La ecuación de Laplace, coordenadas rectangulares
Estado estacionario
Vamos a estudiar dos situaciones en coordendas rectangulares
Recinto semiinfinito
Resolveremos la ecuación de Laplace en coordenadas rectangulares por el procedimiento de separación de variables
Sea T(x,y)=X(x)·Y(y), la temperatura en un punto (x,y) de un recinto rectangular. La ecuación diferencial en derivadas parciales da lugar a un sistema de dos ecuaciones diferenciales. Elegimos que sea oscilatoria a lo largo del eje X y exponencial a lo largo del eje Y
La solución de cada una de las dos ecuaciones diferenciales es conocida

Sea un recinto semiinfinto de anchura a. Las condiciones de contorno son la siguientes:
Como T(x,y)→0 cuando y→∞ el coeficiente D=0, tiene que ser nulo, para que la solución esté acotada.
Como T(0, y)=0, el coeficiente A tiene que ser nulo
Como T(a, y)=0, se tendrá que cumplir que sin(ka)=0, k=nπ/a (n=1,2.3...). En consecuencia
La solución de la ecuación de Laplace con las condiciones de contorno especificadas es la superposición
La condición de contorno T(x, 0) determina los coeficientes An
Utilizamos el procedimiento para calcular los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de una función periódica
>> syms x a m n; >> assume(n,'integer'); >> assume(m,'integer'); >> z=int(sin(m*pi*x/a)*sin(n*pi*x/a),x,0,a); >> simplify(z) ans =0 >> z=int(sin(m*pi*x/a)^2,x,0,a); >> simplify(z) ans =a/2
La integral es distinta de cero cuando m=n
La función T(x, 0) se aproxima mediante la serie
Ejemplo. Sea a=1. Tomemos los cinco primeros términos del desarrollo en serie de Fourier
a=1; hold on line([0,a/2],[0,a/2]) line([a/2,a],[a/2,0]) x=linspace(0,a,100); z=0; for m=0:5 z=z+(-1)^m*sin((2*m+1)*pi*x/a)/(2*m+1)^2; end z=z*4*a/pi^2; plot(x,z, 'r') hold off xlabel('x') zlabel('T(x,0)') grid on title('Aproximación')
La temperatura T(x,y) en cualquier punto (x,y) del recinto rectangular es
Definimos la función que calcula la temperatura T(x,y) tomando los N primeros términos del desarrollo en serie
function z = laplace_temperatura(x,y, N, a) z=0; for m=0:N z=z+(-1)^m*sin((2*m+1)*pi*x/a).*exp(-(2*m+1)*pi*y/a)/(2*m+1)^2; end z=z*4*a/pi^2; end
Creamos un script para representar la temperatura T(x,y) en el recinto rectangular 0≤x≤a e 0≤y≤1, con a=1. Se han tomado N=20 términos del desarrollo en serie
a=1; %anchura N=20; %número de términos [x,y] = meshgrid(0:0.02:a, 0:0.02:1); z=laplace_temperatura(x,y, N, a); %T(x,y) mesh(x,y,z) xlabel('x') ylabel('y') zlabel('T(x,y)') title('Temperatura') view(47,32)
La temperatura disminuye rápidamente cuando nos alejamos del eje X
Recinto rectangular

Sea un recinto rectangular de dimensiones a y b. Vamos a cualcular la temperatura T(x,y) en un punto (x,y) de dicho recinto rectangular con las siguienets condiciones de contorno
La temperatura en un punto (x,y) del rectángulo de dimensiones a y b es la suma de dos contribuciones, T(x,y)=T1(x,y)+T2(x,y)
Primer sumando
La solución de la ecuación de Laplace es oscilatoria a lo largo del eje Y, exponencial a lo largo del eje X

La condición de contorno T1(x, 0)=0, hace que A=0, la condición de contorno T1(x, b)=0, hace que sin(kb)=0, kb=nπ (n=1,2,3...). En consecuencia
La temperatura T1(x,y) en cualquier punto (x,y) del recinto rectangular 0≤x≤a, 0≤y≤b, es la superposición
-
Utilizamos la condicón de contorno T1(0, y)
-
La otra condición de contorno es T1(a, y)=0
Utilizamos el procedimiento para calcular los coeficientes (Cn+Dn) del desarrollo en serie de Fourier de una función periódica
Por ejemplo, si T1(0, y)=y
En el sistema de dos ecuaciones despejamos Cn y Dn
El primer sumando T1(x,y) es
Segundo sumando
La solución de la ecuación de Laplace es oscilatoria a lo largo del eje X, exponencial a lo largo del eje Y

La condición de contorno T2(0, y)=0, hace que B=0, la condición de contorno T2(a, y)=0, hace que sin(ka)=0, ka=nπ (n=1,2,3...). En consecuencia
La temperatura T2(x,y) en cualquier punto (x,y) del recinto rectangular 0≤x≤a, 0≤y≤b, es la superposición
-
Utilizamos la condicón de contorno T2(x,0)
La otra condición de contorno es T2(x, b)=0
Utilizamos el procedimiento para calcular los coeficientes (Cn+Dn) del desarrollo en serie de Fourier de una función periódica
Por ejemplo, si T2(x, 0)=x
En el sistema de dos ecuaciones despejamos Cn y Dn
El segundo sumando T2(x,y) es
La temperatura en un punto (x,y) del rectángulo de dimensiones a y b es la suma de las dos contribuciones, T(x,y)=T1(x,y)+T2(x,y)
Definimos la función que calcula la temperatura T(x,y) tomando los N primeros términos del desarrollo en serie
function z = laplace_temperatura_1(x,y, N, a,b) z1=0; for n=1:N z1=z1+(-1)^(n+1)*sin(n*pi*x/a).*sinh(n*pi*(b-y)/a)/(n*sinh(n*pi*b/a)); end z1=z1*2*a/pi; z2=0; for n=1:N z2=z2+(-1)^(n+1)*sin(n*pi*y/b).*sinh(n*pi*(a-x)/b)/(n*sinh(n*pi*a/b)); end z2=z2*2*b/pi; z=z1+z2; end
Creamos un script para representar la temperatura T(x,y) en el recinto rectangular 0≤x≤a e 0≤y≤b, con a=10 y b=20. Se han tomado N=50 términos del desarrollo en serie
a=10; %dimensiones del recinto b=20; N=50; %número de términos [x,y] = meshgrid(0:0.1:a, 0:0.1:b); z=laplace_temperatura_1(x,y, N, a,b); mesh(x,y,z) xlabel('x') ylabel('y') zlabel('T(x,y)') title('Temperatura') view(47,32)
Referencias
Physics 116C Home Page---Fall 2011, VI. Solutions to Homework Problem Sets and Exams. Problems 9, 11