencia real, a partir de las medidas de las alturas h del haz en varios instantes de tiempo, se ajusta a dichos datos la función h(t) que depende de dos parámetros α y dn/dT. De este modo, se determina la difusividad térmica α=K/(ρc) de un material
Para ilustrar este procedimiento, generamos los datos de la experiencia simulada, tomando las alturas del haz a intervalos de un minuto y los guardamos en una tabla.
function difusividad_6 alfa=1.06e-7; %difusividad térmica grad_n=1.2e-4; %gradiente dn/dT L=8; %altura del recipiente en cm espesor=6; %espesor de la muestra en cm d=9.76; %distancia a la pantalla T0=22; %temperatura inicial de la muestra Ta=0; %temperatura del baño térmico, x=0 yHaz=0.6; %altura del haz t=1:25; %tiempo en minutos disp([t;fAltura(t)]) %tabla de datos 'experimentales' function h=fAltura(t) suma=0; for n=0:100 suma=suma+cos((2*n+1)*pi*yHaz/(2*L))*exp(-alfa*((2*n+1)* pi*100/(2*L))^2*t*60); end h=espesor*d*grad_n*suma*2*(T0-Ta)*100/L; end end
t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 8.40 | 12.05 | 12.45 | 12.14 | 11.65 | 11.15 | 10.67 | 10.24 | 9.85 | 9.49 | 9.16 | 8.87 | 8.60 | 8.35 |
t | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 8.12 | 7.91 | 7.71 | 7.53 | 7.36 | 7.20 | 7.05 | 6.91 | 6.78 | 6.65 | 6.53 |
En el código, la difusividad térmica α es
function difusividad_3 t=1:25; y=[8.40, 12.05, 12.45, 12.14, 11.65, 11.15, 10.67, 10.24, 9.85, 9.49, 9.16, 8.87, 8.60, 8.35, 8.12, 7.91, 7.71, 7.53, 7.36, 7.20, 7.05, 6.91, 6.78, 6.65, 6.53]; hold on plot(t,y,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r') L=8; %altura del recipiente en cm espesor=6; %espesor de la muestra en cm d=9.76; %distancia a la pantalla T0=22; %temperatura inicial de la muestra Ta=0; %temperatura del baño térmico, x=0 yHaz=0.6; %altura del haz f=@(a,t) fAltura(a,t); error=@(a) sum((y-f(a,t)).^2); a0=[1e-7,1e-4]; %valor inicial af=fminsearch(error,a0); disp(af) g=@(t) fAltura(af,t); fplot(g,[0.1,25]) hold off grid on xlabel('t(min)') ylabel('h(cm)') title('Posición del haz sobre la pantalla') function h=fAltura(a, t) suma=0; for n=0:100 suma=suma+cos((2*n+1)*pi*yHaz/(2*L))*exp(-a(1)*((2*n+1)*pi*100 /(2*L))^2*t*60); end h=espesor*d*a(2)*suma*2*(T0-Ta)*100/L; end end
1.0e-03 * 0.0001 0.1200
El valor de la difusividad térmica,
Actividades
Se introduce
- La muestra entre dos posibles, en el control titulado Muestra
- α=1.06·10-7 m2/s, dn/dT=1.2·10-4 1/K
- α=9.4·10-7 m2/s, dn/dT=2.4·10-4 1/K
- La altura y del haz, en el control titulado Altura haz
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se observa la posición del haz h en cm (punto de color amarillo), sobre la pantalla (franja vertical de color negro) en función del tiempo t en minutos
Se representa gráficamente h en función de t
Referencias
Jed Brody, Phillip Andreae, C. Andrew Robinson. A simple optical probe of transient heat conduction. Am. J. Phys. 78 (5), May 2010. pp. 529-531
Wen-Tang Lee, Fong-Feng Lin, Yu-You Lou. A novel method to measure the thermal diffusivity of transparent materials. Phys. Educ. 57 (2022) 055015