La botella de Leyden es el condensador más primitivo, consiste en dos hojas metálicas pegadas a las superficies interior y exterior de una botella de vidrio.

Los condensadores electrolíticos utilizan como dieléctrico una capa delgada de óxido no conductor entre una lámina metálica y una disolución conductora. Los condensadores electrolíticos de dimensiones relativamente pequeñas pueden tener una capacidad de 100 a 1000 μF.

La función de un dieléctrico sólido colocado entre las láminas es triple:

• Resuelve el problema mecánico de mantener dos grandes láminas metálicas a distancia muy pequeña sin contacto alguno.
• Consigue aumentar la diferencia de potencial máxima que el condensador es capaz de resistir sin que salte una chispa entre las placas (ruptura dieléctrica).
• La capacidad de un condensador de dimensiones dadas es varias veces mayor con un dieléctrico que separe sus láminas que si estas estuviesen en el vacío.

Sea un condensador plano-paralelo cuyas láminas hemos cargado con cargas +Q y –Q, iguales y opuestas. Si entre las placas se ha hecho el vacío y se mide una diferencia de potencial V₀, su capacidad y la energía que acumula serán

${\displaystyle C_0=\frac{Q}{V_0}{U}_0=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_0}}$

Si introducimos un dieléctrico se observa que la diferencia de potencial disminuye hasta un valor V. La capacidad del condensador con dieléctrico será

${\displaystyle C=\frac{Q}{V}={\epsilon }_r{C}_0}$

donde ε_r se denomina permitividad relativa. La permitividad del dieléctrico ε=ε_r·ε₀

La energía del condensador con dieléctrico es

${\displaystyle U=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{U_0}{{\epsilon }_r}}$

La energía de un condensadores menor que la del condensador vacío de las mismas dimensiones.

Fuente: Manual de física elemental, Koshkin N. I, Shirkévich M. G., Edt. Mir, págs 124-125

Teoría molecular de las cargas inducidas

Las moléculas de un dieléctrico pueden clasificarse en polares y no polares. Las moléculas como H₂, N₂, O₂, etc. son no polares. Las moléculas son simétricas y el centro de distribución de las cargas positivas coincide con el de las negativas. Por el contrario, las moléculas N₂O y H₂O no son simétricas y los centros de distribución de carga no coinciden.

Bajo la influencia de un campo eléctrico, las cargas de una molécula no polar llegan a desplazarse como se indica en la figura, las cargas positivas experimentan una fuerza en el sentido del campo y las negativas en sentido contrario al campo. La separación de equilibrio se establece cuando la fuerza eléctrica se compensa con la fuerza recuperadora (como si un muelle uniese los dos tipos de cargas). Este tipo de dipolos formados a partir de moléculas no polares se denominan dipolos inducidos.

Las moléculas polares o dipolos permanentes de un dieléctrico están orientados al azar cuando no existe campo eléctrico, como se indica en la figura de la derecha. Bajo la acción de un campo eléctrico, se produce cierto grado de orientación. Cuanto más intenso es el campo, tanto mayor es el número de dipolos que se orientan en la dirección del campo.

Sean polares o no polares las moléculas de un dieléctrico, el efecto neto de un campo exterior se encuentra representado en la figura inferior. Al lado de la placa positiva del condensador, tenemos carga inducida negativa y al lado de la placa negativa del condensador, tenemos carga inducida positiva.

Como vemos en la parte derecha de la figura, debido a la presencia de las cargas inducidas el campo eléctrico entre las placas de un condensador con dieléctrico E es menor que si estuviese vacío E₀. Algunas de las líneas de campo que abandonan la placa positiva penetran en el dieléctrico y llegan a la placa negativa, otras terminan en las cargas inducidas. El campo y la diferencia de potencial disminuyen en proporción inversa a su permitividad relativa ε_r

E=E₀/ε_r

Ejemplo:

Se conecta un condensador plano-paralelo a una batería de 10 V. Los datos del condensador son:

• el área de cada una de sus placas es 0.07 m²,
• la distancia entre las mismas es 0.75 mm.

1. Condensador vacío

La capacidad del condensador vacío

${\displaystyle C_0=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}{C}_0=\frac{0.07}{4\pi ·9·{10}^9·0.75·{10}^{-3}}=8.25·{10}^{-10}\text{F}}$

La carga Q y densidad de carga σ_f en las placas del condensador es

${\displaystyle \begin{array}{l}Q=C_0(V-V\text{'})Q=8.25·{10}^{-9}\text{C}\\ {\sigma }_f=\frac{Q}{S}{\sigma }_f=11.8·{10}^{-8}{\text{C/m}}^{\text{2}}\end{array}}$

El campo eléctrico en el espacio comprendido entre las placas del condensador es

${\displaystyle E_0=\frac{{\sigma }_f}{{\epsilon }_0}{E}_0=13333.33\text{N/C}}$

La energía del condensador U₀=Q(V-V’)/2=4.125·10^-8 J



2. Se desconecta el condensador de la batería y se introduce un dieléctrico, por ejemplo, baquelita de ε_r=4.6

La capacidad del condensador, aumenta

C=ε_r·C₀, C=3.80·10^-9 F

La diferencia de potencial entre las placas, disminuye

V-V’=Q/C, V-V’=2.17 V

El campo eléctrico E en el espacio comprendido entre las placas del condensador es

E=E₀/ε_r, E=2898.6 N/C



Podemos considerar este campo E, como la diferencia entre le campo E₀ producido por las cargas libres existentes en las placas y el campo E_b producido las cargas inducidas en la superficie del dieléctrico, ambos campos son de signos contrarios.

E=E₀-E_b

${\displaystyle \begin{array}{l}E=\frac{{\sigma }_f}{{\epsilon }_0}-\frac{{\sigma }_b}{{\epsilon }_0}\\ 2898.6=4\pi ·9·{10}^9·1.18·{10}^{-7}-4\pi ·9·{10}^9·{\sigma }_b\end{array}}$

La densidad de carga inducida en el dieléctrico es σ_b=9.23·10^-8 C/m²

La energía del condensador disminuye U=Q(V-V’)/2=U₀/ε_r=8.97·10^-9 J

Consideremos ahora el caso que el condensador permenece conectado a la batería y se introduce el dieléctrico

• La capacidad del condensador con dieléctrico es C=3.80·10^-9 F
• La diferencia de potencial entre las placas es V-V’=10 V
• La carga q de las placas del condensador es q=C·(V-V’)=3.80·10^-8 C, una carga adicional (ε_r-1)·Q=(4.6-1)·8.25·10^-9 C se ha movido desde el polo negativo al positivo a medida que se introduce el diléctrico en el condensador conectado a la batería
• La energía del condensador aumenta, U=q·(V-V’)/2=ε_rU₀=1.9·10^-7 J

Actividades

En un condensador plano-paralelo podemos cambiar

• La separación d en mm entre las placas en el control titulado Separación
• El área S en mm² de las placas en el control titulado Area
• La diferencia de potencial ΔV₀ entre las placas en el control titulado Batería

Pulsamos el botón titulado Nuevo y se conecta a una batería. En la parte superior, se nos proporciona los datos de la carga del condensador q y de su capacidad C₀

${\displaystyle C_0=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}q=C_0{V}_0}$

Seleccionamos en el control titulado Dieléctricos un dieléctrico distinto del aire:

1. Teflón
2. Papel
3. Vidrio

El condensador se desconecta de la batería. En la parte superior, se nos proporciona los datos de la carga del condensador q que no cambia y de su capacidad C= ε_r·C₀ que se multiplica por la permitividad relativa ε_r y de la diferencia de potencial entre las placas ΔV= ΔV₀/ε_r

Se representan las cargas libres en las placas del condensador y las cargas inducidas en el dieléctrico

Capacidad de un condensador con dieléctricos

La ley de Gauss para el campo eléctrico, se puede expresar en términos del vector desplazamiento $\overrightarrow{D}=\epsilon \overrightarrow{E}$

${\displaystyle {\displaystyle \underset{S}{\int }\overrightarrow{D}·\overrightarrow{dS}}=q_f}$

El primer miembro, es el flujo del vector desplazamiento a través de una superficie cerrada S y q_f es la carga libre contenida en dicha superficie

Sea un condensador plano-paralelo, cuyas placas tiene un área S=ab y están separadas una distancia d. Un dieléctrico de permitividad relativa ε_r llena el espacio entre las dos placas

La línea roja en la placa inferior señala la carga libre positiva, la línea azul en la placa superior la misma carga pero de signo contrario

Aplicamos la ley de Gauss tomando una superficie cerrada en forma de paralepípedo en color verde el la figura

• El flujo del vector $\overrightarrow{D}$ a través de la superficie lateral es nulo, ya que el vector $\overrightarrow{D}$ y y el vector superficie $\overrightarrow{S_2}$ son perpendiculares

• En un conductor (la placa inferior) el campo eléctrico $\overrightarrow{E}=0$ y por tanto, $\overrightarrow{D}=0$ el flujo a través de la base inferior es nulo.

• Solamente hay flujo a través de la base superior

${\displaystyle {\displaystyle \underset{S}{\int }\overrightarrow{D}·\overrightarrow{dS}}=\overrightarrow{D}·{\overrightarrow{S}}_1=D{S}_1}$

La carga libre contenida en superficie cerrada es q_f=σ_f·S₁

Aplicando la ley de Gauss, despejamos el módulo D del vector desplazamiento

${\displaystyle \begin{array}{l}D{S}_1={\sigma }_f{S}_1\\ D={\sigma }_f\end{array}}$

El campo eléctrico es constante entre las placas

${\displaystyle E=\frac{D}{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}=\frac{{\sigma }_f}{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}}$

La diferencia de potencial entre las placas es

${\displaystyle V\text{'}-V=Ed=\frac{{\sigma }_f}{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}d}$

La capacidad del condensador plano-paralelo

${\displaystyle C=\frac{{\sigma }_{f}S}{V\text{'}-V}=\frac{{\sigma }_{f}S}{\frac{{\sigma }_f}{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}d}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\frac{S}{d}={\epsilon }_r{C}_0}$

La capacidad del condensador con dieléctrico C es ε_r veces la capacidad del mismo condensador vacío C₀

Vamos a calcular la capcidad de un condensador plano-paralelo con dos o más dieléctricos

Problema 1

Calcular la capacidad del condensador, sabiendo que el espacio entre las placas se llena con dos dieléctricos de permitividades relativas ε₁ y ε₂. El espesor de los dieléctricos es d/2

Hay dos soluciones para este problema

• Primera solución

El módulo del vector desplazamiento es $D={\sigma }_f$

Los campos eléctricos en cada uno de los dieléctricos son, respectivamente

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_1=\frac{D}{{\epsilon }_0{\epsilon }_1}=\frac{{\sigma }_f}{{\epsilon }_0{\epsilon }_1}\\ E_2=\frac{D}{{\epsilon }_0{\epsilon }_2}=\frac{{\sigma }_f}{{\epsilon }_0{\epsilon }_2}\end{array}}$

La diferencia de potencial entre las dos placas es

${\displaystyle V\text{'}-V=E_1\frac{d}{2}+E_2\frac{d}{2}=\frac{{\sigma }_f}{2d{\epsilon }_0}\left(\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{1}{{\epsilon }_2}\right)}$

La capacidad

${\displaystyle C=\frac{{\sigma }_{f}S}{V\text{'}-V}=\frac{2{\epsilon }_{0}S}{d\left(\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{1}{{\epsilon }_2}\right)}=2{\epsilon }_0\frac{S}{d}\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}=2\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}{C}_0}$

• Segunda solución



El condensador con dos diléctricos es equivalente a la agrupación de dos condensadores en serie cuya separación es d/2 entre sus placas

La capacidad de cada uno de los condensadores es

${\displaystyle \begin{array}{l}{C}_1={\epsilon }_0{\epsilon }_1\frac{S}{\frac{d}{2}}=2{\epsilon }_0{\epsilon }_1\frac{S}{d}=2{\epsilon }_1{C}_0\\ C_2=2{\epsilon }_2{C}_0\end{array}}$

La capacidad del condensador equivalente es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\\ \frac{1}{C}=\frac{1}{2C_0}\left(\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{1}{{\epsilon }_2}\right)\\ C=2\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}{C}_0\end{array}}$

Problema 2

Calcular la capacidad del condensador, sabiendo que el espacio entre las placas se llena con dos dieléctricos de permitividades relativas ε₁ y ε₂. El espesor de los dieléctricos es d

Hay dos soluciones para este problema

• Primera solución

La disposición de los dieléctricos entre las placas del condensador hace cambiar la distribución de la densidad de carga libre en las placas

Los módulos del vector desplazamiento son

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{D}_1={\sigma }_1\\ D_2={\sigma }_2\end{array}\\ {\sigma }_1\frac{S}{2}+{\sigma }_2\frac{S}{2}={\sigma }_{f}S\\ {\sigma }_1+{\sigma }_2=2{\sigma }_f\end{array}}$

La última expresión es la conservación de la carga. La carga en la placa no cambia, se modifica la forma en la que se distribuye

Los campos eléctricos en cada uno de los dieléctricos son, respectivamente

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{E}_1=\frac{D_1}{{\epsilon }_0{\epsilon }_1}=\frac{{\sigma }_1}{{\epsilon }_0{\epsilon }_1}\\ E_2=\frac{D_2}{{\epsilon }_0{\epsilon }_2}=\frac{{\sigma }_2}{{\epsilon }_0{\epsilon }_2}\end{array}}$

La diferencia de potencial entre las dos placas es

${\displaystyle \begin{array}{l}V\text{'}-V=E_{1}d=E_{2}d\\ \frac{{\sigma }_1}{{\epsilon }_0{\epsilon }_1}d=\frac{{\sigma }_2}{{\epsilon }_0{\epsilon }_2}d\\ \frac{{\sigma }_1}{{\epsilon }_1}=\frac{{\sigma }_2}{{\epsilon }_2}\end{array}}$

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para obtener las densidades de carga σ₁ y σ₂

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{\sigma }_1+{\sigma }_2=2{\sigma }_f\\ \frac{{\sigma }_1}{{\epsilon }_1}=\frac{{\sigma }_2}{{\epsilon }_2}\end{array}\\ {\sigma }_2=2{\sigma }_f\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}\\ {\sigma }_1=2{\sigma }_f\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}\end{array}}$

Representamos el cociente σ₁/σ_f y σ₂/σ_f en función de x/a para dos dieléctricos de permitividades relativas ε₁=4 y ε₂=8

e1=4;
e2=8;
sigma_1=2*e1/(e1+e2);
sigma_2=2*e2/(e1+e2);
line([0,0.5],[sigma_1,sigma_1])
line([0.5,1],[sigma_2,sigma_2])
grid on
xlabel('x/a')
ylabel('\sigma/\sigma_f')
title('Densidad de carga libre')



La capacidad del condensador es

${\displaystyle \begin{array}{l}C=\frac{{\sigma }_{f}S}{V\text{'}-V}=\frac{{\sigma }_{f}S}{E_{1}d}=\frac{{\sigma }_{f}S}{\frac{{\sigma }_1}{{\epsilon }_0{\epsilon }_1}d}={\epsilon }_0{\epsilon }_1\frac{{\sigma }_{f}S}{2{\sigma }_f\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}d}={\epsilon }_0\frac{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}{2}\frac{S}{d}\\ C=\frac{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}{2}{C}_0\end{array}}$

• Segunda solución



El condensador con dos diléctricos es equivalente a la agrupación de dos condensadores en paralelo cuya separación es d entre sus placas

La capacidad de cada uno de los condensadores es

${\displaystyle \begin{array}{l}{C}_1={\epsilon }_0{\epsilon }_1\frac{\frac{S}{2}}{d}={\epsilon }_0{\epsilon }_1\frac{S}{2d}\\ C_2={\epsilon }_0{\epsilon }_2\frac{S}{2d}\end{array}}$

La capacidad del condensador equivalente es

${\displaystyle C=C_1+C_2={\epsilon }_0\frac{S}{d}\frac{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}{2}=\frac{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}{2}{C}_0}$

Llegamos al mismo resultado

Problema 3

Calcular la capacidad del condensador, sabiendo que el espacio entre las placas se llena con cuatro dieléctricos de permitividades relativas ε₁, ε₂, ε₃ y ε₄. El espesor de los dieléctricos es d/2

Hay dos soluciones para este problema

• Primera solución

La disposición de los dieléctricos entre las placas del condensador hace cambiar la distribución de la densidad de carga libre en las placas

Como en el problema anterior, los módulos del vector desplazamiento son

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{D}_1={\sigma }_1\\ D_2={\sigma }_2\end{array}\\ {\sigma }_1\frac{S}{2}+{\sigma }_2\frac{S}{2}={\sigma }_{f}S\\ {\sigma }_1+{\sigma }_2=2{\sigma }_f\end{array}}$

Los campos eléctricos en cada uno de los dieléctricos son, respectivamente

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{E}_1=\frac{D_1}{{\epsilon }_0{\epsilon }_1}=\frac{{\sigma }_1}{{\epsilon }_0{\epsilon }_1}\\ E_2=\frac{D_2}{{\epsilon }_0{\epsilon }_2}=\frac{{\sigma }_2}{{\epsilon }_0{\epsilon }_2}\\ E_3=\frac{D_1}{{\epsilon }_0{\epsilon }_3}=\frac{{\sigma }_1}{{\epsilon }_0{\epsilon }_1}\\ E_4=\frac{D_2}{{\epsilon }_0{\epsilon }_4}=\frac{{\sigma }_2}{{\epsilon }_0{\epsilon }_4}\end{array}}$

La diferencia de potencial entre las dos placas es

${\displaystyle \begin{array}{l}V\text{'}-V=E_1\frac{d}{2}+E_3\frac{d}{2}=E_2\frac{d}{2}+E_4\frac{d}{2}\\ \frac{{\sigma }_1}{{\epsilon }_0{\epsilon }_1}\frac{d}{2}+\frac{{\sigma }_1}{{\epsilon }_0{\epsilon }_3}\frac{d}{2}=\frac{{\sigma }_2}{{\epsilon }_0{\epsilon }_2}\frac{d}{2}+\frac{{\sigma }_2}{{\epsilon }_0{\epsilon }_4}\frac{d}{2}\\ {\sigma }_1\left(\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{1}{{\epsilon }_3}\right)={\sigma }_2\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}+\frac{1}{{\epsilon }_4}\right)\end{array}}$

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para obtener las densidades de carga σ₁ y σ₂

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{\sigma }_1+{\sigma }_2=2{\sigma }_f\\ {\sigma }_1\left(\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{1}{{\epsilon }_3}\right)={\sigma }_2\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}+\frac{1}{{\epsilon }_4}\right)\end{array}\\ {\sigma }_2=2{\sigma }_f\frac{{\epsilon }_2{\epsilon }_4\left({\epsilon }_1+{\epsilon }_3\right)}{\left({\epsilon }_2+{\epsilon }_4\right){\epsilon }_1·{\epsilon }_3+\left({\epsilon }_1+{\epsilon }_3\right){\epsilon }_2·{\epsilon }_4}\\ {\sigma }_1=2{\sigma }_f\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_3\left({\epsilon }_2+{\epsilon }_4\right)}{\left({\epsilon }_2+{\epsilon }_4\right){\epsilon }_1·{\epsilon }_3+\left({\epsilon }_1+{\epsilon }_3\right){\epsilon }_2·{\epsilon }_4}\end{array}}$

La capacidad del condensador es

${\displaystyle \begin{array}{l}C=\frac{{\sigma }_{f}S}{V\text{'}-V}=\frac{{\sigma }_{f}S}{E_1\frac{d}{2}+E_3\frac{d}{2}}=\frac{{\sigma }_{f}S}{\frac{{\sigma }_1}{{\epsilon }_0}\left(\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{1}{{\epsilon }_3}\right)\frac{d}{2}}=\frac{{\epsilon }_{0}S}{\frac{{\epsilon }_1{\epsilon }_3\left({\epsilon }_2+{\epsilon }_4\right)}{\left({\epsilon }_2+{\epsilon }_4\right){\epsilon }_1·{\epsilon }_3+\left({\epsilon }_1+{\epsilon }_3\right){\epsilon }_2·{\epsilon }_4}\left(\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{1}{{\epsilon }_3}\right)d}\\ C=\left(\frac{{\epsilon }_1·{\epsilon }_3}{{\epsilon }_1+{\epsilon }_3}+\frac{{\epsilon }_2·{\epsilon }_4}{{\epsilon }_2+{\epsilon }_4}\right)C_0\end{array}}$

• Segunda solución



El condensador con cuatro diléctricos es equivalente a la agrupación de condensadores en serie y en paralelo tal como se muestra en la figura

La capacidad de cada uno de los condensadores es

${\displaystyle \begin{array}{l}{C}_1={\epsilon }_0{\epsilon }_1\frac{\frac{S}{2}}{\frac{d}{2}}={\epsilon }_1{C}_0\\ C_2={\epsilon }_2{C}_0\\ C_3={\epsilon }_3{C}_0\\ C_4={\epsilon }_4{C}_0\end{array}}$

El 1 y el 3 están en serie. La capacidad del condensador equivalente C₁₃

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{C_{13}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_3}\\ C_{13}=C_0\frac{{\epsilon }_1·{\epsilon }_3}{{\epsilon }_1+{\epsilon }_3}\end{array}}$

El 2 y el 4 están en serie. La capacidad del condensador equivalente C₂₄

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{C_{24}}=\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_4}\\ C_{24}=C_0\frac{{\epsilon }_2·{\epsilon }_4}{{\epsilon }_2+{\epsilon }_4}\end{array}}$

Los condensadores equivalentes de capacidades C₁₃ y C₂₄ están en paralelo. La capacidad del condensador equivalente es

${\displaystyle \begin{array}{l}C=C_{13}+C_{24}\\ C=C_0\frac{{\epsilon }_2·{\epsilon }_4}{{\epsilon }_2+{\epsilon }_4}+C_0\frac{{\epsilon }_2·{\epsilon }_4}{{\epsilon }_2+{\epsilon }_4}=C_0\left(\frac{{\epsilon }_2·{\epsilon }_4}{{\epsilon }_2+{\epsilon }_4}+\frac{{\epsilon }_2·{\epsilon }_4}{{\epsilon }_2+{\epsilon }_4}\right)\end{array}}$

Llegamos al mismo resultado

Problema 4

Calcular la capacidad del condensador, sabiendo que el espacio entre las placas se llena con dos dieléctricos de permitividades relativas ε₁, ε₂ tal como se muestra a la izquierda en la figura

Hay dos soluciones para este problema

• Primera solución

La disposición de los dieléctricos entre las placas del condensador hace cambiar la distribución de la densidad de carga libre en las placas.

Establecemos un sistema de coordenadas, en la posición x la densidad de carga libre en las placas es σ(x). El módulo del vector desplazamiento es

${\displaystyle D=\sigma (x)}$

Los campos eléctricos en cada uno de los dieléctricos son, respectivamente

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_1=\frac{D}{{\epsilon }_1{\epsilon }_0}\\ E_2=\frac{D}{{\epsilon }_2{\epsilon }_0}\end{array}}$



La diferencia de potencial entre las dos placas es

${\displaystyle V\text{'}-V=E_1\left|AP\right|+E_2\left|BP\right|}$

En el triángulo inferior

${\displaystyle \frac{d}{\left|AP\right|}=\frac{a}{a-x},\left|AP\right|=\frac{d}{a}\left(a-x\right)}$

En el triángulo superior

${\displaystyle \frac{d}{\left|BP\right|}=\frac{a}{x},\left|BP\right|=\frac{d}{a}x}$

La diferencia de potencial V'-V es

${\displaystyle V\text{'}-V=\frac{\sigma (x)}{{\epsilon }_1{\epsilon }_0}\frac{d}{a}\left(a-x\right)+\frac{\sigma (x)}{{\epsilon }_2{\epsilon }_0}\frac{d}{a}x=\frac{\sigma (x)}{{\epsilon }_1{\epsilon }_0}d+\frac{\sigma (x)}{{\epsilon }_0}d\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}-\frac{1}{{\epsilon }_1}\right)\frac{x}{a}}$

La diferencia de potencial V'-V es independiente de x, por lo que

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d}{dx}\left(V\text{'}-V\right)=0\\ \frac{d\sigma }{dx}\frac{d}{{\epsilon }_1{\epsilon }_0}+\frac{d\sigma }{dx}\frac{1}{{\epsilon }_0}\frac{d}{a}\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}-\frac{1}{{\epsilon }_1}\right)x+\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}\frac{d}{a}\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}-\frac{1}{{\epsilon }_1}\right)=0\\ \frac{d\sigma }{dx}\left(\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{x}{a}\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}-\frac{1}{{\epsilon }_1}\right)\right)+\frac{\sigma }{a}\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}-\frac{1}{{\epsilon }_1}\right)=0\\ \frac{d\sigma }{\sigma }=-\frac{\frac{1}{a}\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}-\frac{1}{{\epsilon }_1}\right)}{\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{x}{a}\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}-\frac{1}{{\epsilon }_1}\right)}dx\end{array}}$

Integramos

${\displaystyle \begin{array}{l}\ln \left(\sigma \right)=-\ln \left(\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{x}{a}\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}-\frac{1}{{\epsilon }_1}\right)\right)+\ln K\\ \sigma (x)=\frac{K}{\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{x}{a}\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}-\frac{1}{{\epsilon }_1}\right)}\end{array}}$

K es una constante que determinaremos más adelante

Representamos el cociente σ(x)/K en función de x/a para dos dieléctricos de permitividades relativas ε₁=4 y ε₂=8

e1=4;
e2=8;
f=@(x) 1./(1/e1+(1/e2-1/e1)*x);
fplot(f,[0,1])
grid on
xlabel('x/a')
ylabel('\sigma/K')
title('Densidad de carga libre')



La diferencia de potencial, finalmente, es

${\displaystyle V\text{'}-V=\frac{\sigma (x)}{{\epsilon }_0}d\left(\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{x}{a}\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}-\frac{1}{{\epsilon }_1}\right)\right)=K\frac{d}{{\epsilon }_0}}$



La constante K se determina sabiendo que la carga de la placa es Q

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\sigma \left(x\right)\left(b·dx\right)}=Q}$

Resolvemos la integral

${\displaystyle \begin{array}{l}bK{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{dx}{\frac{1}{{\epsilon }_1}+\frac{x}{a}\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}-\frac{1}{{\epsilon }_1}\right)}=Q}\\ bK\frac{1}{\frac{1}{a}\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}-\frac{1}{{\epsilon }_1}\right)}\left\{\ln \left(\frac{1}{{\epsilon }_1}+\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}-\frac{1}{{\epsilon }_1}\right)\right)-\ln \frac{1}{{\epsilon }_1}\right\}=Q\\ bK\frac{1}{\frac{1}{a}\left(\frac{1}{{\epsilon }_2}-\frac{1}{{\epsilon }_1}\right)}\ln \frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}=Q\\ K=\frac{Q}{S}\frac{{\epsilon }_1-{\epsilon }_2}{{\epsilon }_2{\epsilon }_1}\frac{1}{\ln \frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}}\end{array}}$

La capacidad del condensador es

${\displaystyle \begin{array}{l}C=\frac{Q}{V\text{'}-V}=\frac{\frac{KS{\epsilon }_2{\epsilon }_1\ln \frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}}{{\epsilon }_1-{\epsilon }_2}}{K\frac{d}{{\epsilon }_0}}=\frac{S{\epsilon }_0{\epsilon }_2{\epsilon }_1}{d\left({\epsilon }_1-{\epsilon }_2\right)}\ln \frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}\\ C=C_0\frac{{\epsilon }_2{\epsilon }_1}{{\epsilon }_1-{\epsilon }_2}\ln \frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}\end{array}}$

• Segunda solución



El condensador con estos dos dieléctricos es equivalente a la agrupación de condensadores en serie y en paralelo como en el problema 3

Cortamos el condensador por dos planos verticales que pasan por x y por x+dx. El condensador diferencial está formado por dos condensadores en serie de capacidades dC₁ y dC₂

• El primero de capacidad dC₁, tiene un espesor |AP| y la superficie de la placa es b·dx

• El segundo de capacidad dC₂, tiene un espesor |BP| y la superficie de la placa es b·dx

${\displaystyle \begin{array}{l}d{C}_1={\epsilon }_0{\epsilon }_1\frac{b·dx}{\left|AP\right|}={\epsilon }_0{\epsilon }_1\frac{ab·dx}{d\left(a-x\right)}={\epsilon }_0{\epsilon }_1\frac{S·dx}{\left(a-x\right)d}={\epsilon }_1\frac{dx}{a-x}{C}_0\\ d{C}_2={\epsilon }_0{\epsilon }_2\frac{b·dx}{\left|BP\right|}={\epsilon }_0{\epsilon }_2\frac{ab·dx}{x·d}={\epsilon }_0{\epsilon }_2\frac{S·dx}{x·d}={\epsilon }_2\frac{dx}{x}{C}_0\end{array}}$

El condensador equivalente a los dos condensadores en serie tiene capacidad dC

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{dC}=\frac{1}{d{C}_2}+\frac{1}{d{C}_1}\\ \frac{1}{dC}=\frac{1}{{\epsilon }_1\frac{dx}{x}{C}_0}+\frac{1}{{\epsilon }_2\frac{dx}{a-x}{C}_0}\\ \frac{1}{dC}=\frac{1}{C_0·dx}\left(\frac{x}{{\epsilon }_1}+\frac{a-x}{{\epsilon }_2}\right)\\ dC=C_0\frac{{\epsilon }_2{\epsilon }_1}{\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)x+{\epsilon }_{1}a}dx\end{array}}$

Todos los condensadores de capacidad dC están en paralelo, su capacidad se suma

${\displaystyle \begin{array}{l}C={\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}dC=C_0{\epsilon }_2{\epsilon }_1{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{dx}{\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)x+{\epsilon }_{1}a}}}=\frac{C_0{\epsilon }_2{\epsilon }_1}{\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)}\left\{\ln \left(\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)a+{\epsilon }_{1}a\right)-\ln \left({\epsilon }_{1}a\right)\right\}\\ C=C_0\frac{{\epsilon }_2{\epsilon }_1}{\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_1\right)}\ln \frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}\end{array}}$

Llegamos al mismo resultado

Referencias

El programa interactivo ha sido creado en colaboración con José Manuel Almudí y Mikel Ceberio, profesores de la E.U.I.T.I. de Bilbao y adaptado por el autor para esta página.

Meng Zhang, Chengyi Jia, Xiao Wang, Taohai Li, Wei Cao. Analysis of capacitance: multiple questions to one topic versus multiple solutions to one question. Eur. J. Phys. 46 (2025) 045705