Tubos de vacío. Edimburgo, 7 de enero de 2017

Movimiento del haz de electrones

El movimiento del electrón se realiza en tres etapas:

• En el cañón acelerador
• Entre las placas deflectoras
• Cuando se dirige hacia la pantalla

Movimiento en el cañón acelerador

La velocidad de los electrones cuando llegan a las placas deflectoras después de haber sido acelerados por el cañón de electrones es.

${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}_0^2=qV}$

Movimiento entre las placas del condensador

Entre las placas deflectoras, el electrón experimenta una fuerza constante F=qE. Siendo E el campo eléctrico en el espacio comprendido entre las dos placas. Utilizamos las ecuaciones del movimiento curvilíneo bajo aceleración constante

${\displaystyle \begin{array}{l}{a}_x=0v_x=v_{0}x=v_{0}t\\ a_y=\frac{qE}{m}{v}_y=a_{y}ty=\frac{1}{2}{a}_y{t}^2\end{array}}$

Si L es la longitud del condensador, la desviación vertical y del haz de electrones a la salida de las placas será

${\displaystyle y=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{\left(\frac{L}{v_0}\right)}^2}$

Movimiento fuera de las placas

Después de que el haz de electrones abandone la región deflectora, sigue un movimiento rectilíneo uniforme, una línea recta tangente a la trayectoria en el punto x=L en el que dicho haz abandonó la mencionada región.

La desviación total del haz en la pantalla situada a una distancia D del condensador es

${\displaystyle d=y+\frac{v_y}{v_x}D=\frac{qE}{m}\frac{L}{v_0^2}\left(\frac{L}{2}+D\right)}$

El ángulo de desviación aumenta con la longitud L de las placas, con la diferencia de potencial V_d ( o el campo E) entre las mismas. Aumenta también, si se disminuye el potencial acelerador V, o la velocidad v₀ de los electrones, permitiéndoles estar más tiempo dentro del campo deflector.

Actividades

Se introduce:

• El campo eléctrico entre las placas deflectoras, en el control titulado Campo eléctrico, el valor introducido se multiplica por 10000 N/C
• La diferencia de potencial (ddp) V en voltios entre el cátodo y el ánodo del cañón acelerador, en el control titulado d.d.p

Se pulsa el botón titulado Nuevo y se dibuja la trayectoria seguida por el haz de electrones. Sobre la escala vertical a la derecha, se puede medir la desviación del haz de electrones en cm. Cuando se hayan dibujado varias trayectorias se pulsa el botón titulado Borra, para limpiar la ventana de la aplicación.

Ejemplo

Se introducen los siguientes datos:

• ddp del cañón acelerador, 2000V
• Intensidad del campo eléctrico entre las placas deflectoras es 1.5·10000=15000 N/C.
• La longitud de las placas deflectoras es de 4 cm
• La distancia desde el final de las placas hasta la pantalla es de 12 cm

Si la diferencia de potencial entre el cátodo y el ánodo del cañón acelerador es 2000 V, la velocidad de los electrones al llegar a las placas deflectoras es

${\displaystyle \frac{1}{2}9.1·{10}^{-31}{v}_0^2=1.6·{10}^{-19}·2000v_0=2.65·{10}^7\text{m/s}}$

A lo largo del eje horizontal, la velocidad de los electrones es constante. El tiempo que tarda en recorrer los 4 cm que miden las placas es 0.04=v₀·t,

La desviación a la salida de las placas es

${\displaystyle y=\frac{1}{2}\frac{1.6·{10}^{-19}·15000}{9.1·{10}^{-31}}{t}^{2}y=0.003\text{m}}$

Las componentes de la velocidad en dicha posición son: v_x=2.65·10⁷ m/s y v_y=3.98·10⁶ m/s. El vector velocidad se habrá desviado de la dirección inicial horizontal, un ángulo tanθ=v_y/v_x

A continuación, los electrones siguen una trayectoria rectilínea a lo largo de una distancia horizontal de 12 cm hasta llegar a la pantalla

La desviación total es

y=0.003+0.12·tanθ=0.021 m= 2.1 cm

m=9.1e-31; %masa del electron
q=1.6e-19; %carga del electrón
V=2000; %ddp que acelera los electrones
v0=sqrt(2*q*V/m); %velocidad del haz de electrones
E=15000; %campo eléctrico que desvía el haz
x=@(t) v0*t;
y=@(t) q*E*t.^2/(2*m);
T=0.04/v0; %tiempo entre las placas del condensador
fplot(x,y,[0, T])
vy=q*E*T/m;
y1=y(T);
line([0.04,0.12],[y1,y1+0.12*vy/v0])
line([0.04,0.04],[0,y1],'lineStyle','--')
disp((y1+0.12*vy/v0)*100) %desviación en cm
grid on
%axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectoria')

La desviación es 2.1 cm

    2.1000

Una imagen más realista se obtiene añadiendo la sentencia axis equal

En éste programa interactivo estudiamos más casos

Ley de la refracción

Disponemos de dos planos paralelos cargados, uno en x=0, que se mantiene a potencial -V₀ y otro en x=L que se mantiene a -V₁

Una partícula de masa m y carga q (negativa), parte del reposo y es acelerada por una diferencia de potencial V₀, hasta alcanzar el primer plano en x=0 con velocidad v₀. La conservación de la energía

${\displaystyle q{V}_0=\frac{1}{2}m{v}_0^2}$

Sigue un camino rectilíneo formado un ángulo θ₀ con el eje X hasta que llega a la primera placa en la que impacta a una altura y₀. La velocidad inicial cuando entra en la región entre dos placas es

${\displaystyle x=\mathrm{0,}y=y_0,\{\begin{array}{l}{v}_x=v_0\cos {\theta }_0\\ v_y=v_0\sin {\theta }_0\end{array}}$

La partícula se mueve en la región entre las dos placas. El campo eléctrico entre las placas y las ecuaciones del movimiento son

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_1=\frac{V_1-V_0}{L}\\ \{\begin{array}{l}{a}_x=\frac{q{E}_1}{m}\\ a_y=0\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_x=v_0\cos {\theta }_0+a_{x}t\\ v_y=v_0\sin {\theta }_0\end{array}\{\begin{array}{l}x=v_0\cos {\theta }_0·t+\frac{1}{2}\frac{q{E}_1}{m}{t}^2\\ y=y_0+v_0\sin {\theta }_0·t\end{array}\end{array}}$

Finalmente, en el instante T, sale de la segunda placa x=L a una altura y₁, con velocidad v₁ haciendo un ángulo θ₁

${\displaystyle \begin{array}{l}L=v_0\cos {\theta }_0·T+\frac{1}{2}\frac{q{E}_1}{m}{T}^2\\ T=\frac{-v_0\cos {\theta }_0+\sqrt{v_0^2{\cos }^2{\theta }_0+2\frac{q{E}_1}{m}L}}{\frac{q{E}_1}{m}}=-\frac{m{v}_0}{q{E}_1}\left(\cos {\theta }_0-\sqrt{{\cos }^2{\theta }_0+2\frac{q{E}_1}{m{v}_0^2}L}\right)\\ T=-\frac{m{v}_0}{q{E}_1}\left(\cos {\theta }_0-\sqrt{{\cos }^2{\theta }_0+\frac{E_1}{V_0}L}\right)\end{array}}$

Relación entre las velocidades v₀ y v₁

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{v}_1\sin {\theta }_1=v_0\sin {\theta }_0\\ v_1\cos {\theta }_1=v_0\cos {\theta }_0+\frac{q{E}_1}{m}t=v_0\cos {\theta }_0-v_0\cos {\theta }_0+v_0\sqrt{{\cos }^2{\theta }_0+\frac{E_1}{V_0}L}=v_0\sqrt{{\cos }^2{\theta }_0+\frac{E_1}{V_0}L}\end{array}\\ v_1^2=v_0^2\sin {\theta }_0+v_0^2\left({\cos }^2{\theta }_0+\frac{E_1}{V_0}L\right)=v_0^2+v_0^2\frac{V_1-V_0}{V_0}=v_0^2\frac{V_1}{V_0}\\ v_1=v_0\sqrt{\frac{V_1}{V_0}}\\ v_1\sin {\theta }_1=v_0\sin {\theta }_0\\ \sqrt{V_1}\sin {\theta }_1=\sqrt{V_0}\sin {\theta }_0\end{array}}$

Alternativamente, aplicando la conservación de la energía

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}m{v}_0^2=q{V}_0\\ \frac{1}{2}m{v}_1^2=\frac{1}{2}m{v}_0^2+q\left(V_1-V_0\right)=q{V}_0+q{V}_1-q{V}_0=q{V}_1\end{array}\\ \frac{v_1^2}{v_0^2}=\frac{V_1}{V_0}\end{array}}$

En la práctica, podemos definir un plano de separación entre dos materiales transparentes de distinto indice de refracción. No es fácil establecer dos regiones contiguas con distinto potencial, sin que exista una transición entre ambas. Por otra parte, podemos cambiar los potenciales en un amplio intervalo, sin embargo, los índices de refracción de los materiales transparentes no cambian demasido

Datos

• Masa del electrón, m=9.1·10^-31 kg
• Carga del electrón, q=1.6·10^-19 C
• Punto de partida de la carga x=-4 cm, y=0
• Angulo de su velocidad, θ₀=π/12 (15°)
• Diferencia de potencial que acelera los electrones, V₀=2000 V
• Campo eléctrico entre las dos placas, E₁=15000 N/C
• Distancia entre las placas, L=12 cm

m=9.1e-31; %masa del electron
q=1.6e-19; %carga del electrón
V0=2000; %acelera los electrones
th_0=pi/12; %ángulo inicial 
v0=sqrt(2*q*V0/m); %velocidad del haz de electrones

L=0.12; %distancia entre placas
E1=15000; %campo eléctrico que desvía el haz
V1=E1*L+V0; %potencial
x=@(t) v0*cos(th_0)*t+ q*E1*t.^2/(2*m);
y=@(t) 0.04*tan(th_0)+v0*sin(th_0)*t;
T=m*v0*(sqrt(cos(th_0)^2+2*q*E1*0.12/(m*v0^2))-cos(th_0))/(q*E1);
hold on
line([-0.04,0],[0,0.04*tan(th_0)])
line([0,0],[0,0.04],'lineWidth',1.5,'color','b')
fplot(x,y,[0, T],'color','k')
line([L,L],[0,0.04],'lineWidth',1.5,'color','r')
vx=v0*cos(th_0)+q*E1*T/m;
vy=v0*sin(th_0);
th_1=atan(vy/vx); %ángulo final
y1=y(T);
line([0.12,0.14],[y1, y1+0.02*vy/vx])
disp([sqrt(V0)*sin(th_0),sqrt(V1)*sin(th_1)]) %ley refracción
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trayectoria')

Comprobamos la ley de la refracción

   11.5747   11.5747

Referencias

Eleanor A. Winkler. Applications of undergraduate electricity and magnetism in the MIST-1 and MIST-2 ion sources. Am. J. Phys. 94 (11), November 2026, pp. 966-972