Dispersión de un ión por un átomo

Dispersión por un campo central, cuyo potencial es V(r)

La energía E y el momento angular L en coordenadas polares de una partícula de masa m y carga q se escriben

E= 1 2 m ( dr dt ) 2 + 1 2 m r 2 ( dθ dt ) 2 +qV(r) L=m r 2 dθ dt

Estas dos magnitudes son constantes en todos los puntos de la trayectoria e iguales a su valor inicial

L=m v 0 b E= 1 2 m v 0 2

b se denomina parámetro de impacto y v0 es la velocidad de la partícula en el infinito. La ecuación diferencial de la trayectoria es

dθ dr = L m r 2 2 m ( E L 2 2m r 2 qV(r) ) dθ dr =b 1 r r 2 b 2 r 2 qV(r) E

El máximo acercamiento al origen r0 se produce cuando, dr/dt=0, es decir cuando

E= 1 2 m r 2 ( dθ dt ) 2 +qV(r) r 2 b 2 r 2 qV(r) E =0

Se calcula la raíz real positiva r0 de esta ecuación, si existe

El ángulo de dispersión que mide el cambio en las direcciones inicial y final de la velocidad de la partícula es Φ=π-2θ0, donde θ0 es

θ 0 =b r 0 dr r 2 1 b 2 r 2 qV(r) E

Cuando V(r) es inversamente proporcional a r

V(r)= 1 4π ε 0 Q r

Se obtiene una solución analítica haciendo el cambio de variable u=1/r, que hemos tratado en la página anterior

Ejemplo

La energía de la partícula es E=0.5, el parámetro de impacto b=0.75. Tomamos k=1

El ángulo de dispersión es

tan Φ 2 = k 2Eb

>> k=1;
>> E=0.5;
>> b=0.75;
>> 2*atan(k/(2*E*b))*180/pi
ans =  106.2602

El resultado es Φ=106.26

Calculamos la distancia de máxima aproximación r0, la raíz real positiva de la ecuación de segundo grado

r 2 k E r b 2 =0

>> r0=(k/E+sqrt((k/E)^2+4*b^2))/2
r0 =    2.2500    

El resultado es r0=2.25

Calculamos θ0 y el ángulo de dispersión Φ=π-2θ0, integrando

θ 0 =b r 0 dr r r 2 k E r b 2

Utilizando int de Math Symbolic

>> syms x;
>> the_0=b*int(1/(x*sqrt(x^2-b^2-k*x/E)),x,r0,inf);
>> Phi=pi-2*the_0
Phi =  pi - 2*atan(3/4)
>> double(Phi)*180/pi
ans =  106.2602

Utilizando el procedimientos numérico integral

>> f=@(x) 1./(x.*sqrt(x.^2-b^2-k*x/E));
>> angulo=(pi-2*integral(f,r0,inf))*180/pi
angulo =   81.6803

El radicando del denominador se hace cero para el límite inferior r0 (el integrando infinito) y los resultados, cuando se efectúa una integración numérica, no son satisfactorios.

Dispersión de un ión por un átomo neutro

Consideremos un átomo inmóvil, situado en el origen y un ión de msa m y carga q situado a una distancia r

El campo eléctrico producido por el ión polariza el átomo que podemos considerar ahora como un dipolo de cargas +Q y -Q separadas una distancia 2a.

El campo eléctrico producido por el dipolo en la posición del ión es

E p = 1 4π ε 0 Q (r+a) 2 1 4π ε 0 Q (ra) 2 = Q 4π ε 0 r 2 ( ( 1+ a r ) 2 ( 1 a r ) 2 )

Como a<<r, aproximamos a

E p Q 4π ε 0 r 2 ( ( 1 2a r )( 1+ 2a r ) )= 4Qa 4π ε 0 r 3

El campo eléctrico Ei producido por el ión polariza el átomo, p=α·Ei, donde p es el momento dipolar p=Q(2a). Calculamos la carga Q del dipolo

p=α 1 4π ε 0 q r 2 Q= α 2a 1 4π ε 0 q r 2

El campo producido por el átomo neutro situado en el origen, en la posición del ión es

E p = 2α ( 4π ε 0 ) 2 q r 5

La fuerza sobre el ión es atractiva

f p = 2α ( 4π ε 0 ) 2 q 2 r 5

El potencial V(r) correspondiente al campo Ep es

V(r)= r 2α ( 4π ε 0 ) 2 q r 5 dr= α 2 ( 4π ε 0 ) 2 q r 4

La posición de máximo acercamiento es la raíz real positiva de la ecuación bicuadrada

r 2 b 2 + k r 2 E =0k= α q 2 2 ( 4π ε 0 ) 2

Las raíces reales se obtienen siempre que

b 4 4 k E b ( α q 2 4 ( π ε 0 ) 2 m v 0 2 ) 1/4

Trayectorias

Las ecuaciones del movimiento del ión de masa m son

m d 2 x d t 2 = 4k r 5 x r m d 2 y d t 2 = 4k r 5 y r

Dibujamos las trayectorias seguidas por los iones, resolviendo el sistema de ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos. Superponemos en líneas a trazos, la curva de energía potencial Ep(r)=-k/r4

k=1;
energia=5;
N=20; %partículas
tspan=[0,10];
hold on
potencial=@(r) -k./r.^4;
for i=1:N
    b=0.7+i/N; %parámetro de impacto
    if b>(4*k/energia)^(1/4)
        x0=[-10,sqrt(2*energia),b,0];
        fg=@(t,x)[x(2);-4*k*x(1)/(x(1)^2+x(3)^2)^3; x(4); 
-4*k*x(3)/(x(1)^2+x(3)^2)^3];
        [t,x]=ode45(fg,tspan,x0);
        plot(x(:,1),x(:,3))    
    end
end
fp=fplot(potencial,[0.05,5],'--k');
plot(-fp.XData,fp.YData,'--k')
ylim([-3,3]);
xlim([-4,4])
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y');
title('dispersión')

Referencias

Problema propuesto en la XLII Olimpiada Internacional de Física. Bankok (2011)