Carga de un condensador

En el circuito de la figura tendremos que la suma

Vab+Vbc+Vca=0

La ecuación del circuito es

iR+ q C V ε =0

Teniendo en cuenta que la intensidad se define como la carga que atraviesa la sección del circuito en la unidad de tiempo, i=dq/dt, tendremos la siguiente ecuación para integrar

R dq dt = V ε q C 0 q dq C V ε q = 1 RC 0 t dt q=C V ε ( 1exp( t RC ) )

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la intensidad en función del tiempo

i= dq dt = V ε R exp( t RC )

La carga tiende hacia un valor máximo C·Vε al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito.

La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo, hasta que se hace cero cuando el condensador adquiere la carga máxima.

La cantidad RC que aparece en el denominador de t se denomina constante de tiempo del circuito. Éste, representa el tiempo que tomará a la corriente para decrecer hasta 1/e de su valor inicial.

Balance energético

Comprobamos que Eb=ER+EC. Parte de la energía suministrada en la batería se disipa en la resistencia y otra parte, se acumula en el condensador.

Cuando se completa el proceso de carga t→∞, la mitad de la energía suministrada por la batería se disipa en la resistencia y la otra mitad se acumula en el condensador.

Ejemplo:

Sea un condensador de capacidad C=1.5 µF en serie con una resistencia de R=58 kΩ y una batería de Vє=30 V. Empezamos a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor. En el instante t=60 ms

Cuando se completa el proceso de carga t→∞,

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa la carga del condensador, su color pasa gradualmente de blanco (sin carga) a rojo (carga positiva) y azul (carga negativa). A la derecha, se traza la gráfica de la carga q y de la intensidad i en función del tiempo.

Observar

Elegir dos valores de la resistencia R1 y R2 y dos valores de la capacidad C1 y C2 de modo que R1·C1=R2·C2.


Práctica de laboratorio

En el laboratorio utilizamos el circuito mostrado en la fotografía, que consta de una batería, una pila estándar de 1.5 V, una resistencia de 15000 Ω y un condensador de 1000 μF. Seleccionamos carga (Charge) y medimos la diferencia de potencial entre los extremos del condensador Vbc con un sensor Voltage/Current de PASCO. El programa CAPSTONE recoge los datos, realiza la representación gráfica y el ajuste de dichos datos seleccionado en el menú Exponencial inversa.

V bc = q C = V ε ( 1exp( t RC ) )

El parámetro B=0.0608, es igual a 1/RC donde R=15000 Ω, por lo que la capacidad del condensador es C=1.096·10-3 F=1096 μF

Probamos con otro condensador

El parámetro B=0.0269, es igual a 1/RC donde R=15000 Ω, por lo que la capacidad del condensador es C=2478 μF

Condensadores en paralelo

El parámetro B=0.0184, es igual a 1/RC donde R=15000 Ω, por lo que la capacidad del condensador equivalente es Ce=3623 μF

Cuando agrupamos dos condensadores en paralelo C1=1096 μF y C2=2478 μF, su capacidad equivalente se obtiene mediante la fórmula Ce=C1+C2=3574 μF

Condensadores en serie

El parámetro B=0.0878, es igual a 1/RC donde R=15000 Ω, por lo que la capacidad del condensador equivalente es Ce=759 μF

Cuando agrupamos dos condensadores en serie C1=1096 μF y C2=2478 μF, su capacidad equivalente se obtiene mediante la fórmula

1 C e = 1 C 1 + 1 C 2

El resultado es Ce=760 μF

Ajuste de datos con MATLAB

Vamos a utilizar MATLAB para realizar un ajuste no lineal de los datos experimentales (t,x) guardados en un fichero de texto generado por DataStudio

En primer lugar, preparamos los datos: Con el Bloc de Notas de Windows o similar, eliminamos la cabecera (dos líneas). Seleccionamos en el menú Edición/Reemplazar y sustituímos la coma (que separa la parte entera de los decimales) por un punto. Guardamos el fichero rc_1.txt y lo colocamos en una carpeta accesible a MATLAB.

Elaboramos un script que realice las siguientes tareas:

  1. Importar las dos columnas de datos con el comando load
  2. Extraer la primera columna de los datos de tiempo y guardarla en el vector t
  3. Extraer la segunda columna que corresponde a los datos de las diferencia de potencial Vbc y guardarlos en el vector x.
  4. Representar los datos experiementales
  5. Ajustar los datos a una función no lineal
  6. Representar la función de ajuste en la misma ventana

Vamos a calcular la fem de la batería a1=Vε y la constante de tiempo a2=1/RC, a partir del ajuste de datos por el procedimiento de mínimos cuadrados implementado en la función MATLAB nlinfit, tomando como modelo la función

x= a 1 ( 1exp( a 2 t) )

A la función nlinfit se le tiene que pasar:

La función nlinfit devuelve el valor de dichos parámetros

Para la estimación de los valores iniciales, procedemos del siguiente modo: el primero de ellos a1 es el valor al que tiende Vbc en la serie de datos, 1.5. El segundo a2, lo tomamos de las características del cuircuito R=15000 Ω y C=1000 μF, por lo que a2=1/RC=0.067.

Creamos un script para ajustar los resultados experimentales recogidos en la tabla de datos al modelo de función y obtener los valores de los parámetros a1, a2 a partir de los cuales calculamos la constante de tiempo 1/RC del circuito y la fem Vε de la batería

load rc_1.txt
t=rc_1(:,1);
x=rc_1(:,2);
hold on
%representa los datos experimentales
plot(t,x,'o','markersize',2,'markerfacecolor','b')
%modelo de función
f_ajuste =@(a,t) a(1)*(1-exp(-a(2)*t));          
a0=[1.5 0.06];  %valor inicial de los parámetros
af=nlinfit(t,x,f_ajuste,a0)
%representa la función 
t=linspace(0,80,100);
x=f_ajuste(af,t);
plot(t,x,'r')
title('Carga de un condensador')
xlabel('tiempo (s)')
ylabel('Voltaje (V)')
grid on
hold off 

af =    1.5111    0.0625

La diferencia de potencial Vbc entre los extremos del condensador tiende hacia el valor 1.51 V y el cociente 1/RC=0.0625. Si la resistencia del circuito R=15000 Ω, la capacidad del condensador vale C=1067 μF