Condensadores en serie

Sean dos condensadores de capacidades C1 y C2 dispuestos en serie.

Los dos condensadores tienen la misma carga q. La diferencia de potencial entre a y c es

V ac = V ab + V bc = q C 1 + q C 1 =q( 1 C 1 + 1 C 2 )

La agrupación de dos condensadores en serie es equivalente al de un condensador de capacidad Ce

1 C e = 1 C 1 + 1 C 2

Esta es la situación ideal, en la que se supone que los condensadores no pierden carga, las dos placas del condensador están perfectamente aisladas una de la otra. Esto no es lo que ocurre en la situación real.

Dos condensadores con pérdidas en serie

Un condensador con pérdida de carga es equivalente a un condensador ideal de capacidad C que se descarga a través de una resistencia R. Como ya hemos estudiado en la página anterior, la carga del condensador disminuye exponencialmente con el tiempo 

q=Qexp( t RC )

La resistencia R no suele ser constante sino que depende de la diferencia de potencial V=q/C entre las placas del condensador. Sin embargo, en nuestro estudio supondremos que la resistencia R es constante. Hay condensadores que tiene constantes de tiempo RC del orden de minutos. Sin embargo, hay otros como aceites o plásticos especiales cuyas constantes de tiempo se miden en horas o en días

Consideremos ahora la situación que se muestra en la figura, en la cual los condensadores tienen pérdidas. Se establece una diferencia de potencial V entre a y c.

 

Estado inicial

Inicialmente las cargas de los condensadores son iguales y las diferencias de potencial entre sus placas son respectivamente V1=q/C1 y V2=q/C2. Por lo que cumple que

V 1 V 2 = C 2 C 1

Como V1+V2=V tendremos que

V 2 = V C 1 C 2 + C 1

La corriente comienza a fluir a través de las resistencias R1 y R2 y en general, las cargas en los condensadores serán distintas.

Estado final

Si la diferencia de potencial entre los extremos a y c se mantiene constante, se alcanza un estado estacionario en el que la misma corriente i pasa por las resistencias R1 y R2. Se cumplirá entonces que V1=iR1 y V2=iR2. Por lo que tendremos la relación

V 1 V 2 = R 1 R 2

Como V1+V2=V tendremos que

V 2 = V R 2 R 1 + R 2

La carga final de cada condensador será q1=V1·C1 y q2=C2·V2, de modo que se cumple la relación

q 1 q 2 = C 1 R 1 C 2 R 2

Evolución del estado inicial al final

Supongamos que a los extremos a y c se aplica una diferencia de potencial constante V.

La corriente total i que pasa por a o que sale en b en el instante t, es la suma de dos términos:

tal como hemos visto al estudiar el circuito formado por dos condensadores y una resistencia

Del mismo modo, la corriente i que entra en b o que sale en c  en el instante t, es la suma de dos términos:

d q 1 dt + i 1 = d q 2 dt + i 2 C 1 d V 1 dt + V 1 R 1 = C 2 d V 2 dt + V 2 R 2

Sustituyendo V2=V-V1 tenemos una ecuación en V2.

( C 1 + C 2 ) d V 2 dt +( 1 R 1 + 1 R 2 ) V 2 = V R 1

o bien

d V 2 dt + 1 T V 2 = V R 1 ( C 1 + C 2 ) T= R 2 R 1 ( C 1 + C 2 ) R 1 + R 2

Integramos esta ecuación diferencial con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la diferencia de potencial entre las placas del condensador C2 es V02 tal como vimos al principio de este apartado.

V 02 = V C 1 C 2 + C 1

Integrando

V 02 V 2 d V 2 V R 1 ( C 1 + C 2 ) 1 T V 2 = 0 t dt

El resultado final es

V 2 (t)= V R 1 + R 2 ( R 2 + C 1 R 1 C 2 R 2 C 1 + C 2 exp( t T ) )

Comprobación

En el estado inicial t=0  tenemos que

V 2 = V C 1 C 1 + C 2

En el estado final t →∞ tenemos

V 2 = V R 2 R 1 + R 2

Intensidad de la corriente

La intensidad de la corriente i es igual a

i= C 2 d V 2 dt + V 2 R 2 i= V 0 R 1 + R 2 ( 1+ ( C 1 R 1 C 2 R 2 ) 2 R 1 R 2 ( C 1 + C 2 ) 2 exp( t T ) )

La intensidad es máxima en el instante t=0, y tiende hacia un valor constante V 0 R 1 + R 2 para t→∞

Caso particular

En el caso particular de que C1R1=C2R2 las diferencias de potencial V1 y V2 son independientes del tiempo, aunque la corriente sigue fluyendo a través de cada uno de los condensadores

V 2 = V R 2 R 1 + R 2 V 1 = V R 1 R 1 + R 2 q 2 = C 2 R 2 R 1 + R 2 V q 1 = C 1 R 1 R 1 + R 2 V

Como C1R1=C2R2 las cargas en los condensadores q1 y q2 son iguales.

Esta condición se puede cumplir eligiendo adecuadamente la constante dieléctrica k y la resistividad ρ del dieléctrico que se coloca entre las placas de un condensador plano paralelo, cuyas placas tiene un área A y están separadas una distancia d.

El producto de ambas magnitudes solamente depende de la constante dieléctrica k y de la resistividad ρ del dieléctrico, RC=ρkε0.

Siempre que de los dieléctricos que separan las placas de los dos condensadores sean tales que cumplan la relación ρ1k12k2 se cumplirá también que C1R1=C2R2

Ejemplos

Ejemplo 1:

C1=0.1; %micro Faradios
R1=5000; %mega Ohm
C2=0.5;
R2=1000;
V0=100.0; %voltios
T=R2*R1*(C1+C2)/(R1+R2);
V2=@(t) (V0/(R1+R2))*(R2+(C1*R1-C2*R2)*exp(-t/T)/(C1+C2));

t=linspace(0,3500,200);

subplot(2,1,1)
plot(t,(V0-V2(t))./V2(t))
xlabel('t')
ylabel('V_1/V_2')
grid on

subplot(2,1,2)
inten=@(t) (V0/(R1+R2))*(1+(C1*R1-C2*R2)*(C1*R1-C2*R2)*exp(-t/T)/((C1+C2)
*(C1+C2)*R1*R2));
plot(t,inten(t))
xlabel('t')
ylabel('i')
grid on

En la parte superior, se representa, V1/V2 en función de t. En el instante inicial t=0 la relación V1/V2=2.50. Después de un tiempo suficientemente grande t →∞, V1/V2=5.0

En la gráfica inferior, se representa la intensidad i, que tiende hacia un valor constante V R 1 + R 2 e igual a 0.0167 cuando t →∞

Ejemplo 2:

Se cumple el caso especial de que C1R1=C2R2. La relación V1/V2=5 en la situación inicial (t=0) y en la final (t →∞). Aunque la carga de cada condensador no cambia, la intensidad es 0.0167 no nula.

Referencias

French A, P. Are the Textbook Writers Wrong about Capacitors?. The Physics Teacher, Vol 31, March 1993, pp156-159