Carga inducida en un conductor plano

El caso más sencillo es el de una carga q situada a una distancia d de una placa conductora conectada a Tierra. La placa puede reemplazarse por una carga imagen -q, tal como se muestra en la figura.

El plano que corta perpendicularmente a la línea que une las dos cargas y que está a la misma distancia de ambas, está a un potencial cero. La parte derecha de la figura, se ha obtenido con el primer programa interactivo de la página titulada "El campo eléctrico de un sistema de dos cargas"

Consideremos el sistema de cargas de la figura, formada por dos cargas +q y -q separadas una distancia 2d. El potencial en el punto P de coordenadas (x,y) producido por las dos cargas es

V= 1 4π ε 0 ( q (d+x) 2 + y 2 q (dx) 2 + y 2 )

Por simetría, el potencial en el eje Y y en cualquier punto del plano perpendicular a la línea que une ambas cargas que contiene a dicho eje, es cero.

El campo eléctrico E en las proximidades de dicho plano conductor es perpendicular al plano, (tiene la dirección del eje X) tal como se ve en las líneas de fuerza de color blanco de la figura.

E x = V x = q 4π ε 0 ( d+x ( (d+x) 2 + y 2 ) 3/2 + dx ( (dx) 2 + y 2 ) 3/2 )

Carga inducida en el plano conductor

En los puntos del plano conductor, x=0.

E x = q 4π ε 0 2d ( d 2 + y 2 ) 3/2

El campo eléctrico en las proximidades de un conductor, tiene por módulo Ex=σ/ε0. Donde σ es la densidad de de carga. Como el sentido del campo eléctrico es hacia el conductor, la densidad de carga σ es negativa σ=-Ex·ε0

σ= qd 2π 1 ( d 2 + y 2 ) 3/2

f=@(x) 1./(1+x.^2).^(3/2);
fplot(f,[0,5])
grid on
xlabel('y/d')
ylabel('\sigma')
title('Densidad de carga')

La distribución de carga inducida en el plano conductor tiene simetría cilíndrica alrededor del eje perpendicular al plano y que pasa por la carga. La carga dq inducida en al anillo de radio y, de anchura dy es dq=σ·2πy·dy (figura de la derecha). La carga total inducida en el plano conductor se calcula integrando respecto de y entre 0 e ∞

Q= 0 qd 2π 1 ( d 2 + y 2 ) 3/2 2πydy= qd 2 0 1 ( d 2 + y 2 ) 3/2 2ydy=q

La carga inducida en el plano conductor es tanto mayor cuanto mayor sea la intensidad del campo eléctrico Ex, en el origen y va disminuyendo a medida que nos alejamos radialmente a lo largo del plano