Se calienta el extremo de una barra de cobre de L=50 cm de longitud de forma periódica con un soldador conectado a un reloj. Después de comenzar el experimento, se deja pasar cierto tiempo hasta que se alcanza un estado de equilibrio dinámico en el que las temperaturas de cada punto de la barra oscilan alrededor de sus valores medios.

Se miden las temperaturas en dos puntos situados a una distancia x₁ y x₂ del origen de la barra. La relación entre las amplitudes de la oscilación térmica nos va proporcionar el valor del coeficiente de amortiguamiento y la diferencia de fase, la velocidad de propagación de las ondas térmicas en la barra. La relación entre estos dos parámetros nos proporciona el coeficiente α de la ecuación que describe la conducción térmica.

${\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}\alpha =\frac{K}{\rho c}}$

donde α es un coeficiente que depende de la densidad ρ, calor específico c y conductividad térmica K del metal.

Calentamiento del extremo de la barra

El calentamiento en el extremo de la barra x=0, se puede describir mediante un pulso periódico, de periodo P, en forma de escalón de altura 2·T₀, tal como se aprecia en la figura.

Esta función, se puede expresar en términos de un desarrollo en serie de Fourier.

Si f(t) es una función periódica de periodo P, se puede expresar en forma de desarrollo en serie de la forma.

${\displaystyle f(t)=\frac{a_0}{2}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \left(n\frac{2\pi }{P}t\right)+b_n\text{sin}\left(n\frac{2\pi }{P}t\right)\right)}}$

donde

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{a_0}{2}=\frac{2}{P}{\displaystyle \underset{0}{\overset{P}{\int }}f(t)·dt}\\ a_n=\frac{2}{P}{\displaystyle \underset{0}{\overset{+P}{\int }}f(t)\cos \left(n\frac{2\pi }{P}t\right)·dt}n=\mathrm{1,}\text{ 2}\text{, 3}\mathrm{...}\\ b_n=\frac{2}{P}{\displaystyle \underset{0}{\overset{+P}{\int }}f(t)\sin \left(n\frac{2\pi }{P}t\right)·dt}n=\mathrm{1,}\text{ 2}\text{, 3}\mathrm{...}\end{array}}$

Para un escalón de potencial

f(t)=T₀ para 0≤t<P/2
f(t)=-T₀ para P/2≤t<P

Los coeficientes a_n y b_n de Fourier valen

${\displaystyle \begin{array}{l}{a}_0=\frac{2}{P}\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{P/2}{\int }}{T}_{0}dt}+{\displaystyle \underset{P/2}{\overset{P}{\int }}(-T_0)dt}\right)=0\\ a_n=\frac{2}{P}\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{P/2}{\int }}{T}_0\cos \left(n\frac{2\pi }{P}t\right)dt}+{\displaystyle \underset{P/2}{\overset{P}{\int }}(-T_0)\cos \left(n\frac{2\pi }{P}t\right)dt}\right)=0\\ b_n=\frac{2}{P}\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{P/2}{\int }}{T}_0\sin \left(n\frac{2\pi }{P}t\right)dt}+{\displaystyle \underset{P/2}{\overset{P}{\int }}(-T_0)\sin \left(n\frac{2\pi }{P}t\right)dt}\right)=\{\begin{array}{l}\frac{4T_0}{n\pi }n=\mathrm{1,3,5..}\\ 0n=\mathrm{2,4,6...}\end{array}\end{array}}$

>> syms P n t;
>> an=(int(cos(2*n*pi*t/P),t,0,P/2)-int(cos(2*n*pi*t/P),t,P/2,P))*2/P;
>> subs(an,n,sym('[1 2 3 4 5]'))
ans =[ 0, 0, 0, 0, 0]
>> bn=(int(sin(2*n*pi*t/P),t,0,P/2)-int(sin(2*n*pi*t/P),t,P/2,P))*2/P;
>> subs(bn,n,sym('[1 2 3 4 5]'))
ans =[ 4/pi, 0, 4/(3*pi), 0, 4/(5*pi)]

El desarrollo en serie de la función escalón es

${\displaystyle f(t)={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1,3,5...}}^{\infty }\frac{4T_0}{n·\pi }\sin \left(n\frac{2\pi }{P}t\right)}}$

En la figura, se representa el calentamiento del extremo de la barra x=0, descrito por una función escalón de periodo P=80 s y cuya amplitud es de T₀=10º C.

En la figura, se muestra la aproximación a la función escalón tomando los cinco primeros términos n=1, 3, 5, 7 y 9 del desarrollo en serie

En esta otra figura, la aproximación a la función periódica tomando los 50 primeros términos cuyos índices n son los números impares que van desde n=1 a 99.

Propagación de la onda térmica

La distribución de temperaturas en la barra después de un tiempo de haber comenzado el experimento, cuando el sistema haya olvidado las condiciones iniciales, está dada por una serie, cada uno de cuyos términos corresponde a una onda armónica de frecuencia angular ω_n, número de onda k_n y velocidad de propagación v_n=ω_n/k_n.

${\displaystyle T(x,t)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{A}_n(x)\sin ({\omega }_{n}t-k_{n}x)}}$

Introduciendo esta solución en la ecuación que describe la conducción térmica

${\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}\alpha =\frac{K}{\rho c}}$

se obtiene

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{d^2{A}_n}{d{x}^2}-k_n^2{A}_n\right)}\sin ({\omega }_{n}t-k_{n}t)-{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(2\frac{d{A}_n}{dx}{k}_n+\frac{{\omega }_n}{\alpha }{A}_n\right)}\text{cos}({\omega }_{n}t-k_{n}t)=0}$

La igualdad a cero, conduce al sistema de dos ecuaciones diferenciales

${\displaystyle \begin{array}{l}2\frac{d{A}_n}{dx}{k}_n+\frac{{\omega }_n}{\alpha }{A}_n=0\\ \frac{d^2{A}_n}{d{x}^2}-k_n^2{A}_n=0\end{array}}$

Con la condición inicial en el extremo x=0 de la barra

${\displaystyle T(\mathrm{0,}t)={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1,3,5...}}^{\infty }\frac{4T_0}{n·\pi }\sin \left(n\frac{2\pi }{P}t\right)}={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1,3,5...}}^{\infty }\frac{4T_0}{n·\pi }\sin \left({\omega }_{n}t\right)}}$

Integramos la primera ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{d{A}_n}{A_n}=-\frac{{\omega }_n}{2\alpha k_n}dx}$

con la condición inicial de que en x=0, A_n(0)=4·T₀/(n·π) para n=1,3,5... y A_n(0)=0 para n=2,4,6.... La solución es

${\displaystyle A_n(x)=\frac{4T_0}{n·\pi }\exp \left(-\frac{{\omega }_n}{2\alpha k_n}x\right)}$

Introduciendo A_n(x) en la segunda ecuación diferencial

${\displaystyle {\left(-\frac{{\omega }_n}{2\alpha k_n}\right)}^2{A}_n-k_n^2{A}_n=0k_n=\sqrt{\frac{{\omega }_n}{2\alpha }}}$

La amplitud A_n(x) decrece exponencialmente con la distancia x a la fuente de calor de la forma

${\displaystyle A_n(x)=\frac{4T_0}{n·\pi }\exp \left(-k_{n}x\right)}$

La distribución de temperaturas para cada punto x de la barra en función del tiempo t es

${\displaystyle T(x,t)={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1,3,5...}}^{\infty }\frac{4T_0}{n·\pi }}\exp (-k_{n}x)·\sin \left({\omega }_{n}t-k_{n}x\right){\omega }_n=n\frac{2\pi }{P}{k}_n=\sqrt{\frac{{\omega }_n}{2\alpha }}}$

La amplitud A_n(x) decrece rápidamente con x y también con n.  Los armónicos altos desaparecen, quedando lejos de la fuente tan solo el primer armónico n=1. La distribución de temperaturas para esos puntos se puede describir mediante la ecuación

${\displaystyle T(x,t)\approx \frac{\text{4}{T}_0}{\pi }\text{exp(-}k·x\text{)·sin}(\omega t-kx)k=\sqrt{\frac{\omega }{2\alpha }}\omega =\frac{2\pi }{P}}$

Esta expresión explica la variación de la temperatura con la profundidad bajo el suelo debido al calentamiento en verano y enfriamiento en invierno de la superficie terreste con un periodo de un año. Localmente la Tierra es plana y considaremos el eje X perpendicular a la superficie terrestre que se toma como origen y apuntando hacia abajo.

hold on
for t=(0:1/4:1)*pi
    f=@(x) exp(-sqrt(1/2)*x)*cos(t-sqrt(1/2)*x);
    fplot(f,[0,5])
end
hold off
xlabel('x')
ylabel('T')
title('Temperatura en la superficie de la Tierra')
grid on
view(90, -90)
set(gca, 'xdir', 'reverse');

En el script hemos girado los ejes de modo que la profundidad x aparece en el eje vertical. La amplitud de la oscilación térmica decrece exponencialmente con la profundidad x y con una diferencia de fase respecto de la superficie

La velocidad de propagación de las ondas térmicas es

${\displaystyle v=\frac{\omega }{k}=\sqrt{2\alpha \omega }}$

Cuando la velocidad de propagación v depende de la frecuencia ω, el medio se dice que es dispersivo.

El cociente v/(2k)=α que es un parámetro característico de cada metal en el proceso de conducción térmica.

Medida del coeficiente k de amortiguamiento de la amplitud

Como hemos demostrado, la amplitud de la onda armónica decrece exponencialmente con la distancia x a la fuente de calor situada en el extremo de la barra.

${\displaystyle A(x)=\frac{4T_0}{\pi }\exp (-kx)}$

Colocamos dos termómetros a las distancias x₁ y x₂ lejos de la fuente de calor, para que la aproximación anterior sea válida.

Medimos la amplitud A₁ de la oscilación de la temperatura en la posición x₁

Medimos la amplitud A₂ de la oscilación de la temperatura en la posición x₂

${\displaystyle \frac{A_2}{A_1}=\exp \left(-k(x_2-x_1)\right)k=\frac{1}{\Delta x}\ln \frac{A_1}{A_2}}$

Medida de la velocidad de propagación

Cuando se propaga un Movimiento Ondulatorio, la perturbación, un pico, un valle, se desplaza una longitud Δx en un tiempo Δt. Si el máximo de temperatura  en el punto x₁ se produce en el instante t₁ y el máximo de temperatura en el punto x₂ se produce en el instante t₂. La velocidad de propagación v de las ondas térmicas, se obtiene mediante el cociente

${\displaystyle v=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta x}{\Delta t}}$

Tres velocidades caracterizan otros tantos procesos en un metal:

• La velocidad del sonido, que depende del módulo de Young y de la densidad del material, del orden de 3000 m/s para el cobre.

• La velocidad de los electrones del conducción del orden de 4·10^-7 m/s

• La velocidad de propagación de las ondas térmicas, del orden de 3·10^-3 m/s

Ejemplo

Creamos la función f_onda, que admite como parámetros: la amplitud de proceso de calentamiento-enfriamiento del extremo de la barra es T₀, el periodo P, el parámetro 1/α, la posición x a lo largo de la barra y el tiempo t en el que queremos calcular la distribución de temperaturas a lo largo de la barra. Devuelve la temperatura T de un punto x de la barra en el instante un instante t.

function T=f_onda(T0,P,a2,x,t)
   T=0;
   for n=1:2:19 %diez términos del desarrollo en serie
       w=n*2*pi/P;
       k=sqrt(w*a2/2);
       T=T+4*T0*exp(-k*x).*sin(w*t-k*x)/(n*pi);
   end
end

Creamos un script, que establece

• El metal de la barra
• La amplitud de proceso de calentamiento-enfriamiento del extremo de la barra es T₀=15º
• El periodo es P=80 s

Representamos la temperatura de la barra en función del tiempo durante un periodo. Para hacer la figura animada se ha empleado el siguiente código

T0=15; %La amplitud de calentamiento-enfriamiento del extremo de la barra
P=80; %periodo
a2=8909; %Coeficiente, 1/alfa del cobre

x=0:0.001:0.35;
fichero = 'onda_calor.gif';
for t=0:5:P
    T=f_onda(T0,P,a2,x,t);
    plot(x,T,'r')
    title('Ondas térmicas')
    xlabel('x (m)')
    ylabel('Temperatura')
    axis([0,0.35,-T0,T0])
    grid on
    
    frame=getframe;
    im = frame2im(frame);
    [imind,cm] = rgb2ind(im,256);
    if t==0
        imwrite(imind,cm,fichero,'gif','DelayTime',0,'loopcount',inf);
    else
        imwrite(imind,cm,fichero,'gif','DelayTime',0,'writemode','append');
    end
end

Representamos la temperatura en función del tiempo durante un periodo P=80 s en dos posiciones a lo largo de la barra x₁=15 cm y x₂=25 cm.

T0=15; %La amplitud de calentamiento-enfriamiento del extremo de la barra
P=80; %periodo
a2=8909; %Coeficiente, 1/alfa del cobre

x1=0.15; %dos posiciones en la barra
x2=0.25;
t=0:0.2:P; %tiempos 
T1=f_onda(T0,P,a2,x1,t);
T2=f_onda(T0,P,a2,x2,t);
plot(t,T1,'b',t,T2,'r')
title('Ondas térmicas')
xlabel('t (s)')
ylabel('Temperatura')
grid on
[xmax nmax]=max(abs(T1));
fprintf('El máximo de temperatura es %1.2f en el instante %1.2f, 
en la posición %1.2f\n',xmax,t(nmax),x1)
[xmax nmax]=max(abs(T2));
fprintf('El máximo de temperatura es %1.2f en el instante %1.2f,, 
en la posición %1.2f\n',xmax,t(nmax),x2)

El máximo de temperatura es 1.20 en el instante 15.00, en la posición 0.15
El máximo de temperatura es 0.18 en el instante 39.40, en la posición 0.25

• El script nos devuelve la temperatura máxima o mínima A₁ y A₂, a partir de estos datos calculamos el coeficiente k de amortiguamiento de la amplitud. Podemos realizar estas medidas directamente en la representación gráfica utilizando la herramienta del menú Data cursor.

• El script nos devuelve los instantes t₁ y t₂ en el que se alcanzan estos valores máximos. Se mide la diferencia de tiempos Δt= t₂-t₁ que tarda el máximo o el mínimo en desplazarse desde la posición x₁ a la posición x₂, es decir, Δx=x₂-x₁

Los resultados obtenidos son los siguientes:

• En la posición x₁=15 cm (color azul) se alcanza el mínimo de temperatura en el instante t₁=15.0, la temperatura mínima es A₁=1.20.

• En la posición x₂=25 cm (color rojo) se alcanza el mínimo de temperatura en el instante t₂=39.4, la temperatura mínima es A₂=0.18.

El coeficiente k de amortiguamiento de la amplitud de la onda térmica vale

${\displaystyle k=\frac{1}{\Delta x}\ln \frac{A_1}{A_2}k=\frac{1}{(0.25-0.15)}\ln \frac{1.20}{0.18}=19.0{\text{m}}^{\text{-1}}}$

La velocidad de propagación de las ondas térmicas en la barra de cobre es

${\displaystyle v=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}v=\frac{0.25-0.15}{39.4-15.0}=4.1·{10}^{-3}\text{m/s}}$

Calculamos el cociente

${\displaystyle \frac{v}{2k}=\alpha \frac{4.1·{10}^{-3}}{2·19.0}=10.8·{10}^{-5}{\text{m}}^{\text{2}}\text{/s}}$

Comprobación

Los datos para el cobre son

• Densidad ρ=8900 kg/m³
• Calor específico c=390 J/(kg·K)
• Conductividad térmica K=389.6 W/(m·K)

El valor de α=K/(ρ·c)=11.22·10^-5 m²/s

Referencias

Bodas A, Gandía V., E. López-Baeza. An undergraduate experiment on the propagation of thermal waves. Am. J. Phys. 66 (6) June 1998, pp. 528-533.