El acelerador lineal

El acelerador lineal también llamado LINAC (linear accelerator) es un tipo de acelerador que le proporciona a la partícula subatómica cargada pequeños incrementos de energía cuando pasa a través de una secuencia de campos eléctricos alternos.

Mientras que el generador de Van de Graaff proporciona energía a la partícula en una sola etapa, el acelerador lineal y el ciclotrón proporcionan energía a la partícula en pequeñas cantidades que se van sumando.

El acelerador lineal, fue propuesto en 1924 por el físico sueco Gustaf Ising. El ingeniero noruego Rolf Wideröe construyó la primera máquina de esta clase, que aceleraba iones de potasio hasta una energía de 50.000 eV.

Durante la Segunda Guerra Mundial se construyeron potentes osciladores de radio frecuencia, necesarios para los radares de la época. Después se usaron para crear aceleradores lineales para protones que trabajaban a una frecuencia de 200 MHz, mientras que los aceleradores de electrones trabajan a una frecuencia de 3000 MHz.

El acelerador lineal de protones diseñado por el físico Luis Alvarez en 1946, tenía 875 m de largo y aceleraba protones hasta alcanzar una energía de 800 MeV (800 millones). El acelerador lineal de la universidad de Stanford es el más largo entre los aceleradores de electrones, mide 3.2 km de longitud y proporciona una energía de 50 GeV (50 billones).

En la industria y en la medicina se usan pequeños aceleradores lineales, bien sea de protones o de electrones.

Un acelerador lineal está constituido por un tubo muy largo dividido en porciones de longitud variable.

Las secciones alternas del tubo se conectan entre sí y se aplica una diferencia de potencial oscilante, entre los dos conjuntos. En la figura, el potencial de las porciones de tubo de color rojo es positivo y el de las de color azul es negativo.

Vamos a demostrar que para que el ión esté en fase con el potencial oscilante, cuando pasa de una porción del tubo a la siguiente, las longitudes de las sucesivas porciones L_n deben cumplir la siguiente proporción

$L_{n} = L_{1} \sqrt{n}$

donde L₁ es la longitud de la primera.

Primera etapa

Supongamos que la diferencia de potencial existente entre la fuente (tubo 0) y el primer tubo es 2V₀

La velocidad de los iones de carga q y masa m al entrar en el primer tubo es

$\frac{1}{2} m v_{1}^{2} = 2 q V_{0}$

El tiempo que tardan en recorrer el tubo de longitud L₁ es t₁=L₁/v₁

$t_{1} = \frac{L_{1}}{2} \sqrt{\frac{m}{q V_{0}}}$

Segunda etapa

Al salir del primer tubo y entrar en el segundo, el potencial ha cambiado de polaridad. De nuevo, la partícula se acelera recibiendo una energía adicional de 2qV₀. La velocidad de la partícula en el segundo tubo será

$\frac{1}{2} m v_{2}^{2} = 4 q V_{0}$

El tiempo que tardan en recorrer el tubo de longitud L₂ es t₂=L₂/v₂

$t_{2} = \frac{L_{2}}{2} \sqrt{\frac{m}{2 q V_{0}}}$

para que t₁ sea igual a t_2, la longitud L₂ del segundo tubo tiene que ser

$L_{2} = L_{1} \sqrt{2}$

Tercera etapa

Al salir del segundo tubo y entrar en el tercero, el potencial ha cambiado de polaridad

De nuevo, la partícula se acelera recibiendo una energía adicional de 2qV₀. La velocidad de la partícula en el tercer tubo será

$\frac{1}{2} m v_{3}^{2} = 6 q V_{0}$

El tiempo que tardan en recorrer el tubo de longitud L₃ es t₃=L₃/v₃

$t_{3} = \frac{L_{3}}{2} \sqrt{\frac{m}{3 q V_{0}}}$

para que t₁ sea igual a t_3, la longitud L₃ del tercer tubo tiene que ser

$L_{3} = L_{1} \sqrt{3}$

n-etapa

En general, cuando la partícula pasa del tubo n-1 al tubo n, su energía es

$E_{f} = n \cdot 2 q V$

La longitud del tubo n será

$L_{n} = L_{1} \sqrt{n}$

El acelerador lineal consta de n tubos alineados cuyas longitudes son proporcionales a la raíz cuadrada del número de tubo.

Frecuencia de la fem alterna

Como hemos visto en la primera figura, los tubos en posiciones alternas tienen el mismo potencial. Por ejemplo, los tubos impares son bien positivos (negativos) mientas que los pares son negativos (positivos).

En la figura de arriba, vemos que la partícula se frena al pasar del segundo al tercer tubo. En la figura de abajo, vemos que el ión es acelerado al pasar del segundo al tercer tubo.

Para conseguir que el ión se acelere siempre, la frecuencia de la fem alterna tiene que ser tal, que el tiempo que tarde del ión en recorrer cualquier tubo sea el mismo que necesita la fem para cambiar de polaridad.

El periodo P de la fem será

$P = 2 t_{1} = L_{1} \sqrt{\frac{m}{q V_{0}}}$

Ejemplo

Tenemos un acelerador lineal de cinco etapas n=5. El primer tubo tiene una longitud de 5 cm. Aceleramos con esta máquina iones de 2 unidades de carga q=2·1.6 10^-19 C, y de 4 uma de masa, m=4·1.67 10^-27 kg. La amplitud de la fem alterna es 100 V.

El periodo de la fem será

$P = 0.05 \sqrt{\frac{4 \cdot 1.67 \cdot 10^{- 27}}{2 \cdot 1.6 \cdot 10^{- 19} \cdot 100}} = 0.722 \cdot 10^{- 6} s = 0 .72 μ s$

Su frecuencia f =1/P==1.38 MHz.

La energía de los iones al llegar al blanco será E_f=n·2qV₀.= 5·2·2·100=2000 eV

Veamos ahora, que ocurre si el periodo de la fem alterna es P=0.60 μs.

El ión es acelerado por una diferencia de potencial de 200 V existente entre la fuente y el primer tubo.

La energía de la partícula es E₁=q·ΔV₀₁=2·200=400 eV

La velocidad v₁ que adquiere el ión al comenzar la primera etapa es

$E_{1} \cdot 1.6 \cdot 10^{- 19} = \frac{1}{2} 4 \cdot 1.67 \cdot 10^{- 27} v_{1}^{2} v_{1} = 1.38 \cdot 10^{5} m/s$

Dentro del tubo, el ión se mueve con velocidad constante. En el instante t₁ llega al final del primer tubo de longitud L₁

$t_{1} = \frac{L_{1}}{v_{1}} t_{1} = 0.361 \cdot 10^{- 6} s = 0 .36 μ s$

En este instante, la diferencia de potencial existente entre el primer tubo y el segundo tubo es

$Δ V = | 2 \cdot 100 \cdot \cos (\frac{2 π}{P} t_{1}) | Δ V_{12} = 160.3 V$

que acelera de nuevo, al ión

La energía cinética de la partícula es E₂=E₁+q·ΔV₁₂=720.6 eV

La velocidad que adquiere el ión al entrar en el segundo tubo es

$E_{2} \cdot 1.6 \cdot 10^{- 19} = \frac{1}{2} 4 \cdot 1.67 \cdot 10^{- 25} v_{2}^{2} v_{2} = 1.86 \cdot 10^{5} m/s$

En el instante t₂ la partícula llega al final del segundo tubo de longitud L₂

$t_{2} = t_{1} + \frac{L_{1} \sqrt{2}}{v_{2}} t_{2} = 0.742 \cdot 10^{- 6} s = 0 .74 μ s$

En este instante, la diferencia de potencial ente el segundo y el tercer tubo es

$Δ V = | 2 \cdot 100 \cdot \cos (\frac{2 π}{P} t_{2}) | Δ V_{23} = 17.2 V$

La energía cinética de la partícula es E₃=E₂+q·ΔV₂₃=755 eV

La velocidad que adquiere el ión al entrar en el tercer tubo es

$E_{3} \cdot 1.6 \cdot 10^{- 19} = \frac{1}{2} 4 \cdot 1.67 \cdot 10^{- 25} v_{3}^{2} v_{3} = 1.90 \cdot 10^{5} m/s$

En el instante t₃ la partícula alcanza el final del tercer tubo de longitud L₃

$t_{3} = t_{2} + \frac{L_{1} \sqrt{3}}{v_{3}} t_{3} = 1.197 \cdot 10^{- 6} s = 1 .20 μ s$

En el instante t₃ la diferencia de potencial ente el tercero y el cuarto tubo es

$Δ V = | 2 \cdot 100 \cdot \cos (\frac{2 π}{P} t_{3}) | Δ V_{34} = 199.9 V$

La energía cinética de la partícula es E₄=E₃-q·ΔV₃₄=355.2 eV, ya que el campo eléctrico existente entre los dos tubos, se opone al movimiento del ión

La velocidad que adquiere el ión al entrar en el cuarto tubo es

$E_{4} \cdot 1.6 \cdot 10^{- 19} = \frac{1}{2} 4 \cdot 1.67 \cdot 10^{- 25} v_{4}^{2} v_{4} = 1.30 \cdot 10^{5} m/s$

En el instante t₄ llega al final del cuarto tubo de longitud L₄

$t_{4} = t_{3} + \frac{L_{1} \sqrt{4}}{v_{4}} t_{4} = 1.964 \cdot 10^{- 6} s = 1.96 μ s$

En el instante t₄ la diferencia de potencial ente el cuarto y el quinto tubo es

$Δ V = | 2 \cdot 100 \cdot \cos (\frac{2 π}{P} t_{4}) | Δ V_{45} = 28.9 V$

La energía cinética de la partícula es E₅=E₄-q·ΔV₄₅=297.4 eV, ya que el campo eléctrico existente entre los dos tubos se opone al movimiento del ión

La velocidad que adquiere el ión al entrar en el quinto tubo es

$E_{5} \cdot 1.6 \cdot 10^{- 19} = \frac{1}{2} 4 \cdot 1.67 \cdot 10^{- 25} v_{5}^{2} v_{5} = 1.19 \cdot 10^{5} m/s$

En el instante t₅ llega al final del quinto tubo de longitud L₅

$t_{5} = t_{4} + \frac{L_{1} \sqrt{5}}{v_{5}} t_{5} = 2.900 \cdot 10^{- 6} s = 2.90 μ s$

y choca contra el blanco con una energía de 297.4 eV

Actividades

Se simula el funcionamiento de un pequeño acelerador lineal que consta de cinco etapas. La primera porción de tubo (señalada con 1) tiene una longitud de 5 cm, los demás tubos tienen una longitud creciente cuyos valores son

$L_{1} = 5, L_{2} = 5 \sqrt{2}, L_{3} = 5 \sqrt{3}, L_{4} = 5 \cdot 2, L_{5} = 5 \sqrt{5} cm$

Los tubos pares e impares están conectados a una fem alterna, pero tienen polaridad opuesta. El potencial de los tubos dibujados en color rojo es positivo, mientras que es negativo en los dibujados en color azul. Un ión positivo se acelera en el sentido del campo, cuando pasa desde un tubo con potencial positivo (rojo) a otro a potencial negativo (azul). La flecha que aparece cuando la partícula pasa de un tubo al siguiente indica la magnitud de la fuerza sobre la partícula.

En la parte inferior tenemos dos gráficas.

La gráfica de la derecha indica la energía que va adquiriendo la partícula. Se toma como unidad la energía 2qV₀, es decir, la que adquiere la partícula cuando pasa de la fuente (tubo cero) al primer tubo. La máxima energía que adquiere la partícula es de 5 unidades o bien, 5·2qV₀

La gráfica de la izquierda, representa la fem alterna en función del tiempo. La recta vertical de color rojo representa el valor del potencial que tienen los tubos de color rojo en un instante determinado, y la recta de color azul representa el mismo valor pero de signo contrario para los tubos dibujados en color azul. Ambos están en oposición de fase.

Se introduce

La carga del ión, siempre positiva, en unidades de la carga del electrón, 1.6 10^-19 C,.en el control titulado carga.
La masa del ión, en unidades de masa atómica (u.m.a.) 1.67 10^-27 kg, en el control titulado Masa.
La amplitud V₀ en voltios, en el control titulado d. de potencial
El periodo de la fem en microsegundos (1μs=0^-6 s), en el control titulado Periodo fem

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Carga: Masa (uma):
Diferencia de potencial:
Periodo fem (μs):