El acelerador lineal
Un acelerador lineal está constituido por un tubo muy largo dividido en porciones de longitud variable.
Las secciones alternas del tubo se conectan entre sí y se aplica una diferencia de potencial oscilante, entre los dos conjuntos. En la figura, el potencial de las porciones de tubo de color rojo es positivo y el de las de color azul es negativo.
Vamos a demostrar que para que el ión esté en fase con el potencial oscilante, cuando pasa de una porción del tubo a la siguiente, las longitudes de las sucesivas porciones Ln deben cumplir la siguiente proporción
donde L1 es la longitud de la primera.
Primera etapa

Supongamos que la diferencia de potencial existente entre la fuente (tubo 0) y el primer tubo es 2V0
La velocidad de los iones de carga q y masa m al entrar en el primer tubo es
El tiempo que tardan en recorrer el tubo de longitud L1 es t1=L1/v1
Segunda etapa

Al salir del primer tubo y entrar en el segundo, el potencial ha cambiado de polaridad. De nuevo, la partícula se acelera recibiendo una energía adicional de 2qV0. La velocidad de la partícula en el segundo tubo será
El tiempo que tardan en recorrer el tubo de longitud L2 es t2=L2/v2
para que t1 sea igual a t2, la longitud L2 del segundo tubo tiene que ser
Tercera etapa
Al salir del segundo tubo y entrar en el tercero, el potencial ha cambiado de polaridad
De nuevo, la partícula se acelera recibiendo una energía adicional de 2qV0. La velocidad de la partícula en el tercer tubo será
El tiempo que tardan en recorrer el tubo de longitud L3 es t3=L3/v3
para que t1 sea igual a t3, la longitud L3 del tercer tubo tiene que ser
n-etapa
En general, cuando la partícula pasa del tubo n-1 al tubo n, su energía es
La longitud del tubo n será
El acelerador lineal consta de n tubos alineados cuyas longitudes son proporcionales a la raíz cuadrada del número de tubo.
Frecuencia de la fem alterna
Como hemos visto en la primera figura, los tubos en posiciones alternas tienen el mismo potencial. Por ejemplo, los tubos impares son bien positivos (negativos) mientas que los pares son negativos (positivos).
En la figura de arriba, vemos que la partícula se frena al pasar del segundo al tercer tubo. En la figura de abajo, vemos que el ión es acelerado al pasar del segundo al tercer tubo.
Para conseguir que el ión se acelere siempre, la frecuencia de la fem alterna tiene que ser tal, que el tiempo que tarde del ión en recorrer cualquier tubo sea el mismo que necesita la fem para cambiar de polaridad.
El periodo P de la fem será
Ejemplo
Tenemos un acelerador lineal de cinco etapas n=5. El primer tubo tiene una longitud de 5 cm. Aceleramos con esta máquina iones de 2 unidades de carga q=2·1.6 10-19 C, y de 4 uma de masa, m=4·1.67 10-27 kg. La amplitud de la fem alterna es 100 V.
El periodo de la fem será
Su frecuencia f =1/P==1.38 MHz.
La energía de los iones al llegar al blanco será Ef=n·2qV0.= 5·2·2·100=2000 eV
Veamos ahora, que ocurre si el periodo de la fem alterna es P=0.60 μs.
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El ión es acelerado por una diferencia de potencial de 200 V existente entre la fuente y el primer tubo.
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La energía cinética de la partícula es E2=E1+q·ΔV12=720.6 eV
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La energía cinética de la partícula es E3=E2+q·ΔV23=755 eV
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La energía cinética de la partícula es E4=E3-q·ΔV34=355.2 eV, ya que el campo eléctrico existente entre los dos tubos, se opone al movimiento del ión
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La energía cinética de la partícula es E5=E4-q·ΔV45=297.4 eV, ya que el campo eléctrico existente entre los dos tubos se opone al movimiento del ión
La energía de la partícula es E1=q·ΔV01=2·200=400 eV
La velocidad v1 que adquiere el ión al comenzar la primera etapa es
Dentro del tubo, el ión se mueve con velocidad constante. En el instante t1 llega al final del primer tubo de longitud L1
En este instante, la diferencia de potencial existente entre el primer tubo y el segundo tubo es
que acelera de nuevo, al ión
La velocidad que adquiere el ión al entrar en el segundo tubo es
En el instante t2 la partícula llega al final del segundo tubo de longitud L2
En este instante, la diferencia de potencial ente el segundo y el tercer tubo es
La velocidad que adquiere el ión al entrar en el tercer tubo es
En el instante t3 la partícula alcanza el final del tercer tubo de longitud L3
En el instante t3 la diferencia de potencial ente el tercero y el cuarto tubo es
La velocidad que adquiere el ión al entrar en el cuarto tubo es
En el instante t4 llega al final del cuarto tubo de longitud L4
En el instante t4 la diferencia de potencial ente el cuarto y el quinto tubo es
La velocidad que adquiere el ión al entrar en el quinto tubo es
En el instante t5 llega al final del quinto tubo de longitud L5
y choca contra el blanco con una energía de 297.4 eV
Actividades
Se simula el funcionamiento de un pequeño acelerador lineal que consta de cinco etapas. La primera porción de tubo (señalada con 1) tiene una longitud de 5 cm, los demás tubos tienen una longitud creciente cuyos valores son
Los tubos pares e impares están conectados a una fem alterna, pero tienen polaridad opuesta. El potencial de los tubos dibujados en color rojo es positivo, mientras que es negativo en los dibujados en color azul. Un ión positivo se acelera en el sentido del campo, cuando pasa desde un tubo con potencial positivo (rojo) a otro a potencial negativo (azul). La flecha que aparece cuando la partícula pasa de un tubo al siguiente indica la magnitud de la fuerza sobre la partícula.
En la parte inferior tenemos dos gráficas.
La gráfica de la derecha indica la energía que va adquiriendo la partícula. Se toma como unidad la energía 2qV0, es decir, la que adquiere la partícula cuando pasa de la fuente (tubo cero) al primer tubo. La máxima energía que adquiere la partícula es de 5 unidades o bien, 5·2qV0
La gráfica de la izquierda, representa la fem alterna en función del tiempo. La recta vertical de color rojo representa el valor del potencial que tienen los tubos de color rojo en un instante determinado, y la recta de color azul representa el mismo valor pero de signo contrario para los tubos dibujados en color azul. Ambos están en oposición de fase.
Se introduce
- La carga del ión, siempre positiva, en unidades de la carga del electrón, 1.6 10-19 C,.en el control titulado carga.
- La masa del ión, en unidades de masa atómica (u.m.a.) 1.67 10-27 kg, en el control titulado Masa.
- La amplitud V0 en voltios, en el control titulado d. de potencial
- El periodo de la fem en microsegundos (1μs=0-6 s), en el control titulado Periodo fem
Se pulsa el botón titulado Nuevo.