Potencial constante

Consideremos un condensador plano-paralelo cuyas armaduras son perpendiculares a la superficie de un dieléctrico líquido de constante dieléctrica k. Cuando introducimos el condensador en el recipiente que contiene el dieléctrico su superficie libre se eleva entre las placas del condensador, tal como se muestra en la figura.

Sean a y b las dimensiones de la placa rectangular. Si el dieléctrico está introducido una longitud x en el condensador su capacidad es la suma de las capacidades de dos condensadores uno de longitud x con dieléctrico y otro de longitud a-x en el vacío.

${\displaystyle C=\frac{k{\epsilon }_{0}bx}{d}+\frac{{\epsilon }_{0}b(a-x)}{d}}$

Si la diferencia de potencial en el condensador V permanece constante, entonces la fuerza vertical que se ejerce sobre la superficie libre del líquido dieléctrico, perpendicularmente a las líneas del campo es

${\displaystyle F_x={\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)}_V=\frac{1}{2}{V}^2\frac{\partial C}{\partial x}=\frac{{\epsilon }_0(k-1)b}{2d}{V}^2}$

Esta es la fuerza que hace que el líquido ascienda

En el equilibrio la fuerza que ejerce el campo eléctrico sobre el dieléctrico F_x se iguala al peso de la columna de líquido mg=ρ·g·bhd.

${\displaystyle h=\frac{{\epsilon }_0(k-1)}{2\rho g}{\left(\frac{V}{d}\right)}^2}$ (1)

La presión p que hace la columna de líquido de altura h es

${\displaystyle p=\frac{F_x}{bd}=\frac{{\epsilon }_0(k-1)}{2d^2}{V}^2=\frac{1}{2}{\epsilon }_0(k-1)E^2}$

Donde E=V/d es la intensidad del campo eléctrico entre las placas del condensador vacío.

La presión, en la superficie de separación entre dos medios dieléctricos es proporcional al cuadrado de la intensidad del campo eléctrico E.

Balance energético

La capacidad del condensador con dieléctrico aumenta, para que la diferencia de potencial entre las placas se mantenga constante en V, la batería tiene que suministrar carga al condensador. La batería suministra energía para incrementar la energía electrostática del condensador y a la vez, elevar el centro de masas del líquido dieléctrico en h/2.

En la situación inicial la energía asociada al campo eléctrico del condensador vacío es

${\displaystyle C_0=\frac{{\epsilon }_{0}ab}{d}{U}_0=\frac{1}{2}{C}_0{V}^2}$

En la situación de equilibrio, el condensador tiene en su interior una porción h de dieléctrico líquido. La energía asociada al campo eléctrico del condensador es

${\displaystyle \begin{array}{l}C=\frac{k{\epsilon }_{0}bh}{d}+\frac{{\epsilon }_{0}b(a-h)}{d}{U}_{\epsilon }=\frac{1}{2}C{V}^2\\ U_{\epsilon }=\frac{1}{2}\frac{{\epsilon }_0(k-1)b}{d}h{V}^2+\frac{1}{2}\frac{{\epsilon }_{0}ab}{d}{V}^2=\frac{1}{4}\frac{{\epsilon }_0^2{(k-1)}^{2}b}{\rho g{d}^3}{V}^4+\frac{1}{2}\frac{{\epsilon }_{0}ab}{d}{V}^2=\frac{1}{4}\frac{{\epsilon }_0^2{(k-1)}^{2}b}{\rho g{d}^3}{V}^4+U_0\end{array}}$

La porción h de dieléctrico que ha ascendido ha adquirido una energía potencial gravitatoria, su centro de masas se encuentra a h/2 de altura.

${\displaystyle U_g=\rho (bdh)g\frac{h}{2}=\frac{1}{2}\rho gbd{h}^2=\frac{1}{2}\rho gbd\frac{{\epsilon }_0^2{(k-1)}^2}{4{\rho }^2{g}^2}{\left(\frac{V}{d}\right)}^4=\frac{1}{8}\frac{{\epsilon }_0^2{(k-1)}^{2}b}{\rho g{d}^3}{V}^4}$

La energía suministrada por la batería será la diferencia entre la energía final U_g+U_ε y la energía inicial U₀.

${\displaystyle W=U_g+U_{\epsilon }-U_0=\frac{3}{8}\frac{{\epsilon }_0^2{(k-1)}^{2}bd}{\rho g}{\left(\frac{V}{d}\right)}^4}$

Actividades

El programa interactivo genera un valor aleatorio de la constante dieléctrica k entre 300 y 400, cada vez que se pulsa el botón titulado Nuevo.

• La distancia d entre las placas está fijada en el programa y su valor es 0.2 mm.
• La densidad ρ del fluido está también fijado en el programa y su valor es de 1.02 g/cm³.

Se introduce un valor de la diferencia de potencial V entre las placas del condensador, en el control titulado d. d. potencial.

Ejemplo:

Leemos en el voltímetro una diferencia de potencial de 80 V y medimos la altura que se eleva el fluido dieléctrico en la regla graduada, h=25.97 mm.

${\displaystyle 25.97·{10}^{-3}=\frac{1}{4\pi ·9·{10}^9}\frac{k-1}{2·9.8·1.02·{10}^3}{\left(\frac{80}{2·{10}^{-4}}\right)}^{2}k=368}$

Carga constante

Un condensador de placas paralelas está fijado en posición vertical, su parte inferior está en contacto con un dieléctrico líquido. Determinar la altura h del líquido entre las placas, despreciando los efectos capilares, suponiendo que la distancia d entre las placas es mucho menor que las dimensiones lineales de las mismas.

La energía inicial del condensador cargado es

${\displaystyle U_0=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_0}{C}_0=\frac{{\epsilon }_{0}ab}{d}}$

donde a (vertical) y b (horizontal) son las dimensiones de las placas rectangulares cargadas con una carga Q.

Cuando las placas entran en contacto con el dieléctrico líquido se ejerce una fuerza vertical sobre el mismo. La carga Q permanece constante. La disminución de la energía electrostática se compensa con el incremento de la energía potencial gravitatoria ya que no hay energía transferida al sistema desde el exterior.

Calculamos la capacidad C del condensador con una porción h de dieléctrico y su energía U_ε.

${\displaystyle \begin{array}{l}C=\frac{{\epsilon }_{0}kbh}{d}+\frac{{\epsilon }_{0}b(a-h)}{d}\\ U_{\epsilon }=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}\end{array}}$

La energía potencial gravitatoria de la porción de fluido es

${\displaystyle U_g=\rho \left(bdh\right)g\frac{h}{2}=\frac{1}{2}\rho bdg{h}^2}$

Aplicamos el principio de conservación de la energía

U₀= U_ε+U_g

${\displaystyle h^2+\frac{a}{(k-1)}h-\frac{Q^2}{\rho g({\epsilon }_{0}a{b}^2)}=0}$

El campo eléctrico del condensador vacío es

${\displaystyle E_0=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}=\frac{Q}{{\epsilon }_{0}ab}}$

donde σ es la densidad de carga de cada una de las placas en C/m².

${\displaystyle \begin{array}{l}{h}^2+\frac{a}{(k-1)}h-\frac{{\epsilon }_0{E}_0^{2}a}{\rho g}=0\\ h=\frac{1}{2}\frac{a}{(k-1)}\left(-1+\sqrt{1+\frac{4{\epsilon }_0{E}_0^2{(k-1)}^2}{\rho ga}}\right)\end{array}}$

Habitualmente, la altura h de dieléctrico en el condensador es mucho menor que la altura a de las placas.

${\displaystyle h\approx \frac{{\epsilon }_0(k-1)}{\rho g}{E}_0^2}$