Circuito RC

Consideremos el circuito de la figura, formado por una batería V0, dos condensadores C iguales y tres resistencias R iguales. Se cierra el interruptor. En la parte derecha de la figura, se dibujan las intensidades y las cargas de cada uno de los condensadores que calcularemos resolviendo las ecuaciones el circuito

{ V ab + V be + V ea =0, V 0 + q 1 C + i 4 R=0(1) V ab + V bc + V ca =0, V 0 + i 2 R+ q 2 C =0(2) V ab + V bc + V cd + V da =0, V 0 + i 2 R i 3 R+ i 4 R=0(3) { i 5 = i 2 + i 3 (4) i 1 = i 4 + i 3 (5) { i 1 = d q 1 dt (6) i 5 = d q 2 dt (7)

Las intensidades i1 e i5 añaden carga a los respectivos condensadores. Por tanto, i1=dq1/dt y lo mismo para el otro condensador

Tenemos que resolver un sistema de siete ecuaciones con siete incógnitas. Para resolver las ecuaciones diferenciales, precisamos conocer las cargas e intensidades iniciales en el instante t=0

Condiciones iniciales

En el instante t=0, las cargas q1 y q2 de los condensadores son nulas, la diferencia de potencial Vbd=0 y Vca=0. En la figura se muestra el circuito equivalente

Las ecuaciones del circuito son

{ V ab + V ba =0, V 0 + i 4 R=0 V ab + V bc =0, V 0 + i 2 R=0 V ab + V bc + V cd + V da =0, V 0 + i 2 R i 3 R+ i 4 R=0 i 3 (0)= V 0 R , i 2 (0)= V 0 R , i 4 (0)= V 0 R

De las ecuaciones (4) y (5) obtenemos

i 1 (0)=2 V 0 R , i 5 (0)=2 V 0 R

Sistema de ecuaciones

Los pasos para resolver el sistema de siete ecuaciones son los siguientes

Intensidades

Representamos las intensidades en unidades V0/R en función del tiempo adimensional t/(RC)

i3=@(x) (-1+4*exp(-3*x))/3;
hold on
fplot(i3,[0,3])
i2=@(x) (1+2*exp(-3*x))/3; %igual a i4
fplot(i2,[0,3])
i1=@(x) 2*exp(-3*x);%igual a i5
fplot(i1,[0,3])
hold off
xlabel('t/(RC)')
ylabel('i/(V_0/R)')
legend('i_3','i_2=i_4','i_1=i_5','Location','best')
grid on
title('Intensidades')

Cargas de los condensadores

Los condensadores están inicialmente descargados, q1(0)=0, q2(0)=0

Representamos las cargas q1, q2 en unidades V0C en función del tiempo adimensional t/(RC)

q=@(x) 2*(1-exp(-3*x))/3;
fplot(q,[0,3])
xlabel('t/(RC)')
ylabel('q/(V_0·C)')
grid on
title('Cargas')

Las cargas q1 y q2 tienden hacia el valor constante 2V0C/3, que es la carga máxima, cuando t→∞

Energías

Comprobamos que EC+ER=EB. Una parte de la energía suministrada por la batería, se acumula en forma de campo eléctrico en los dos condensadores, el resto, se disipa en las tres resistencias.

Representamos las energías en unidades V02C en función del tiempo adimensional t/(RC)

eB=@(x) (x+8*(1-exp(-3*x))/3)/3;
eC=@(x) 4*(1-exp(-3*x)).^2/9;
eR=@(x) (3*x+4*(1-exp(-6*x)))/9;
hold on
fplot(eB,[0,3])
fplot(eC,[0,3])
fplot(eR,[0,3])
% f=@(x) eC(x)+eR(x);
% fplot(f,[0,3],'color','k')
hold off
xlabel('t/(RC)')
ylabel('E/(V_0^2·C)')
legend('E_B','E_C','E_R','Location','best')
grid on
title('Energías')

La energía de los condensadores tiende hacia el valor máximo, cuando t→∞

2( 1 2 ( 2 3 V 0 C ) 2 C )= 4 9 V 0 2 C

La carga máxima de cada condensador está entre paréntesis en el numerador

Una vez alcanzado el estado estacionario (t→∞), la energía de la batería se disipa en la resistencia

Referencias

Physics Challenge for Teachers and Students. A trip aCRoss the Bridge. The Physics Teacher. Vol. 53, May 2015. pp. 316