Se conectan dos condensadores

El caso más importante sucede cuando se conectan las placas del mismo signo de dos condensadores de capacidades C1 y C2. Si inicialmente, el condensador C1 se ha cargado con una carga Q y se conecta al condensador C2 inicialmente descargado. Después de conectarlos, las cargas pasan de un condensador al otro hasta que se igualan los potenciales.

Las cargas finales de cada condensador q1 y q2, se obtienen a partir de las ecuaciones de la conservación de la carga y de la igualdad de potenciales de los condensadores después de la unión.

Q= q 1 + q 2 V= q 1 C 1 = q 2 C 2

Despejando q1 y q2, en el sistema de dos ecuaciones

q 1 =Q C 1 C 1 + C 2 q 2 =Q C 2 C 1 + C 2

La energía inicial, es la almacenada en forma de campo eléctrico en el condensador de capacidad C1

U i = 1 2 Q 10 2 C 1 + 1 2 Q 20 2 C 2

La energía final, es la suma de las energías almacenadas en los dos condensadores

U f = 1 2 q 1 2 C 1 + 1 2 q 2 2 C 2 = 1 2 Q 2 C 1 + C 2

Como vemos la energía final Uf es menor que la inicial Ui.

En la figura, se muestra la analogía hidráulica de un sistema formado por dos condensadores en paralelo.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un condensador cargado a una diferencia de potencial V, la carga que adquiere el condensador es Q0=C·V. La energía acumulada en el condensador es U 0 = 1 2 C V 2

Conectamos este condensador a otro idéntico inicialmente descargado. Cuando el circuito se cierra la carga fluye del primero hacia el segundo hasta que la diferencia de potencial en ambos condensadores es la misma.

Como la capacidad C de ambos condensadores es la misma, la carga final de cada uno de los condensadores será la mitad de la carga inicial

Q 1 = Q 0 2 V 1 = V 2 Q 2 = Q 0 2 V 2 = V 2

La energía acumulada por el sistema formado por los dos condensadores es

U= 1 2 C V 1 2 + 1 2 C V 2 2 = 1 4 C V 2 = 1 2 U 0

La energía final es la mitad de la energía inicial. Siempre se perderá la mitad de la energía independientemente de que cambiemos o no la resistencia de los cables que unen los condensadores.

Analogía hidráulica

Supongamos dos depósitos cilíndricos iguales conectados por un tubo horizontal de sección despreciable, tal como se indica en la figura, el primero de ellos con una masa m de agua, y el segundo vacío.

La energía inicial del agua es la energía potencial del centro de masas del agua que está a una altura h de la base. U0=mgh

Si se abre la llave, el agua fluye del primer depósito al segundo, hasta que la altura del agua es la misma en ambos. Por tanto, el agua se reparte por igual entre los dos depósitos. La energía final será

U= m 2 g h 2 + m 2 g h 2 = 1 2 mgh= 1 2 U 0

la mitad de la energía inicial.

Como hemos visto, si no hubiese resistencia alguna, no habría pérdidas, ya que la energía potencial del agua se transforma en cinética del agua que fluye y viceversa. El agua pasaría de un depósito al otro, se produciría un movimiento oscilatorio. Lo mismo ocurriría en un sistema de dos condensadores, la carga oscilaría entre los dos condensadores.

La resistencia del tubo, que conecta los dos depósitos, al movimiento del agua es análoga a la resistencia de los cables que conectan los dos condensadores, el primero se opone al flujo del agua, el segundo al flujo de carga. Después de unas cuantas oscilaciones se alcanza la situación final de equilibrio.

La situación final no se alcanza por tanto, de una vez, sino después de un cierto tiempo tanto más pequeño cuanto mayor sea la resistencia.

Circuito formado por dos condensadores y una resistencia

Consideremos el siguiente circuito formado por dos condensadores de capacidades C1 y C2 y una resistencia R.

El condensador de capacidad C1 está cargado con una carga Q10 y el condensador de capacidad C2 está está cargado con una carga Q20. En el instante t=0, se cierra el circuito.

En un instante dado t, tendremos que

Medimos las diferencias de potencial entre los puntos a y b, b y c, c y a. Se cumplirá que

Vab+Vbc+Vca=0

La ecuación del circuito será

q 1 C 1 +iR+ q 2 C 2 =0

Supongamos que la carga q1 disminuye con el tiempo y la carga q2 aumenta con el tiempo, la intensidad i (carga por unidad de tiempo) valdrá

i= d q 1 dt = d q 2 dt

Derivamos la ecuación del circuito respecto del tiempo

1 C 1 d q 1 dt +R di dt + 1 C 2 d q 2 dt =0R di dt + C 1 + C 2 C 1 · C 2 i=0R di dt + 1 C i=0

Integramos la ecuación diferencial con la siguiente condición inicial: en el instante t=0, la intensidad i=i0.

En el instante inicial t=0, el condensador de capacidad C2 tiene una carga Q20, el condensador de capacidad C1 tiene una carga inicial Q10.

Q 10 C 1 + i 0 R+ Q 20 C 2 =0

La solución de la ecuación diferencial es

i= i 0 exp( t R·C )C= C 1 · C 2 C 1 + C 2 i 0 = 1 R ( Q 10 C 1 Q 20 C 2 ) 

Calculamos las cargas de cada condensador en función del tiempo con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la carga del condensador C1 es q1=Q10, y la carga del condensador C2 es q2=Q20.

i= d q 1 dt                q 1 = Q 10 RC i 0 ( 1exp( t RC ) ) i= d q 2 dt                q 2 = Q 20 +RC i 0 ( 1exp( t RC ) )

Como vemos q1+q2=Q10+Q20, la carga total en los condensadores es la carga inicial.

Después de un tiempo teóricamente infinito, se establece una situación de equilibrio en el que las cargas finales de los condensadores serán

q 1 =( Q 10 + Q 20 ) C 1 C 1 + C 2 q 2 =( Q 10 + Q 20 ) C 2 C 1 + C 2

Estudio energético

Parte de la energía inicial se disipa en la resistencia y la otra parte, se almacena en los condensadores en forma de campo eléctrico.

Uf=Ui-UR

Ejemplo:

  1. Calcular la carga de cada condensador en el instante t=3, la energía inicial almacenada en los condensadores, la energía de los dos condensadores en dicho instante y la energía disipada en la resistencia.

  2. Calcular la carga final de cada condensador en el instante t=∞, la energía final de los dos condensadores en dicho instante y la energía total disipada en la resistencia.

C= C 1 · C 2 C 1 + C 2 = 1·5 1+5 = 5 6 i 0 = 1 R ( Q 10 C 1 Q 20 C 2 )= 1 2 ( 5 1 3 5 )= 14 5

En el instante t=3, la carga de cada condensador es

q 1 =52· 5 6 · 14 5 ( 1exp( 9 5 ) )=1.105 q 2 =3+2· 5 6 · 14 5 ( 1exp( 9 5 ) )=0.895

La energía inicial y la energía almacenada en los condensadores en el instante t=3 es

U i = 1 2 5 2 1 + 1 2 (3) 2 5 = 67 5 =13.4 U f = 1 2 1.105 2 1 + 1 2 0.895 2 5 =0.69

La energía disipada en la resistencia hasta dicho instante vale

U R = 0 t i 2 R·dt = i 0 2 R 0 t exp( 2t RC )·dt= 1 2 i 0 2 R 2 C( 1exp( 2t RC ) )=12.71

La carga final t→∞ de cada condensador vale

q 1 =52· 5 6 · 14 5 = 1 3 q 2 =3+2· 5 6 · 14 5 = 5 3

La energía final almacenada en los condensadores es

U f = 1 2 (1/3) 2 1 + 1 2 (5/3) 2 5 = 1 3

La energía total disipada en la resistencia vale

U R = 0 i 2 R·dt = i 0 2 R 0 exp( 2t RC )·dt= 1 2 i 0 2 R 2 C= 196 15

Como puede comprobarse

Uf=Ui-UR

Actividades

Se ha fijado

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de cargas entre los condensadores desde el estado inicial al estado final.