Ondas térmicas

Se calienta el extremo de una barra de cobre de L=50 cm de longitud de forma periódica con un soldador conectado a un reloj. Después de comenzar el experimento, se deja pasar cierto tiempo hasta que se alcanza un estado de equilibrio dinámico en el que las temperaturas de cada punto de la barra oscilan alrededor de sus valores medios.

Se miden las temperaturas en dos puntos situados a una distancia x1 y x2 del origen de la barra. La relación entre las amplitudes de la oscilación térmica nos va proporcionar el valor del coeficiente de amortiguamiento y la diferencia de fase, la velocidad de propagación de las ondas térmicas en la barra. La relación entre estos dos parámetros nos proporciona el coeficiente α de la ecuación que describe la conducción térmica.

T t =α 2 T x 2 α= K ρc

donde α es un coeficiente que depende de la densidad ρ, calor específico c y conductividad térmica K del metal.

Calentamiento del extremo de la barra

El calentamiento en el extremo de la barra x=0, se puede describir mediante un pulso periódico, de periodo P, en forma de escalón de altura 2·T0, tal como se aprecia en la figura.

Esta función, se puede expresar en términos de un desarrollo en serie de Fourier.

Si f(t) es una función periódica de periodo P, se puede expresar en forma de desarrollo en serie de la forma.

f(t)= a 0 2 + n=1 ( a n cos( n 2π P t )+ b n sin( n 2π P t ) )

donde

a 0 2 = 2 P 0 P f(t)·dt a n = 2 P 0 +P f(t)cos( n 2π P t )·dt n=1, 2, 3... b n = 2 P 0 +P f(t)sin( n 2π P t )·dt n=1, 2, 3...

Para un escalón de potencial

f(t)=T0 para 0≤t<P/2
f
(t)=-T0 para P/2≤t<P

Los coeficientes an y bn de Fourier valen

a 0 = 2 P ( 0 P/2 T 0 dt + P/2 P ( T 0 )dt )=0 a n = 2 P ( 0 P/2 T 0 cos( n 2π P t )dt + P/2 P ( T 0 )cos( n 2π P t )dt )=0 b n = 2 P ( 0 P/2 T 0 sin( n 2π P t )dt + P/2 P ( T 0 )sin( n 2π P t )dt )={ 4 T 0 nπ n=1,3,5.. 0n=2,4,6...

>> syms P n t;
>> an=(int(cos(2*n*pi*t/P),t,0,P/2)-int(cos(2*n*pi*t/P),t,P/2,P))*2/P;
>> subs(an,n,sym('[1 2 3 4 5]'))
ans =[ 0, 0, 0, 0, 0]
>> bn=(int(sin(2*n*pi*t/P),t,0,P/2)-int(sin(2*n*pi*t/P),t,P/2,P))*2/P;
>> subs(bn,n,sym('[1 2 3 4 5]'))
ans =[ 4/pi, 0, 4/(3*pi), 0, 4/(5*pi)]

El desarrollo en serie de la función escalón es

f(t)= n=1,3,5... 4 T 0 n·π sin( n 2π P t )

En la figura, se representa el calentamiento del extremo de la barra x=0, descrito por una función escalón de periodo P=80 s y cuya amplitud es de T0=10º C.

En la figura, se muestra la aproximación a la función escalón tomando los cinco primeros términos n=1, 3, 5, 7 y 9 del desarrollo en serie

En esta otra figura, la aproximación a la función periódica tomando los 50 primeros términos cuyos índices n son los números impares que van desde n=1 a 99.

Propagación de la onda térmica

La distribución de temperaturas en la barra después de un tiempo de haber comenzado el experimento, cuando el sistema haya olvidado las condiciones iniciales, está dada por una serie, cada uno de cuyos términos corresponde a una onda armónica de frecuencia angular ωn, número de onda kn y velocidad de propagación vnn/kn.

T(x,t)= n=1 A n (x)sin( ω n t k n x)

Introduciendo esta solución en la ecuación que describe la conducción térmica

T t =α 2 T x 2 α= K ρc

se obtiene

n=1 ( d 2 A n d x 2 k n 2 A n ) sin( ω n t k n t) n=1 ( 2 d A n dx k n + ω n α A n ) cos( ω n t k n t)=0

La igualdad a cero, conduce al sistema de dos ecuaciones diferenciales

2 d A n dx k n + ω n α A n =0 d 2 A n d x 2 k n 2 A n =0

Con la condición inicial en el extremo x=0 de la barra

T(0,t)= n=1,3,5... 4 T 0 n·π sin( n 2π P t ) = n=1,3,5... 4 T 0 n·π sin( ω n t )

Integramos la primera ecuación diferencial

d A n A n = ω n 2α k n dx

con la condición inicial de que en x=0, An(0)=4·T0/(n·π) para n=1,3,5... y An(0)=0 para n=2,4,6.... La solución es

A n (x)= 4 T 0 n·π exp( ω n 2α k n x )

Introduciendo An(x) en la segunda ecuación diferencial

( ω n 2α k n ) 2 A n k n 2 A n =0 k n = ω n 2α

La amplitud An(x) decrece exponencialmente con la distancia x a la fuente de calor de la forma

A n (x)= 4 T 0 n·π exp( k n x )

La distribución de temperaturas para cada punto x de la barra en función del tiempo t es

T(x,t)= n=1,3,5... 4 T 0 n·π exp( k n x)·sin( ω n t k n x ) ω n =n 2π P k n = ω n 2α

La amplitud An(x) decrece rápidamente con x y también con n.  Los armónicos altos desaparecen, quedando lejos de la fuente tan solo el primer armónico n=1. La distribución de temperaturas para esos puntos se puede describir mediante la ecuación

T(x,t) 4 T 0 π exp(-k·x)·sin(ωtkx)k= ω 2α ω= 2π P

Esta expresión explica la variación de la temperatura con la profundidad bajo el suelo debido al calentamiento en verano y enfriamiento en invierno de la superficie terreste con un periodo de un año. Localmente la Tierra es plana y considaremos el eje X perpendicular a la superficie terrestre que se toma como origen y apuntando hacia abajo.

hold on
for t=(0:1/4:1)*pi
    f=@(x) exp(-sqrt(1/2)*x)*cos(t-sqrt(1/2)*x);
    fplot(f,[0,5])
end
hold off
xlabel('x')
ylabel('T')
title('Temperatura en la superficie de la Tierra')
grid on
view(90, -90)
set(gca, 'xdir', 'reverse');

En el script hemos girado los ejes de modo que la profundidad x aparece en el eje vertical. La amplitud de la oscilación térmica decrece exponencialmente con la profundidad x y con una diferencia de fase respecto de la superficie

La velocidad de propagación de las ondas térmicas es

v= ω k = 2αω

Cuando la velocidad de propagación v depende de la frecuencia ω, el medio se dice que es dispersivo.

El cociente v/(2k)=α que es un parámetro característico de cada metal en el proceso de conducción térmica.

Medida del coeficiente k de amortiguamiento de la amplitud

Como hemos demostrado, la amplitud de la onda armónica decrece exponencialmente con la distancia x a la fuente de calor situada en el extremo de la barra.

A(x)= 4 T 0 π exp(kx)

Colocamos dos termómetros a las distancias x1 y x2 lejos de la fuente de calor, para que la aproximación anterior sea válida.

Medimos la amplitud A1 de la oscilación de la temperatura en la posición x1

Medimos la amplitud A2 de la oscilación de la temperatura en la posición x2

A 2 A 1 =exp( k( x 2 x 1 ) )k= 1 Δx ln A 1 A 2

Medida de la velocidad de propagación

Cuando se propaga un Movimiento Ondulatorio, la perturbación, un pico, un valle, se desplaza una longitud Δx en un tiempo Δt. Si el máximo de temperatura  en el punto x1 se produce en el instante t1 y el máximo de temperatura en el punto x2 se produce en el instante t2. La velocidad de propagación v de las ondas térmicas, se obtiene mediante el cociente

v= x 2 x 1 t 2 t 1 = Δx Δt

Tres velocidades caracterizan otros tantos procesos en un metal:

Ejemplo

Creamos la función f_onda, que admite como parámetros: la amplitud de proceso de calentamiento-enfriamiento del extremo de la barra es T0, el periodo P, el parámetro 1/α, la posición x a lo largo de la barra y el tiempo t en el que queremos calcular la distribución de temperaturas a lo largo de la barra. Devuelve la temperatura T de un punto x de la barra en el instante un instante t.

function T=f_onda(T0,P,a2,x,t)
   T=0;
   for n=1:2:19 %diez términos del desarrollo en serie
       w=n*2*pi/P;
       k=sqrt(w*a2/2);
       T=T+4*T0*exp(-k*x).*sin(w*t-k*x)/(n*pi);
   end
end

Creamos el script onda, que establece

Representamos la temperatura de la barra en función del tiempo durante un periodo. Para hacer la figura animada se ha empleado el siguiente código

T0=15; %La amplitud de calentamiento-enfriamiento del extremo de la barra
P=80; %periodo
a2=8909; %Coeficiente, 1/alfa del cobre

x=0:0.001:0.35;
fichero = 'onda_calor.gif';
for t=0:5:P
    T=f_onda(T0,P,a2,x,t);
    plot(x,T,'r')
    title('Ondas térmicas')
    xlabel('x (m)')
    ylabel('Temperatura')
    axis([0,0.35,-T0,T0])
    grid on
    
    frame=getframe;
    im = frame2im(frame);
    [imind,cm] = rgb2ind(im,256);
    if t==0
        imwrite(imind,cm,fichero,'gif','DelayTime',0,'loopcount',inf);
    else
        imwrite(imind,cm,fichero,'gif','DelayTime',0,'writemode','append');
    end
end

Representamos la temperatura en función del tiempo durante un periodo P=80 s en dos posiciones a lo largo de la barra x1=15 cm y x2=25 cm.

T0=15; %La amplitud de calentamiento-enfriamiento del extremo de la barra
P=80; %periodo
a2=8909; %Coeficiente, 1/alfa del cobre

x1=0.15; %dos posiciones en la barra
x2=0.25;
t=0:0.2:P; %tiempos 
T1=f_onda(T0,P,a2,x1,t);
T2=f_onda(T0,P,a2,x2,t);
plot(t,T1,'b',t,T2,'r')
title('Ondas térmicas')
xlabel('t (s)')
ylabel('Temperatura')
grid on
[xmax nmax]=max(abs(T1));
fprintf('El máximo de temperatura es %1.2f en el instante %1.2f, 
en la posición %1.2f\n',xmax,t(nmax),x1)
[xmax nmax]=max(abs(T2));
fprintf('El máximo de temperatura es %1.2f en el instante %1.2f,, 
en la posición %1.2f\n',xmax,t(nmax),x2)

El máximo de temperatura es 1.20 en el instante 15.00, en la posición 0.15
El máximo de temperatura es 0.18 en el instante 39.40, en la posición 0.25

Los resultados obtenidos son los siguientes:

El coeficiente k de amortiguamiento de la amplitud de la onda térmica vale

 k= 1 Δx ln A 1 A 2 k= 1 (0.250.15) ln 1.20 0.18 = 19.0 m -1

La velocidad de propagación de las ondas térmicas en la barra de cobre es

v= x 2 x 1 t 2 t 1 v= 0.250.15 39.415.0 = 4.1· 10 3 m/s

Calculamos el cociente

v 2k =α 4.1· 10 3 2· 19.0 = 10.8· 10 5 m 2 /s

Comprobación

Los datos para el cobre son

El valor de α=K/(ρ·c)=11.22·10-5 m2/s

Referencias

Bodas A, Gandía V., E. López-Baeza. An undergraduate experiment on the propagation of thermal waves. Am. J. Phys. 66 (6) June 1998, pp. 528-533.