El condensador plano-paralelo

Se denomina condensador al dispositivo formado por dos conductores cuyas cargas son iguales pero de signo opuesto.

La capacidad C de un condensador se define como el cociente entre la carga Q y la diferencia de potencia V-V’ existente entre ellos.

C= Q VV'

La unidad de capacidad es el farad o faradio F, aunque se suelen emplear submúltiplos de esta unidad como el microfaradio µF=10-6 F, y el picofaradio, pF=10-12 F.

Un condensador acumula una energía U en forma de campo eléctrico. La fórmula como demostraremos más abajo es

U= 1 2 Q 2 C

Agrupación de condensadores

La agrupación de varios condensadores de capacidades C1, C2, ... Cn es equivalente a un solo condensador de capacidad Ce. Consideramos la agrupación de tres condensadores de capacidades C1, C2 y C3.

Condensadores en serie

Los condensadores agrupados en serie tienen la misma carga q. La diferencia de potencial entre los extremos a del primer condensador y d del tercero es Vad=Vab+Vbc+Vcd.
Por otra parte, Vad es la diferencia de potencial del condensador equivalente de capacidad Ce.

q C e = q C 1 + q C 2 + q C 3

Simplificando q, obtenemos la fórmula de la capacidad del condensador equivalente Ce conocida las capacidades C1, C2, ... Cn de varios condensadores agrupados en serie

1 C e = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3

Condensadores en paralelo

Los condensadores agrupados en paralelo tienen la misma diferencia de potencial Vab entre sus extremos, pero la carga de cada condensador es diferente. La carga del condensador equivalente es igual a la suma de las cargas de los condensadores agrupados en paralelo.
Q=q1+q2+q3

C e V ab = C 1 V ab + C 2 V ab + C 3 V ab

Simplificando Vab, obtenemos la fórmula de la capacidad del condensador equivalente Ce conocida las capacidades C1, C2, ... Cn de varios condensadores agrupados en paralelo

C e = C 1 + C 2 + C 3

Ejemplo

En la figura se representan cuatro condensadores de capacidades C1=0.43·10-9, C2=10-9, C3=1.30·10-9, C4=2.17·10-9 F. Calcular:

Los condensadores C2 y C3 están en paralelo

C23=C2+C3=2.30·10-9 F

Los condensadores C1, C23 y C4 están en serie

1 C eq = 1 C 1 + 1 C 23 + 1 C 4 C eq =3.10· 10 10 F

Carga del condensador equivalente y energía almacenada en el mismo

q=100· C eq =3.10· 10 8 C U= 1 2 q 2 C eq =1.55· 10 6 J

Carga de cada condensador y diferencia de potencial entre sus armaduras

q1=q, V1=q/C1=72.2 V

q4=q, V4=q/C4=14.3 V

V23=q/C23=13.5 V

V2=V23=13.5 V

V3=V23=13.5 V

q2=C2·V2=1.35·10-8 C

q3=C3·V3=1.75·10-8 C

Condensador plano-paralelo

En primer lugar, calculamos el campo creado por una placa plana indefinida, cargada con una densidad de carga σ, aplicando la ley de Gauss.

Para una placa indefinida cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos:

  1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.

  2. La dirección del campo es perpendicular a la placa cargada, hacia afuera si la carga es positiva y hacia la placa si la carga es negativa.

  3. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo

  4. Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de base S, cuya generatriz es perpendicular a la placa cargada. El flujo tiene dos contribuciones

    El flujo total es por tanto; 2ES

  5. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

  6. La carga (en la figura de color rojo) en el interior de la superficie cerrada vale q=σS, donde σ es la carga por unidad de superficie

  7. Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

  8. 2ES= σS ε 0 E= σ 2 ε 0

El campo producido por una placa infinitamente grande es constante, su dirección es perpendicular a la placa. Esta fórmula es válida para distancias próximas a una placa en comparación con sus dimensiones.

Campo creado por dos placas planas cargadas con cargas iguales y opuestas.

Supondremos que las placas son infinitamente grandes o bien, que la separación entre las placas es pequeña comparada con sus dimensiones.

En la figura, se muestra el campo producido por cada una de las placas y en la figura situda en el centro, el campo resultante. En la figura de la derecha, la representación gráfica del campo en función de x, distancia a la primera placa.

Sea un condensador formado por dos placas iguales de área S, separadas una distancia d, pequeña en comparación con las dimensiones de las placas. El campo se cancela en la región del espacio situado fuera de las placas y se suma en el espacio situado entre las placas. Por tanto, solamente existe campo entre las placas del condensador, siendo despreciable fuera de las mismas.

Como el campo es constante, la diferencia de potencial entre las placas se calcula multiplicando el módulo del campo por la separación entre las mismas. El área del rectángulo de la figura.

VV'= σ ε 0 d

La capacidad del condensador plano-paralelo será

C= Q VV' = ε 0 S d

donde Q=σS es la carga total de la placa del condensador.

La capacidad del condensador solamente depende de su geometría, es decir, del área de las placas S y de la separación entre las mismas d.

Energía de un condensador cargado

Durante el proceso de carga la batería realiza un trabajo tomado una carga dq de la placa negativa y llevándola a la carga positiva, tal como se muestra en la figura.

Partimos del condensador descargado. Tomamos una carga +dq de la placa inferior y la llevamos a la placa superior. La placa inferior queda cargada con una carga -dq y la superior con una carga +dq. Repetimos el proceso, muchas veces creando un campo eléctrico E entre las placas del condensador.

En un momento dado, la placa superior está cargada con +q y la inferior con -q y la diferencia de potencial entre las mismas será V'-V=q/C

Tomamos otra porción de carga dq de la placa inferior y la llevamos a la placa superior, el trabajo que tenemos que realizar es dW=(V'-Vdq. Al finalizar el proceso, la carga final de ambas placas es +Q y -Q. El trabajo final realizado es

W= 0 Q (V'V)dq= 1 C 0 Q qdq= 1 2 Q 2 C

Para un condensador plano paralelo de área S y separación d, Q=σS, C=ε0S/d. La energía U almacenada en el condensador en forma de campo eléctrico es

U= 1 2 Q 2 C = 1 2 ( σ 2 ε 0 )( Sd )= 1 2 ( ε 0 E 2 )( Sd )

El término entre paréntesis es la densidad de energía (energía por unidad de volumen) asociada al campo eléctrico E.