Descarga de un condensador

Consideremos ahora el circuito que consta de un condensador, inicialmente cargado con carga Q y una resistencia R y se cierra el interruptor I.

La ecuación del circuito será la siguiente.

Vab+Vba=0

La ecuación del circuito es

iR q C =0

Como la carga disminuye con el tiempo i=-dq/dt. La ecuación a integrar es

R dq dt = q C Q q dq q = 1 RC 0 t dt q=Qexp( t RC )

La carga del condensador disminuye exponencialmente con el tiempo. Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la intensidad, en el sentido indicado en la figura.

i= dq dt = Q RC exp( t RC )

que disminuye exponencialmente con el tiempo.

Balance energético

Comprobamos que Ec=E0-ER. La energía en el condensador se disipa en la resistencia. Cuando se completa el proceso de descarga t→∞, toda la energía almacenada en el condensador se ha disipado en la resistencia

Ejemplo:

Sea un condensador de capacidad C=1.5 μF en serie con una resistencia de R=58 kΩ cargado inicialmente con Q=45 μC. Empecemos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el instante t=60 ms

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa la descarga del condensador, su color pasa gradualmente de rojo (carga positiva) y azul (carga negativa) a blanco (descargado). A la derecha, se traza la gráfica de la carga q y de la intensidad i en función del tiempo.

Elegir dos valores de la resistencia R1 y R2 y dos valores de la capacidad C1 y C2 de modo que R1·C1=R2·C2. Observar como decrece la carga y la intensidad.


Práctica de laboratorio

En el laboratorio utilizamos el circuito mostrado en la fotografía, que consta de una batería, una pila estándar de 1.5 V, una resistencia de 15000 Ω y un condensador de 1000 μF. Seleccionamos carga (Charge) esperamos un tiempo hasta que se carga el condensador. Seleccionamos descarga (Discharge) y medimos la diferencia de potencial entre los extremos del condensador Vbc con un sensor Voltage/Current de PASCO. El programa CAPSTONE recoge los datos, realiza la representación gráfica y el ajuste de dichos datos seleccionado en el menú Exponencial natural.

V bc = q C = V 0 exp( t RC )

Donde V0=Q/C es la diferencia de potencial inicial entre los extremos del condensador y Q es la carga inicial del condensador, en el instante t=0

El parámetro B=0.0606, es igual a 1/RC donde R=15000 Ω, por lo que la capacidad del condensador es C=1.1·10-3 F=1100 μF que es aproximadamente igual a la que hemos obtenido durante el proceso de carga.

El parámetro B=0.0268, es igual a 1/RC donde R=15000 Ω, por lo que la capacidad del condensador es C=2488 μF que es aproximadamente igual a la que hemos obtenido durante el proceso de carga.

Ajuste de datos con MATLAB

Vamos a utilizar MATLAB para realizar un ajuste lineal de los datos experimentales (t,x) guardados en un fichero de texto generado por DataStudio

Para realizar el ajuste lineal tomamos logaritmos

ln V bc =ln V 0 t RC

Obtenemos la ecuación de una recta cuya pendiente es -1/RC y cuya ordenada en el origen es lnV0

En primer lugar, preparamos los datos: Con el Bloc de Notas de Windows o similar, eliminamos la cabecera (dos líneas). Seleccionamos en el menú Edición/Reemplazar y sustituímos la coma (que separa la parte entera de los decimales) por un punto. Guardamos el fichero rc_2.txt y lo colocamos en una carpeta accesible a MATLAB.

Elaboramos un script que realice las siguientes tareas:

  1. Importar las dos columnas de datos con el comando load
  2. Extraer la primera columna de los datos de tiempo y guardarla en el vector t
  3. Extraer la segunda columna que corresponde a los datos de las diferencia de potencial Vbc y guardar su logaritmo log(Vbc) en el vector x.
  4. Representar los datos experiementales
  5. En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1*x+p2 de ajuste.
load rc_2.txt
t=rc_2(:,1);
x=log(rc_2(:,2));
hold on
%representa los datos experimentales
plot(t,x,'o','markersize',2,'markerfacecolor','b')
title('Descarga de un condensador')
xlabel('tiempo (s)')
ylabel('Voltaje (V)')
grid on

La diferencia de potencial V0 inicial entre los extremos del condensador vale exp(0.37682)=1.46 V y el cociente 1/RC=0.061273. Si la resistencia del circuito R=15000 Ω, la capacidad del condensador vale C=1088 μF