Fuerza sobre un dieléctrico (II)
Potencial constante

Consideremos un condensador plano-paralelo cuyas armaduras son perpendiculares a la superficie de un dieléctrico líquido de constante dieléctrica k. Cuando introducimos el condensador en el recipiente que contiene el dieléctrico su superficie libre se eleva entre las placas del condensador, tal como se muestra en la figura.
Sean a y b las dimensiones de la placa rectangular. Si el dieléctrico está introducido una longitud x en el condensador su capacidad es la suma de las capacidades de dos condensadores uno de longitud x con dieléctrico y otro de longitud a-x en el vacío.
Si la diferencia de potencial en el condensador V permanece constante, entonces la fuerza vertical que se ejerce sobre la superficie libre del líquido dieléctrico, perpendicularmente a las líneas del campo es
Esta es la fuerza que hace que el líquido ascienda

En el equilibrio la fuerza que ejerce el campo eléctrico sobre el dieléctrico Fx se iguala al peso de la columna de líquido mg=ρ·g·bhd.
La presión p que hace la columna de líquido de altura h es
Donde E=V/d es la intensidad del campo eléctrico entre las placas del condensador vacío.
La presión, en la superficie de separación entre dos medios dieléctricos es proporcional al cuadrado de la intensidad del campo eléctrico E.
Balance energético
La capacidad del condensador con dieléctrico aumenta, para que la diferencia de potencial entre las placas se mantenga constante en V, la batería tiene que suministrar carga al condensador. La batería suministra energía para incrementar la energía electrostática del condensador y a la vez, elevar el centro de masas del líquido dieléctrico en h/2.
En la situación inicial la energía asociada al campo eléctrico del condensador vacío es
En la situación de equilibrio, el condensador tiene en su interior una porción h de dieléctrico líquido. La energía asociada al campo eléctrico del condensador es
La porción h de dieléctrico que ha ascendido ha adquirido una energía potencial gravitatoria, su centro de masas se encuentra a h/2 de altura.
La energía suministrada por la batería será la diferencia entre la energía final Ug+Uε y la energía inicial U0.
Actividades
El programa interactivo genera un valor aleatorio de la constante dieléctrica k entre 300 y 400, cada vez que se pulsa el botón titulado Nuevo.
- La distancia d entre las placas está fijada en el programa y su valor es 0.2 mm.
- La densidad ρ del fluido está también fijado en el programa y su valor es de 1.02 g/cm3.
Se introduce un valor de la diferencia de potencial V entre las placas del condensador, en el control titulado d. d. potencial.
Ejemplo:
Leemos en el voltímetro una diferencia de potencial de 80 V y medimos la altura que se eleva el fluido dieléctrico en la regla graduada, h=25.97 mm.
Carga constante
Un condensador de placas paralelas está fijado en posición vertical, su parte inferior está en contacto con un dieléctrico líquido. Determinar la altura h del líquido entre las placas, despreciando los efectos capilares, suponiendo que la distancia d entre las placas es mucho menor que las dimensiones lineales de las mismas.
La energía inicial del condensador cargado es
donde a (vertical) y b (horizontal) son las dimensiones de las placas rectangulares cargadas con una carga Q.
Cuando las placas entran en contacto con el dieléctrico líquido se ejerce una fuerza vertical sobre el mismo. La carga Q permanece constante. La disminución de la energía electrostática se compensa con el incremento de la energía potencial gravitatoria ya que no hay energía transferida al sistema desde el exterior.
Calculamos la capacidad C del condensador con una porción h de dieléctrico y su energía Uε.
La energía potencial gravitatoria de la porción de fluido es
Aplicamos el principio de conservación de la energía
U0= Uε+Ug
El campo eléctrico del condensador vacío es
donde σ es la densidad de carga de cada una de las placas en C/m2.
Habitualmente, la altura h de dieléctrico en el condensador es mucho menor que la altura a de las placas.
Movimiento del líquido dieléctrico

Consideremos un condensador cilíndrico de longitud L cuyo radio interior es a y exterior b, con L>>b
El condensador en posición vertical se introduce parcialmente en un líquido dieléctrico contenido en un recipiente grande, de tal manera, que la superficie del líquido esté lejos de los extremos del condensador. Siendo L0 la parte sumergida
Se aplica un diferencia de potencial entre las placas del condensador, se observa que el líquido dieléctrico se eleva entre sus placas. En este apartado, calculamos la altura máxima que alcanza el líquido dieléctrico y el tiempo que tarda en alcanzarlo.
En el instante t=0, se concetan las placas del condensador a una batería, en el instante t el líquido se ha elevado x tal como se muestra en la figura
El campo eléctrico en el condensador cilíndrico tiene dirección radial y su módulo es (de acuerdo con la ley de Gauss)
Donde ε0 es la permitividad en el vacío y ε es la permitividad en el dieléctrico. λ1 y λ2 son las densidades lineales de carga libre de la parte superior (vacío) e inferior (dieléctrico)
La diferencia de potencial entre las placas es V
La carga del condensador es
La capacidad del condensador es
Alternativamente, obtenemos la capacidad del condensador sumando de las capacidades de un condensador cilíndrico vacío de longitud L-(L0+x) y de otro con dieléctrico de longitud L0+x
Potencial constante
La energía del condensador es
La fuerza sobre el dieléctrico es
Esta fuerza es constante
Ecuación del movimiento del líquido dieléctrico
Se trata de un problema de masa variable
La segunda fuerza se justifica del siguiente modo: la presión en la parte inferior de la columna de líquido que hay dentro del condensador es mayor que la presión en la superficie libre, la diferencia es ρgL0, donde ρ es la densidad del líquido dieléctrico. Esto da lugar a una fuerza hacia arriba producto de la diferencia de presión por el área de la sección, , se le añade a la fuera electrostática F y al peso mg
Obtenemos una ecuación diferencial en términos de la variable x
Para simplificar la ecuación diferencial, definimos las siguientes magnitudes
Obtenemos la ecuación diferencial
Para resolver la ecuación diferencial se hace el cambio de variable
La ecuación diferencial se convierte en
El procedimiento para obtener la solución de esta ecuación diferencial se explica en la página titulada Ecuaciones diferenciales (I) en el apartado Ecuaciones diferenciales exactas
Cambiamos el nombre de las variables p por t y ξ por x
Comprobamos que no es diferencial exacta
Buscamos un factor integrante μ
Comprobamos que es diferencial exacta
Obtenemos la solución de la ecuación diferencial
Regresando a la notación original, cambiando p por t, x por ξ
La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, en el instante t=0, x=0, dx/dt=0. O bien, τ=0, ξ=L0/a0=α, p=dξ/dτ=0
La ecuación que hay que integrar es
El líquido dieléctrico alcanza la máxima altura cuando la velocidad es nula, p=dξ/dτ=0
Una solución es ξ=α, que es la altura inicial, las otras dos son
El tiempo Τ que tarda en alcanzar la altura máxima ξm es
Buscamos en la tabla de integrales la solución
En este caso, a es ξm, u es b=α y c es ξ1
E(p) y K(p) son integrales elípticas completas
Nota: la expresión del tiempo Τ difiere de la deducida por los autores del primer artículo citado en las Referencias
Datos
- radio interior, a=1.0 cm
- radio exterior, b=2.0 cm
- longitud del condensador, L=20 cm
- el extremos inferior está a una profundidad, L0=10 cm
- Se conecta el condensador a una batería, V=5000 V
a=1/100; %radio interior b=2/100; %radio exterior L=20/100; %longitud del condensador L0=10/100; %profundidad V=5000; %batería k=80; %permitividad relativa del líquido rho=1000; %densidad del líquido a0=(k-1)*V^2/(4*pi*9e9*rho*9.8*(b^2-a^2)*log(b/a)); alfa=L0/a0; t0=sqrt(a0/9.8); xi_m=(alfa+3+3*sqrt(alfa^2+10*alfa/3+1))/4; xi_1=abs((3*sqrt(alfa^2+10*alfa/3+1)-alfa-3)/4); %valor absoluto p2=(xi_m-alfa)/(xi_m+xi_1); [K,E]=ellipke(p2); T=sqrt(6)*t0*(K/sqrt(xi_m+xi_1)+xi_m*E*sqrt(xi_m+xi_1)/alfa); disp([xi_m,a0*xi_m-L0]) %altura máxima disp([T,t0*T]) %tiempo en alcanzarla
La altura máxima es ξm=13.6195 o bien, xm=0.0167 m=1.67 cm. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima es Τ=0.6038 o bien, tm=0.0179 s
13.6195 0.0167 0.6038 0.0179
Carga constante
La fuerza sobre el dieléctrico es
Que es una fuerza variable
Ecuación del movimiento del líquido dieléctrico
Reordenando términos
Para simplificar la ecuación diferencial, definimos las siguientes magnitudes
El resultado es
Esta ecuación diferencial no tine solución analítica. Se resuelve aplicando procedimientos numéricos, con las condiciones iniciales, en el instante t=0, x=0, dx/dt=0. O bien, τ=0, ξ=L0/a0=α, p=dξ/dτ=0.
Referencias
Rafael Nardi, Nivaldo A Lemos. Dynamics of a liquid dielectric attracted by a cylindrical capacitor. Eur. J. Phys. 28 (2007) pp. 125-134
I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series, and Products. Seventh Edition. Elsevier (2007). Página 257, 3.132, n° 5