Dispersión por un campo central, cuyo potencial es V(r)

La energía E y el momento angular L en coordenadas polares de una partícula de masa m y carga q se escriben

${\displaystyle \begin{array}{l}E=\frac{1}{2}m{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}m{r}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+qV(r)\\ L=m{r}^2\frac{d\theta }{dt}\end{array}}$

Estas dos magnitudes son constantes en todos los puntos de la trayectoria e iguales a su valor inicial

${\displaystyle \begin{array}{l}L=m{v}_{0}b\\ E=\frac{1}{2}m{v}_0^2\end{array}}$

b se denomina parámetro de impacto y v₀ es la velocidad de la partícula en el infinito. La ecuación diferencial de la trayectoria es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\theta }{dr}=\frac{\frac{L}{m{r}^2}}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-\frac{L^2}{2m{r}^2}-qV(r)\right)}}\\ \frac{d\theta }{dr}=b\frac{1}{r\sqrt{r^2-b^2-r^2\frac{qV(r)}{E}}}\end{array}}$

El máximo acercamiento al origen r₀ se produce cuando, dr/dt=0, es decir cuando

${\displaystyle \begin{array}{l}E=\frac{1}{2}m{r}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+qV(r)\\ r^2-b^2-r^2\frac{qV(r)}{E}=0\end{array}}$

Se calcula la raíz real positiva r₀ de esta ecuación, si existe

El ángulo de dispersión que mide el cambio en las direcciones inicial y final de la velocidad de la partícula es Φ=π-2θ₀, donde θ₀ es

${\displaystyle {\theta }_0=b{\displaystyle \underset{r_0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{dr}{r^2\sqrt{1-\frac{b^2}{r^2}-\frac{qV(r)}{E}}}}}$

Cuando V(r) es inversamente proporcional a r

${\displaystyle V(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r}}$

Se obtiene una solución analítica haciendo el cambio de variable u=1/r, que hemos tratado en la página anterior

Ejemplo

La energía de la partícula es E=0.5, el parámetro de impacto b=0.75. Tomamos k=1

El ángulo de dispersión es

${\displaystyle \tan \frac{\Phi }{2}=\frac{k}{2Eb}}$

>> k=1;
>> E=0.5;
>> b=0.75;
>> 2*atan(k/(2*E*b))*180/pi
ans =  106.2602

El resultado es Φ=106.26

Calculamos la distancia de máxima aproximación r₀, la raíz real positiva de la ecuación de segundo grado

${\displaystyle r^2-\frac{k}{E}r-b^2=0}$

>> r0=(k/E+sqrt((k/E)^2+4*b^2))/2
r0 =    2.2500    

El resultado es r₀=2.25

Calculamos θ₀ y el ángulo de dispersión Φ=π-2θ₀, integrando

${\displaystyle {\theta }_0=b{\displaystyle \underset{r_0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{dr}{r\sqrt{r^2-\frac{k}{E}r-b^2}}}}$

Utilizando int de Math Symbolic

>> syms x;
>> the_0=b*int(1/(x*sqrt(x^2-b^2-k*x/E)),x,r0,inf);
>> Phi=pi-2*the_0
Phi =  pi - 2*atan(3/4)
>> double(Phi)*180/pi
ans =  106.2602

Utilizando el procedimientos numérico integral

>> f=@(x) 1./(x.*sqrt(x.^2-b^2-k*x/E));
>> angulo=(pi-2*integral(f,r0,inf))*180/pi
angulo =   81.6803

El radicando del denominador se hace cero para el límite inferior r₀ (el integrando infinito) y los resultados, cuando se efectúa una integración numérica, no son satisfactorios.

Dispersión de un ión por un átomo neutro

Consideremos un átomo inmóvil, situado en el origen y un ión de msa m y carga q situado a una distancia r

El campo eléctrico producido por el ión polariza el átomo que podemos considerar ahora como un dipolo de cargas +Q y -Q separadas una distancia 2a.

El campo eléctrico producido por el dipolo en la posición del ión es

${\displaystyle E_p=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{{(r+a)}^2}-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{{(r-a)}^2}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\left({\left(1+\frac{a}{r}\right)}^{-2}-{\left(1-\frac{a}{r}\right)}^{-2}\right)}$

Como a<<r, aproximamos a

${\displaystyle E_p\approx \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\left(\left(1-\frac{2a}{r}\right)-\left(1+\frac{2a}{r}\right)\right)=-\frac{4Qa}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}}$

El campo eléctrico E_i producido por el ión polariza el átomo, p=α·E_i, donde p es el momento dipolar p=Q(2a). Calculamos la carga Q del dipolo

${\displaystyle \begin{array}{l}p=\alpha \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\\ Q=\frac{\alpha }{2a}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\end{array}}$

El campo producido por el átomo neutro situado en el origen, en la posición del ión es

${\displaystyle E_p=-\frac{2\alpha }{{\left(4\pi {\epsilon }_0\right)}^2}\frac{q}{r^5}}$

La fuerza sobre el ión es atractiva

${\displaystyle f_p=-\frac{2\alpha }{{\left(4\pi {\epsilon }_0\right)}^2}\frac{q^2}{r^5}}$

El potencial V(r) correspondiente al campo E_p es

${\displaystyle V(r)={\displaystyle \underset{r}{\overset{\infty }{\int }}-\frac{2\alpha }{{\left(4\pi {\epsilon }_0\right)}^2}\frac{q}{r^5}dr=}-\frac{\alpha }{2{\left(4\pi {\epsilon }_0\right)}^2}\frac{q}{r^4}}$

La posición de máximo acercamiento es la raíz real positiva de la ecuación bicuadrada

${\displaystyle r^2-b^2+\frac{k}{r^{2}E}=0k=\frac{\alpha q^2}{2{\left(4\pi {\epsilon }_0\right)}^2}}$

Las raíces reales se obtienen siempre que

${\displaystyle b^4\ge 4\frac{k}{E}b\ge {\left(\frac{\alpha q^2}{4{\left(\pi {\epsilon }_0\right)}^{2}m{v}_0^2}\right)}^{1/4}}$

Trayectorias

Las ecuaciones del movimiento del ión de masa m son

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{4k}{r^5}\frac{x}{r}\\ m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-\frac{4k}{r^5}\frac{y}{r}\end{array}}$

Dibujamos las trayectorias seguidas por los iones, resolviendo el sistema de ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos. Superponemos en líneas a trazos, la curva de energía potencial E_p(r)=-k/r⁴

k=1;
energia=5;
N=20; %partículas
tspan=[0,10];
hold on
potencial=@(r) -k./r.^4;
for i=1:N
    b=0.7+i/N; %parámetro de impacto
    if b>(4*k/energia)^(1/4)
        x0=[-10,sqrt(2*energia),b,0];
        fg=@(t,x)[x(2);-4*k*x(1)/(x(1)^2+x(3)^2)^3; x(4); 
-4*k*x(3)/(x(1)^2+x(3)^2)^3];
        [t,x]=ode45(fg,tspan,x0);
        plot(x(:,1),x(:,3))    
    end
end
fp=fplot(potencial,[0.05,5],'--k');
plot(-fp.XData,fp.YData,'--k')
ylim([-3,3]);
xlim([-4,4])
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y');
title('dispersión')

Referencias

Problema propuesto en la XLII Olimpiada Internacional de Física. Bangkok (2011)