Dispersión por un potencial V(r)
Dispersión por un potencial repulsivo V(r)=k/r2
La energía E y el momento angular L en coordenadas polares de una partícula de masa m y carga q son
Estas dos magnitudes son constantes en todos los puntos de la trayectoria e iguales a su valor inicial
b se denomina parámetro de impacto y v0 es la velocidad de la partícula en el infinito. La ecuación diferencial de la trayectoria es
Sustituimos E, L y V(r)
Hacemos el cambio de variable u=1/r, du=-dr/r2
La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es
La constante c se determina sabiendo que la partícula parte del infinito, r→∞ con un parámetro de impacto b, la posición angular θ→0 (véase la figura más abajo). Por tanto, c=π. La ecuacion de la trayectoria en coordenadas polares es
La otra asíntota se obtiene para el ángulo θ1 tal que π-kθ1/b=0, es decir, cuando r→∞
El ángulo de dispersión es
Para un parámetro de impacto dado b, la distancia mínima a entre la partícula y el centro fijo de fuerzas es
En la posición de mínima distancia se cumple que la componente radial de la velocidad es nula, dr/dt=0
Cuando el parámero de impacto b=0, la partícula se mueve hacia el centro de fuerzas hasta una distancia h y luego, retrocede
La ecuación de la trayectoria en términos de los parámetros a y h se escribe
Para representar la trayectoria se ha empleado el código MATLAB
h2=0.2; %se fija la energía de la partícula hold on b=0.3; % parámetro de impacto k2=b^2+h2; r=@(x) sqrt(k2)./sin(pi-sqrt(k2)*x/b); Th=pi*b/sqrt(k2); %asíntota fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[0.05,Th-0.05]) plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y') plot(sqrt(k2)*cos(Th/2),sqrt(k2)*sin(Th/2),'bo', 'markersize',3 ,'markerfacecolor','b') plot(sqrt(h2),0,'ko', 'markersize',3,'markerfacecolor','k') line([0,-0.5],[0,0.5*tan(pi-Th)],'lineStyle','--') %asíntota hold off axis equal xlim([-0.5,2]) ylim([0,1.5]) xlabel('x') ylabel('y') title('Dispersión')
Representamos las trayectorias para una energía fijada por el parámetro h2, para varios parámeros de imapacto b
h2=0.2; %se fija la energía de la partícula hold on for b=0.1:0.1:1 % parámetro de impacto k2=b^2+h2; r=@(x) sqrt(k2)./sin(pi-sqrt(k2)*x/b); fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[0.05, pi*b/sqrt(k2)-0.05]) %simétrica fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) -r(x).*sin(x),[0.05, pi*b/sqrt(k2)-0.05]) end plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y') %centro de fuerzas hold off grid on axis equal xlim([-2,2]) ylim([-1.5,1.5]) xlabel('x') ylabel('y') title('Dispersión')
Envolvente
La ecuación de la trayectoria depende del parámetro de impacto b, f(r, θ, b)=0
La ecuación de la envolvente de las trayectorias se obtiene derivando con respecto a b e igualando a cero.
No podemos despejar b de la ecuación de la trayectoria y sustituirlo en esta última. La ecuación de la envolvente viene descrita por el sistema de dos ecuaciones
Dado el parámetro b, se resuelve el sistema de dos ecuaciones no lineales mediante
h2=0.8; %se fija la energía de la partícula hold on for b=0.1:0.1:1 % parámetro de impacto k2=b^2+h2; r=@(x) sqrt(k2)./sin(pi-sqrt(k2)*x/b); fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[0.05, pi*b/sqrt(k2)-0.05]) fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) -r(x).*sin(x),[0.05, pi*b/sqrt(k2)-0.05]) end plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y') %envolvente bb=0.1:0.05:1; z=zeros(length(bb),2); j=1; for b=bb %r es x(1) y th es x(2) k2=b^2+h2; F=@(x) [x(1)*sin(pi-sqrt(k2)*x(2)./b)-sqrt(k2); x(1)*h2* cos(pi-sqrt(k2)*x(2)./b)-b.^3]; zz=fsolve(F,[sqrt(k2),pi*b/(2*sqrt(k2))]); z(j,1)=zz(1); z(j,2)=zz(2); j=j+1; end plot(z(:,1).*cos(z(:,2)),z(:,1).*sin(z(:,2)),'r') plot(z(:,1).*cos(z(:,2)),-z(:,1).*sin(z(:,2)),'r') hold off grid on axis equal xlim([-2,2]) ylim([-1.5,1.5]) xlabel('x') ylabel('y') title('Dispersión')
Para h2=0.2, el error en la envolvente es importante para valores del parámetro de impacto b grandes
Alternativamente, utilizamos el procedimiento de Newton-Raphson, para representar la evolvente, para ello necesitamos determinar la matriz J del siguiente modo
function hiperbola_8 h2=0.8; %se fija la energía de la partícula hold on for b=0.1:0.05:1 % parámetro de impacto k2=b^2+h2; r=@(x) sqrt(k2)./sin(pi-sqrt(k2)*x/b); fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[0.05, pi*b/sqrt(k2)-0.05]) fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) -r(x).*sin(x),[0.05, pi*b/sqrt(k2)-0.05]) end plot(0,0,'ro', 'markersize',8,'markerfacecolor','y') %envolvente bb=0.1:0.05:1; z=zeros(length(bb),2); j=1; for b=bb zz=envolvente(b); z(j,1)=zz(1); z(j,2)=zz(2); %disp([zz(1),zz(2)]) j=j+1; end plot(z(:,1).*cos(z(:,2)),z(:,1).*sin(z(:,2)),'r') hold off grid on axis equal xlim([-2,2]) ylim([-1.5,1.5]) xlabel('x') ylabel('y') title('Dispersión') function x=envolvente(b) k2=b^2+h2; F=@(x) [x(1)*sin(pi-sqrt(k2)*x(2)./b)-sqrt(k2); x(1)*h2*cos(pi-sqrt(k2)*x(2)./b)-b.^3]; J=@(x) [sin(pi-sqrt(k2)*x(2)./b), -x(1)*sqrt(k2)*cos(pi-sqrt(k2)*x(2)./b)/b ; h2*cos(pi-sqrt(k2)*x(2)./b), x(1)*h2*sin(pi-sqrt(k2)*x(2)./b)*sqrt(k2)/b]; x=[sqrt(k2),pi*b/(2*sqrt(k2))]; %valor inicial for i=1:100 dx=-J(x)\F(x); if sqrt(norm(dx)/norm(x))<0.001 % disp(x+dx) break; end x=x+dx; end if i==100 disp('Se ha soprepasado el número de iteracciones'); end end end
Para los primeros valores del parámetro de impacto b, el procedimiento no realiza bien los cálculos tal como se puede ver en la siguiente tabla
La primera columna b es el parámetro de impacto. La segunda y tercera columna, es la posición (r,θ) de un punto de la envolvente en coordendas polares, calculado mediante
b | r | θ | r | θ |
---|---|---|---|---|
0.1 | 0.9000 | 0.1742 | 0.9000 | 0.8728 |
0.2 | 0.9166 | 0.3452 | -0.9166 | 1.0307 |
0.3 | 0.9440 | 0.5109 | -0.9440 | -0.4881 |
0.4 | 0.9831 | 0.6745 | 0.9831 | 0.6745 |
0.5 | 1.0365 | 0.8403 | 1.0365 | 0.8403 |
0.6 | 1.1104 | 1.0119 | 1.1104 | 1.0119 |
0.7 | 1.2140 | 1.1906 | 1.2140 | 1.1906 |
0.8 | 1.3600 | 1.3738 | 1.3600 | 1.3738 |
0.9 | 1.5622 | 1.5559 | 1.5622 | 1.5559 |
1.0 | 1.8337 | 1.7299 | 1.8337 | 1.7299 |
A partir de b=0.4 ambos procedimientos coinciden en los resultados
Dispersión de un ión por un átomo neutro
Consideremos un átomo inmóvil, situado en el origen y un ión de msa m y carga q situado a una distancia r

El campo eléctrico producido por el ión polariza el átomo que podemos considerar ahora como un dipolo de cargas +Q y -Q separadas una distancia 2a.
El campo eléctrico producido por el dipolo en la posición del ión es
Como a<<r, aproximamos a
El campo eléctrico Ei producido por el ión polariza el átomo, p=α·Ei, donde p es el momento dipolar p=Q(2a). Calculamos la carga Q del dipolo
El campo producido por el átomo neutro situado en el origen, en la posición del ión es
La fuerza sobre el ión es atractiva
El potencial V(r) correspondiente al campo Ep es
La posición de máximo acercamiento es la raíz real positiva de la ecuación bicuadrada
Las raíces reales se obtienen siempre que
Trayectorias

Las ecuaciones del movimiento del ión de masa m son
Representamos las trayectorias seguidas por los iones, resolviendo el sistema de ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos. Superponemos en líneas a trazos, la curva de energía potencial Ep(r)=-k/r4
k=1; energia=5; N=20; %partículas tspan=[0,10]; hold on potencial=@(r) -k./r.^4; for i=1:N b=0.7+i/N; %parámetro de impacto if b>(4*k/energia)^(1/4) x0=[-10,sqrt(2*energia),b,0]; fg=@(t,x)[x(2);-4*k*x(1)/(x(1)^2+x(3)^2)^3; x(4); -4*k*x(3)/(x(1)^2+x(3)^2)^3]; [t,x]=ode45(fg,tspan,x0); plot(x(:,1),x(:,3)) end end fp=fplot(potencial,[0.05,5],'--k'); plot(-fp.XData,fp.YData,'--k') ylim([-3,3]); xlim([-4,4]) hold off grid on xlabel('x') ylabel('y'); title('dispersión')
Referencias
Thomas Curtright, Gaurav Verma. Scattering shadows. Am. J. Phys. 92 (12), December 2024, pp. 924-930
Problema propuesto en la XLII Olimpiada Internacional de Física. Bangkok (2011)