Ping-Pong eléctrico

Consideremos un condensador consistente en dos placas circulares de radio R separadas una distancia d, donde d<<R. Las placas del condensador se conectan a una batería cuya diferencia de potencial constante es V.

Un pequeño disco de masa m, de radio r<<R y de espesor w<<r  se coloca en el centro de la placa inferior, tal como se muestra en la figura.

Se supondrá que las placas y el disco son conductores perfectos y se despreciarán los efectos de los bordes.

Carga del disco

Las placas del condensador están cargadas con una carga Q, positiva (color rojo) en la placa superior y negativa (color azul) en la inferior. La densidad de carga es σ=Q/(πR2)

El campo eléctrico E es uniforme en el interior del condensador

E= σ ε 0 = Q π R 2 ε 0 = V d

La carga Q de las placas del condensador es

Q= V d π R 2 ε 0

Suponiendo una distribución uniforme de la carga en la superficie de la placa, es decir, σ es constante, el pequeño disco situado en contacto con la placa inferior contiene una carga

q=σπ r 2 = π r 2 π R 2 Q= V d π r 2 ε 0

Movimiento del disco

Movimiento hacia arriba

Examinamos ahora el movimiento del disco hacia arriba, de la placa negativa a la positiva. Para ello, situamos el origen en la placa inferior y el eje Y apunta hacia arriba, de modo que la velocidad inicial y la aceleración son positivas.

El disco está cargado con una carga q negativa, el campo eléctrico ejerce una fuerza hacia arriba qE. Si esta fuerza es mayor que el peso mg, el disco asciende, en caso contrario, el disco permanece en reposo sobre la placa inferior del condensador.

Si qE>mg la aceleración del disco es 

a = qE m g= (V/d) 2 ε 0 ρw g

donde hemos supuesto que el disco es un pequeño cilindro de radio de la base r y altura w y está hecho de un material de densidad ρ, su masa es m=ρr2)w.

Las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado para el movimiento ascendente son:

v= v 0 + a ty= v 0 t+ 1 2 a t 2

donde v-0=0 es la velocidad inicial de partida.

El disco llega a la placa positiva y=d en el instante

t = v 0 + v 0 2 +2 a d a

La velocidad con la que llega es

v 2 = v 0 2 +2 a d

Balance energético

En la posición inicial de partida, la energía del disco es cinética y potencial eléctrica

U i = 1 2 m v 0 2 +qV

En la posición final, cuando llega a la placa positiva, su energía es potencial gravitatoria y cinética.

U f = 1 2 m v 2 +mgd

Aplicamos el principio de conservación de la energía y obtenemos el mismo resultado que aplicando las ecuaciones de la dinámica.

v 2 = v 0 2 +2 qV m 2gd= v 0 2 +2( V(V/d)π r 2 ε 0 ρπ r 2 w gd )= v 0 2 +2( (V/d) 2 ε 0 ρw g )d= v 0 2 +2 a d

Choque del disco con la placa superior positiva

El disco con velocidad v- choca con la placa, la velocidad del disco después del choque es

v+0=ev-

siendo e≤1 el coeficiente de restitución. El valor e=1 corresponde al choque elástico

En el momento del choque, el disco pierde su carga q negativa y adquiere una carga igual y de sentido contrario, q positiva. La batería suministra carga a las placas a fin de mantener constante la carga Q de las mismas.

Movimiento hacia abajo

Examinamos el movimiento del disco hacia abajo, de la placa positiva a la negativa. Cambiamos el origen y el sentido del eje vertical. Situamos el origen en la placa superior y el eje Y apunta ahora, hacia abajo, de modo que la velocidad inicial y la aceleración son positivas. Ponemos el contador de tiempo t a cero.

El disco está cargado con una carga q positiva, el campo eléctrico ejerce una fuerza hacia abajo qE. La aceleración del disco es

a + = qE m +g= (V/d) 2 ε 0 ρw +g

Las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado para el movimiento descendente son:

v= v +0 + a + ty= v +0 t+ 1 2 a + t 2

El disco llega a la placa negativa y=d en el instante

t + = v +0 + v +0 2 +2 a + d a +

La velocidad con la que llega es

v + 2 = v +0 2 +2 a + d

Balance energético

En la posición inicial de partida, la energía del disco es cinética, potencial eléctrica y gravitatoria.

U i = 1 2 m v +0 2 +qV+mgd

En la posición final, cuando llega a la placa positiva, su energía es cinética

U f = 1 2 m v + 2

Aplicamos el principio de conservación de la energía y obtenemos el mismo resultado que aplicando las ecuaciones de la dinámica.

v + 2 = v +0 2 +2( V(V/d)π r 2 ε 0 ρπ r 2 w +gd )= v +0 2 +2( (V/d) 2 ε 0 ρw +g )d = v +0 2 +2 a + d

Choque del disco con la placa inferior negativa

El disco con velocidad v+ choca con la placa. La velocidad del disco después del choque es

v’-0=ev+

En el momento del choque el disco pierde su carga q positiva y adquiere una carga igual y de sentido contrario, q negativa. La batería tiene que suministrar carga a las placas a fin de mantener constante la carga Q de las mismas.

De este modo, hemos completado un ciclo, partiendo el disco de la placa inferior con una velocidad v’-0

Oscilación completa

Resumimos las ecuaciones deducidas en el apartado anterior

El disco parte de la placa inferior con velocidad v-0 y llega a la placa superior con velocidad

v 2 = v 0 2 +2 a d a = qV md g

Choca con la placa superior

v+0=ev-

El disco parte de la placa superior con velocidad v+0 y llega a la placa inferior con velocidad

v + 2 = v +0 2 +2 a + d a + = qV md +g

Choca con la placa inferior y rebota con velocidad

v’-0=ev+

Vamos a relacionar las velocidades al comienzo de dos oscilaciones consecutivas, v’-0 con v-0

v +0 2 = e 2 ( v 0 2 +2 a d ) v ' 0 2 = e 2 ( e 2 ( v 0 2 +2 a d )+2 a + d )= e 4 v 0 2 +2 e 4 ( qV m gd )+2 e 2 ( qV m +gd )

El periodo P o tiempo que tarda en completar una oscilación vale

P= t + t + = v 0 + v 0 2 +2 a d a + v +0 + v +0 2 +2 a + d a +

Ejemplo:

Datos:

Los valores de las aceleraciones son:

a = qV md g= (V/d) ρπ r 2 w π r 2 ε 0 V d g= ε 0 ρw ( V d ) 2 g= (250000/0.1) 2 2700·0.002·4π·9· 10 9 9.8=0.4337 m/s 2 a + = qV md +g= ε 0 ρw ( V d ) 2 +g= (250000/0.1) 2 2700·0.002·4π·9· 10 9 +9.8=20.0337 m/s 2

La diferencia de potencial mínima que logra mover el disco hacia arriba se calcula poniendo a-=0, y despejando V. Con los datos del ejemplo, V=244645 V

Calculamos las velocidades v-0 al comienzo de cada oscilación y v+0 cuando retorna, sabiendo que la velocidad inicial v-0=0.

v +0 2 = e 2 ( v 0 2 +2 a d )v ' 0 2 = e 2 ( v +0 2 +2 a + d )

d=0.1; %distancia entre placas
V=250000; %diferencia de potencial entre las placas
w=0.002; %Espesor del disco
rho=2700; %Densidad del disco de aluminio
e=0.9; %Coeficiente de restitución

a_menos=(V/d)^2/(rho*w*4*pi*9e9)-9.8;
a_mas=(V/d)^2/(rho*w*4*pi*9e9)+9.8;
if a_menos<=0
    disp('El disco no asciende')
    return;
end

disp(['P(s)     ','      V_0 (m/s)'])
v0_2_menos=0;
for i=1:15
    v0_2_mas=e^2*(v0_2_menos+2*a_menos*d);
    P=(-sqrt(v0_2_menos)+sqrt(v0_2_menos+2*a_menos*d))/a_menos+
(-sqrt(v0_2_mas)+sqrt(v0_2_mas+2*a_mas*d))/a_mas;
    v0_2_menos=e^2*(v0_2_mas+2*a_mas*d);
    disp([P,sqrt(v0_2_menos)]);
end
  P(s)      V_0 (m/s)
    0.7666    1.8172
    0.1017    2.3386
    0.0823    2.6250
    0.0744    2.7970
    0.0704    2.9044
    0.0681    2.9727
    0.0667    3.0166
    0.0658    3.0452
    0.0652    3.0637
    0.0649    3.0758
    0.0647    3.0838
    0.0645    3.0890
    0.0644    3.0924
    0.0643    3.0946
    0.0643    3.0960

En la columna de la izquierda se proporciona los datos del periodo P de las oscilaciones del disco que va disminuyendo hasta que alcanza un valor constante. Sin embargo, la velocidad v-0 va aumentado hasta que alcanza un valor constante, tal como se aprecia en la figura.

d=0.1; %distancia entre placas
V=250000; %diferencia de potencial entre las placas
w=0.002; %Espesor del disco
rho=2700; %Densidad del disco de aluminio
e=0.9; %Coeficiente de restitución

a_menos=(V/d)^2/(rho*w*4*pi*9e9)-9.8;
a_mas=(V/d)^2/(rho*w*4*pi*9e9)+9.8;
if a_menos<=0
    disp('El disco no asciende')
    return;
end
t=zeros(0,34);
v=zeros(0,34);
v0_2_menos=0;
t(1)=0;
v(1)=0;
for i=1:2:32
    t(i+1)=t(i)+(-sqrt(v0_2_menos)+sqrt(v0_2_menos+2*a_menos*d))/a_menos;
    v0_2_mas=e^2*(v0_2_menos+2*a_menos*d);
    v(i+1)=sqrt(v0_2_mas);
    t(i+2)=t(i+1)+(-sqrt(v0_2_mas)+sqrt(v0_2_mas+2*a_mas*d))/a_mas;
    v0_2_menos=e^2*(v0_2_mas+2*a_mas*d);
    v(i+2)=sqrt(v0_2_menos);
end
hold on
plot(t(1:2:end-1),v(1:2:end-1),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
plot(t(2:2:end),v(2:2:end),'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
hold off
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('v_0 (m/s)')
title('Ping-pong eléctrico')

Estado estacionario

El disco va ganado energía suministrada por el campo eléctrico del condensador, es decir, por la batería. Si el choque fuese completamente elástico e=1, la energía del disco crecería 2qV en cada oscilación.

1 2 mv ' 0 2 = 1 2 m v 0 2 +2qV

El choque inelástico proporciona el mecanismo de pérdida de energía, de modo que al cabo de un cierto tiempo t, teóricamente infinito, se alcanza el estado estacionario, el disco completa una oscilación con un periodo P aproximadamente constante.

Cuando nos aproximamos al estado estacionario v’-0v-0

v ' 0 2 = e 2 ( e 2 ( v 0 2 +2 a d )+2 a + d ) (1 e 4 ) v 0 2 =2 e 4 a d+2 e 2 a + d

Con los datos del ejemplo, en el estado estacionario, las velocidades son

v-0=3.10 m/s
v+0
=2.80 m/s
y el periodo, P=0.064 s

De otra forma

(1 e 4 ) v 0 2 =2 e 4 ( qV m gd )+2 e 2 ( qV m +gd ) 1 2 m v 0 2 = e 2 1 e 2 qV+ e 2 1+ e 2 mgd 1 2 m v +0 2 = e 2 1 e 2 qV e 2 1+ e 2 mgd

En el estado estacionario v’-0=v-0, de modo

v +0 2 = e 2 ( v 0 2 +2 a d ) v 0 2 = e 2 ( v +0 2 +2 a + d )

El periodo en el estado estacionario se escribe

P= t + t + = v 0 + v 0 2 +2 a d a + v +0 + v +0 2 +2 a + d a + = v 0 + v 0+ /e a + v 0+ + v 0 /e a +

Aparentemente, no hay una expresión sencilla para el periodo P en el estado estacionario en términos de V, m, d, g y e.

Intensidad de la corriente eléctrica es

Durante el periodo P de una oscilación la batería trasporta una carga 2q a las placas. La intensidad es

i= 2q P

La resistencia equivalente del circuito es

R=V/i

Aproximaciones

Cuando qV>>mgd

Las aceleraciones a- y a+ son prácticamente iguales

a= a = a + qV md

El disco parte de la placa inferior con velocidad v-0

La velocidad con la que llega a la placa superior es

v 2 = v 0 2 +2ad

El disco con velocidad v- choca con la placa, la velocidad del disco después del choque es

v+0=ev-

La velocidad con la que llega a la placa inferior es

v + 2 = v +0 2 +2ad

El disco con velocidad v+ choca con la placa inferior, la velocidad del disco después del choque es

v’-0=ev+

Relacionamos las velocidades iniciales al comienzo de dos oscilaciones consecutivas v-0 y v'-0

v ' 0 2 = e 4 v 0 2 +2( e 2 + e 4 )ad

En el estado estacionario v’-0≈ v-0

1 2 m v 0 2 = e 2 1 e 2 qV

El tiempo que tarda en ascender o descender es

t= v 0 + v 0 2 +2ad a = 1e 1+e 2m d 2 qV

La intensidad i de la corriente eléctrica es

i= 2q 2t = 1+e 1e q 3 V 2m d 2 = 1+e 1e ( ε 0 π r 2 ) 3 2m d 5 V 2

La intensidad i es directamente proporcional al cuadrado de la diferencia de potencial V entre las placas del condensador

Actividades

Se introduce

Material Densidad ρ (kg/m3)
Aluminio 2700
Acero 7700
Cobre 8930

El programa interactivo ha fijado los siguientes datos:

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa, ascender el disco, si la diferencia de potencial entre las placas es superior al valor crítico, es decir, si la aceleración a->0.

Después de varias oscilaciones, se alcanza el estado estacionario.

En la parte derecha, se representa la velocidad v-0 con que inicia el disco su movimiento ascendente desde la placa inferior, en función del tiempo t.

Dicha velocidad tiende hacia el valor constante

1 2 m v 0 2 = e 2 1 e 2 qV+ e 2 1+ e 2 mgd

Cuando el coeficiente de restitución e es pequeño, prácticamente desde el primer choque, se alcanza el estado estacionario.

En el borde derecho, una barra de colores representa el balance energético, la suma de las tres clases de energía:

La energía se conserva cuando el disco asciende o desciende y cambia, en el momento en el que el disco choca con las placas superior e inferior.

La energía del disco, va creciendo hasta que alcanza un valor límite en el estado estacionario. En la parte superior derecha, se proporciona el valor de la energía del disco por unidad de masa.


Referencias

Thoretical question 1: "Ping-Pong Resistor"

Strawson R., Lovett D. International Physics Olympiad Competition 2004 in South Korea. Physics Education. Vol 40 (2) March 2005, pp. 160-163