Condensadores cilíndrico y esférico

Condensador cilíndrico

El campo existente entre las armaduras de un condensador cilíndrico de radio interior a, radio exterior b y longitud L, cargado con cargas +Q y –Q, respectivamente, se calcula aplicando la ley de Gauss a la región a<r<b, ya que tanto fuera como dentro del condensador el campo eléctrico es cero.

La aplicación del teorema de Gauss, es similar al de una línea cargada,y  requiere los siguientes pasos:

  1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
  2. La dirección del campo es radial y perpendicular al eje del cilindro.

  3. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
  4. Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L. Tal como se muestra en la figura. El cálculo del flujo, tiene dos términos:

  5. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
  6. La carga en el interior de la superficie cerrada vale +Q, que es la carga de la armadura cilíndrica interior

  7. Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
  8. E2πrL= Q ε 0 E= Q 2π ε 0 rL

Ahora, es fácil demostrar, aplicando el teorema de Gauss que el campo en las regiones r<a y r>b es nulo.

En la figura, se muestra la representación gráfica del campo E en función de la distancia radial r.

La diferencia de potencial entre las placas del condensador se calcula integrando, (área sombreada de la figura).

VV'= a b Edr = Q 2π ε 0 L ln b a

La capacidad es

C= Q VV' = 2π ε 0 L ln(b/a)

La capacidad solamente depende de la geometría del condensador (radio a y radio b de sus armaduras, y longitud L del condensador)

Energía del condensador

U= 1 2 C V 2

Condensador esférico

Un condensador esférico está formado por dos superficies conductoras esféricas, concéntricas de radios a y b, cargadas con cargas iguales y opuestas +Q y –Q, respectivamente.

Situamos imaginariamente, una superficie esférica concéntrica de radio r, para determinar el campo eléctrico en las distintas regiones aplicando la ley de Gauss.

En este problema de simetría esférica, el campo eléctrico tiene dirección radial y su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica de radio r. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie cerrada vale

E·dS = E·dS·cos0º =E dS =E·4π r 2

Determinamos la carga q encerrada en dicha superficie esférica, para distintos valores del radio r, aplicamos la ley de Gauss

E·dS = q ε 0

En la figura, se representa el módulo del campo E en función de r.

La diferencia de potencial entre las dos placas es de radios a y b es

V'V= a b 1 4π ε 0 Q r 2 dr= 1 4π ε 0 ( 1 a 1 b )

La capacidad de un condensador esférico es

C= Q V'V = 4π ε 0 (1/a1/b)

Si el radio del segundo conductor esférico es muy grande b→∞, entonces tenemos la capacidad de un condensador esférico de radio R=a

C=4π ε 0 R

Suponiendo que la Tierra es un conductor esférico de radio R=6370 km, su capacidad sería

C= 6370· 10 3 9· 10 9 =7.08· 10 4 F

Dos esferas conductoras

Sean dos esferas conductoras de radios R1 y R2 respectivamente, que están inicialmente aisladas una de la otra y cargadas con cargas Q1 y Q2 respectivamente.

Los potenciales de las superficies de las dos esferas son, respectivamente

V 1 = 1 4π ε 0 Q 1 R 1 V 2 = 1 4π ε 0 Q 2 R 2

Se ponen en contacto las dos esferas mediante un cable. La carga pasa de una esfera a la otra hasta que sus potenciales se igualan.

V= 1 4π ε 0 q 1 R 1 = 1 4π ε 0 q 2 R 2 Q 1 + Q 2 = q 1 + q 2

En este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas despejamos q1 y q2

q 1 = R 1 R 1 + R 2 ( Q 1 + Q 2 ) q 2 = R 2 R 1 + R 2 ( Q 1 + Q 2 ) 

El potencial común V vale

V= Q 1 + Q 2 R 1 + R 2