Carga inducida en un conductor plano

El caso más sencillo es el de una carga q situada a una distancia d de una placa conductora conectada a Tierra. La placa puede reemplazarse por una carga imagen -q, tal como se muestra en la figura.

El plano que corta perpendicularmente a la línea que une las dos cargas y que está a la misma distancia de ambas, está a un potencial cero. La parte derecha de la figura, se ha obtenido con el primer programa interactivo de la página titulada "El campo eléctrico de un sistema de dos cargas"

Consideremos el sistema de cargas de la figura, formada por dos cargas +q y -q separadas una distancia 2d. El potencial en el punto P de coordenadas (x,y) producido por las dos cargas es

V= 1 4π ε 0 ( q (d+x) 2 + y 2 q (dx) 2 + y 2 )

Por simetría, el potencial en el eje Y y en cualquier punto del plano perpendicular a la línea que une ambas cargas que contiene a dicho eje, es cero.

El campo eléctrico E en las proximidades de dicho plano conductor es perpendicular al plano, (tiene la dirección del eje X) tal como se ve en las líneas de fuerza de color blanco de la figura.

E x = V x = q 4π ε 0 ( d+x ( (d+x) 2 + y 2 ) 3/2 + dx ( (dx) 2 + y 2 ) 3/2 )

Carga inducida en el plano conductor

En los puntos del plano conductor, x=0.

E x = q 4π ε 0 2d ( d 2 + y 2 ) 3/2

El campo eléctrico en las proximidades de un conductor, tiene por módulo Ex=σ/ε0. Donde σ es la densidad de de carga. Como el sentido del campo eléctrico es hacia el conductor, la densidad de carga σ es negativa σ=-Ex·ε0

σ= qd 2π 1 ( d 2 + y 2 ) 3/2

f=@(x) 1./(1+x.^2).^(3/2);
fplot(f,[0,5])
grid on
xlabel('y/d')
ylabel('\sigma')
title('Densidad de carga')

La distribución de carga inducida en el plano conductor tiene simetría cilíndrica alrededor del eje perpendicular al plano y que pasa por la carga. La carga dq inducida en al anillo de radio y, de anchura dy es dq=σ·2πy·dy (figura de la derecha). La carga total inducida en el plano conductor se calcula integrando respecto de y entre 0 e ∞

Q= 0 qd 2π 1 ( d 2 + y 2 ) 3/2 2πydy= qd 2 0 1 ( d 2 + y 2 ) 3/2 2ydy=q

La carga inducida en el plano conductor es tanto mayor cuanto mayor sea la intensidad del campo eléctrico Ex, en el origen y va disminuyendo a medida que nos alejamos radialmente a lo largo del plano

Péndulo frente a un conductor plano

Consideremos un péndulo simple, una partícula de masa m y carga q unida a un hilo inextensible y de masa despreciable de longitud l. El centro de oscilación O está situado a una distancia de 3l/2 de una placa plana conductora conectada a tierra.

En la figura, se muestra la carga imagen -q, situada a una distancia lsinθ+3l/2 de la placa conductora

Soltamos el péndulo cuando hace un ángulo θ=30° con la dirección vertical. Calculamos la carga q que deberá llevar para que la posición final del péndulo sea θ=-π/2.

Aplicamos el principio de conservación de la energía. En la situación inicial y en la final la velocidad del péndulo es nula. La energía potencial es la suma de dos contribiciones: la energía potencial gravitatoria y la energía potencial eléctrica de un sistema de dos cargas

E i =mglcosθ+ 1 2 (q)( 1 4π ε 0 q 2( 3 2 l+lsinθ ) ) E f =0+ 1 2 (q)( 1 4π ε 0 q 2( 3 2 ll ) )

Despejamos la carga q y la denominamos qc

q c = 4π ε 0 (mg) 2l 3 1/4

Ecuación del movimiento

Las fuerzas sobre la partícula son

La ecuación del movimiento de la partícula cargada en la dirección tangencial es

ml d 2 θ d t 2 =mgsinθ F e cosθ ml d 2 θ d t 2 =mgsinθ 1 4π ε 0 q 2 2 2 ( 3 2 l+lsinθ ) 2 cosθ d 2 θ d t 2 = g l { sinθ+ 1 3 ( q q c ) 2 cosθ ( 3/2 +sinθ ) 2 }

Resolvemos la ecuación del movimiento por el procedimiento numérico ode45 con las siguienets condiciones iniciales, en el instante t=0, θ=π/6, dθ/dt=0, parte del reposo

La longitud del péndulo l=1 m, y su carga es qc. Representamos la posición θ en función del tiempo t durante varios periodos

L=1; %longitud del péndulo
Q=1; %relación cargas
fg=@(t,x)[x(2); -9.8*(sin(x(1))+Q^2*cos(x(1))/(sqrt(3)*(sin(x(1))+3/2)^2))/L];
[t,x]=ode45(fg,[0,10],[pi/6,0]);
plot(t,x(:,1))
set(gca,'YTick',-pi/2:pi/6:pi/6)
set(gca,'YTickLabel',{'-\pi/2','-\pi/3','-\pi/6','0','\pi/6'})
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta');
title('Péndulo, placa conductora')

El péndulo se desplaza entre θ=π/6 y θ=-π/2

Actividades

Introducimos

Observamos el movimiento del péndulo frente a una placa plana conductora conectada a tierra. Se representa la carga imagen -q como un punto de color azul

Se porporcionan los datos del tiempo t, la posición angular θ en grados y la velocidad angular dθ/dt en rad/s


Referencias

Physics Challenge for Teachers and Students. Mirror, mirror... and a ball!. Phys. Teach. 59, 137 (2021); https://doi.org/10.1119/10.0003474

Solution to the February, 2021 Challenge. Mirror, mirror... and the wall!*. Phys. Teach. 59, A303 (2021). https://doi.org/10.1119/10.0004175