Dipolo eléctrico

En la página titulada Campo eléctrico de un sistema de dos o más cargas eléctricas, calculamos las componenetes del campo eléctrico producido en un punto P por un dipolo eléctrico cuyo vector $\overrightarrow{p}$, está orientado a lo largo del eje X. En este apartado, repetimos la derivación para un dipolo cuyo vector $\overrightarrow{p}$ tiene la dirección del eje Z

El potencial en el punto P distante r₁ de la carga –Q y r₂ de la carga +Q es

${\displaystyle V=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)}$

Expresamos r₁ y r₂ en función de r y θ, que es la posición del punto P expresada en coordenadas esféricas.

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}_1^2=r^2+d^2+2rd\cos \theta \\ r_2^2=r^2+d^2-2rd\cos \theta \end{array}}$

Teniendo en cuenta que d es pequeño frente a r, el potencial V se aproxima a

${\displaystyle V\approx \frac{2Qd}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\cos \theta =\frac{p}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\cos \theta }$

Las componentes de $\overrightarrow{E}$ se pueden calcular a partir del gradiente de V

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial V}{\partial r}\widehat{r}-\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta }\widehat{\theta }\\ E_r=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2p}{r^3}\cos \theta ,E_{\theta }=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{p}{r^3}\sin \theta \end{array}}$

Carga positiva

En la parte derecha de la figura, se muestran las fuerzas que ejerce el dipolo situado en el vértice del cono sobre una partícula de masa m y carga positiva q situada en la superficie del cono (de ángulo 2θ) a una distancia r del vértice. La superficie del cono ejerce sobre la partícula una fuerza N

No se incluye al peso mg de la partícula, ya que la fuerzas gravitatorias son muy pequeñas frente a las fuerzas eléctricas

En un instante dado t, la partícula dista r del vértice del cono y hace un ángulo φ con el eje X tal como se muestra en la figura. Describimos el movimiento de la partícula en coordenadas esféricas (r, φ, θ) con el ángulo θ constante.

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=r\sin \theta \cos \phi \\ y=r\sin \theta \sin \phi \\ z=r\cos \theta \end{array}}$

La aceleración en coordenadas esféricas es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}=\left(\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-r{\sin }^2\theta {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2\right)\widehat{r}+\hfill \\ \left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}-r\sin \theta ·\cos \theta {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2\right)\widehat{\theta }+\hfill \\ \left(r\sin \theta \frac{d^2\phi }{d{t}^2}+2\sin \theta \frac{dr}{dt}\frac{d\phi }{dt}+2r\cos \theta \frac{d\theta }{dt}\frac{d\phi }{dt}\right)\widehat{\phi }\hfill \end{array}}$

Las condiciones iniciales son

En el instante t=0, la partícula cargada se encuentra sobre la superficie cónica a una distancia r₀ del dipolo y las componentes de su velocidad son v_r en la dirección radial y v₀ en la direccíon tangente $\widehat{\phi }$ a la circunferencia de radio r₀sinθ. En el instante inicial, el ángulo φ=0

Ecuaciones del movimiento

Dado que θ es constante en la superficie del cono, dθ/dt=0

• Dirección perpendicular a la superficie cónica, $\widehat{\theta }$

${\displaystyle \begin{array}{l}m\left(-r\sin \theta ·\cos \theta {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2\right)=F_{\theta }-N\\ N=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{pq}{r^3}\sin \theta +mr\sin \theta ·\cos \theta {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2\end{array}}$

• Dirección tangente a la superficie cónica, $\widehat{\phi }$

No hay fuerza en esta dirección, el momento angular L_z se mantiene constante

${\displaystyle \begin{array}{l}m{v}_0{r}_0\sin \theta =mr\sin \theta \left(r\sin \theta \frac{d\phi }{dt}\right)\\ \frac{d\phi }{dt}=\frac{v_0{r}_0}{r^2\sin \theta }\end{array}}$

La reacción N de la superficie cónica es siempre positiva, la partícula desliza sin rozamiento sobre dicha superficie

${\displaystyle \begin{array}{l}N=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{pq}{r^3}\sin \theta +mr\sin \theta ·\cos \theta {\left(\frac{v_0{r}_0}{r^2\sin \theta }\right)}^2\\ N=\frac{1}{r^3}\left(\frac{pq}{4\pi {\epsilon }_0}\sin \theta +m{v}_0^2{r}_0^2\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\right)>0\end{array}}$

• Dirección radial, $\widehat{r}$

${\displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{l}m\left(\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\sin }^2\theta {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2\right)=F_r\\ m\left(\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\sin }^2\theta {\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2pq}{r^3}\cos \theta \end{array}\hfill \\ \frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{r_0^2}{r^3}\left(v_0^2+\frac{pq}{2\pi {\epsilon }_{0}m}\frac{\cos \theta }{r_0^2}\right)\hfill \\ \frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{r_0^2}{r^3}{v}_c^2\hfill \end{array}}$

Hemos definido una nueva velocidad v_c

La aceleración en la dirección radial es positiva, por tanto no es posible que la partícula cargada describa un movimiento circular. La partícula se mueve radialmente a la vez que gira alrededor del eje Z

Distancia r de la partícula al dipolo en función del tiempo

Integramos la ecuación diferencial para obtener la velocidad radial dr/dt en función de la distancia r al dipolo, sabiendo que la velocidad inicial en la dirección radial es v_r en la posición r₀

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{d\dot{r}}{dt}=\frac{d\dot{r}}{dr}\frac{dr}{dt}=\dot{r}\frac{d\dot{r}}{dr},\dot{r}=\frac{dr}{dt}\hfill \\ {\displaystyle \underset{v_r}{\overset{\dot{r}}{\int }}\dot{r}d\dot{r}}=v_c^2{r}_0^2{\displaystyle \underset{r_0}{\overset{r}{\int }}\frac{1}{r^3}dr}\hfill \\ \frac{1}{2}\left({\dot{r}}^2-v_r^2\right)=v_c^2{r}_0^2\frac{1}{2}\left(\frac{1}{r_0^2}-\frac{1}{r^2}\right)\hfill \end{array}}$

Integramos, de nuevo, para obtener la distancia r de la partícula cargada al dipolo en función del tiempo

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dr}{dt}=\sqrt{v_r^2+v_c^2\frac{r^2-r_0^2}{r^2}}\\ {\displaystyle \underset{r_0}{\overset{r}{\int }}\frac{r·dr}{\sqrt{\left(v_r^2+v_c^2\right)r^2-v_c^2{r}_0^2}}}={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\\ {\frac{\sqrt{\left(v_r^2+v_c^2\right)r^2-v_c^2{r}_0^2}}{v_r^2+v_c^2}|}_{r_0}^r=t\\ \frac{1}{v_r^2+v_c^2}\left(\sqrt{\left(v_r^2+v_c^2\right)r^2-v_c^2{r}_0^2}-v_r{r}_0\right)=t\\ \sqrt{\left(v_r^2+v_c^2\right)r^2-v_c^2{r}_0^2}-v_r{r}_0=\left(v_r^2+v_c^2\right)t\\ \left(v_r^2+v_c^2\right)r^2-v_c^2{r}_0^2={\left(\left(v_r^2+v_c^2\right)t+v_r{r}_0\right)}^2\\ r=\sqrt{\frac{{\left(\left(v_r^2+v_c^2\right)t+v_r{r}_0\right)}^2+v_c^2{r}_0^2}{v_r^2+v_c^2}}\end{array}}$

Representamos r en función del tiempo t para cuatro valores del cociente v_r/v_c=, 0, 1, 2, 3, con r₀=1

r0=1;
vc=1;
hold on
for vr=0:3
    f=@(t) sqrt(((vr^2+vc^2)*t+vr*r0).^2+vc^2*r0^2)/sqrt(vr^2+vc^2);
    fplot(f,[0,6],'displayName',num2str(vr))
end
hold off
grid on
ylim([0,10])
legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('t')
ylabel('r')
title('Dipolo')

Angulo φ en función del tiempo

Partimos de la constancia del momento angular L_z y de la expresión de la distancia r en función del tiempo

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\phi }{dt}=\frac{v_0{r}_0}{r^2\sin \theta }\\ \frac{d\phi }{dt}=\frac{v_0{r}_0}{\sin \theta }\frac{v_r^2+v_c^2}{{\left(\left(v_r^2+v_c^2\right)t+v_r{r}_0\right)}^2+v_c^2{r}_0^2}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{\phi }{\int }}d\phi =}\frac{v_0{r}_0\left(v_r^2+v_c^2\right)}{\sin \theta }{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{dt}{{\left(\left(v_r^2+v_c^2\right)t+v_r{r}_0\right)}^2+v_c^2{r}_0^2}}\end{array}}$

Resolvemos la integral

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int \frac{dt}{{\left(\left(v_r^2+v_c^2\right)t+v_r{r}_0\right)}^2+v_c^2{r}_0^2}=\frac{1}{v_r^2+v_c^2}{\displaystyle \int \frac{du}{u^2+v_c^2{r}_0^2}}}=\frac{1}{v_r^2+v_c^2}\frac{1}{v_c{r}_0}\arctan \left(\frac{u}{v_c{r}_0}\right)=\\ \frac{1}{v_r^2+v_c^2}\frac{1}{v_c{r}_0}\arctan \left(\frac{\left(v_r^2+v_c^2\right)t+v_r{r}_0}{v_c{r}_0}\right)\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle \phi =\frac{v_0}{v_c\sin \theta }\left(\arctan \left(\frac{\left(v_r^2+v_c^2\right)t+v_r{r}_0}{v_c{r}_0}\right)-\arctan \left(\frac{v_r}{v_c}\right)\right)}$

Representamos $\phi \frac{\sin \theta }{v_0}$ en función del tiempo t para cuatro valores del cociente v_r/v_c=, 0, 1, 2, 3, con r₀=1

r0=1;
vc=1;
hold on
for vr=0:3
    f=@(t) (atan(((vr^2+vc^2)*t+vr*r0)/(vc*r0))-atan(vr/vc))/vc;
    fplot(f,[0,10],'displayName',num2str(vr))
end
hold off
grid on
set(gca,'YTick',0:pi/6:pi/2)
set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2'})
legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('t')
ylabel('\phi')
title('Dipolo')

Ecuación de la trayectoria

Partimos de la expresión de la velocidad en la dirección radial dr/dt y de la constancia del momento angular L_z

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dr}{dt}=\sqrt{v_r^2+v_c^2\frac{r^2-r_0^2}{r^2}}\\ \frac{dr}{d\phi }\frac{d\phi }{dt}=\sqrt{v_r^2+v_c^2\frac{r^2-r_0^2}{r^2}}\\ \frac{dr}{d\phi }=\frac{r^2\sin \theta }{v_0{r}_0}\sqrt{v_r^2+v_c^2\frac{r^2-r_0^2}{r^2}}\\ \frac{dr}{d\phi }=\frac{r\sin \theta }{v_0{r}_0}\sqrt{\left(v_r^2+v_c^2\right)r^2-v_c^2{r}_0^2}\\ {\displaystyle \underset{r_0}{\overset{r}{\int }}\frac{dr}{r\sqrt{\left(v_r^2+v_c^2\right)r^2-v_c^2{r}_0^2}}}=\frac{\sin \theta }{v_0{r}_0}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\phi }{\int }}d\phi }\end{array}}$

Hacemos el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}r=\frac{v_c{r}_0}{\sqrt{v_r^2+v_c^2}\sin \varphi },dr=-\frac{v_c{r}_0}{\sqrt{v_r^2+v_c^2}}\frac{\cos \varphi }{{\sin }^2\varphi }d\varphi \\ {\displaystyle \int \frac{dr}{r\sqrt{\left(v_r^2+v_c^2\right)r^2-v_c^2{r}_0^2}}=-\frac{v_c{r}_0}{\sqrt{v_r^2+v_c^2}}{\displaystyle \int \frac{\frac{\cos \varphi }{{\sin }^2\varphi }d\varphi }{\frac{v_c{r}_0}{\sqrt{v_r^2+v_c^2}\sin \varphi }\sqrt{\left(v_r^2+v_c^2\right)\frac{v_c^2{r}_0^2}{\left(v_r^2+v_c^2\right){\sin }^2\varphi }-v_c^2{r}_0^2}}=}}\\ =-\frac{1}{v_c{r}_0}{\displaystyle \int d\varphi =-\frac{1}{v_c{r}_0}\varphi =}-\frac{1}{v_c{r}_0}\arcsin \left(\frac{\sqrt{v_r^2+v_c^2}}{v_c}\frac{r}{r_0}\right)\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}-\arcsin \left(\frac{v_c}{\sqrt{v_r^2+v_c^2}}\frac{r_0}{r}\right)+\arcsin \left(\frac{v_c}{\sqrt{v_r^2+v_c^2}}\right)=\frac{v_c}{v_0}\sin \theta ·\phi \\ \arcsin \left(\frac{v_c}{\sqrt{v_r^2+v_c^2}}\frac{r_0}{r}\right)=\arcsin \left(\frac{v_c}{\sqrt{v_r^2+v_c^2}}\right)-\frac{v_c}{v_0}\sin \theta ·\phi \\ \frac{r_0}{r}=\frac{\sqrt{v_r^2+v_c^2}}{v_c}\sin \left(\arcsin \left(\frac{v_c}{\sqrt{v_r^2+v_c^2}}\right)-\frac{v_c}{v_0}\sin \theta ·\phi \right)\end{array}}$

Representamos r en función del tiempo φ para cuatro valores del cociente v_r/v_c=, 0, 1, 2, 3, con $\frac{v_c}{v_0}\sin \theta =1$

vc=1;
hold on
for vr=0:3
    f=@(x) (vc/sqrt(vc^2+vr^2))./sin(asin(vc/sqrt(vc^2+vr^2))-x);
    fplot(f,[0,1.5])
end
hold off
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2'})
grid on
ylim([0,5])
xlabel('\phi')
ylabel('r/r_0')
title('Dipolo')

Carga negativa

Cuando la carga q es negativa, la reacción N de la superficie cónica no es siempre positiva,

${\displaystyle N=\frac{1}{r^3}\left(m{v}_0^2{r}_0^2\frac{\cos \theta }{\sin \theta }-\frac{pq}{4\pi {\epsilon }_0}\sin \theta \right)}$

La velocidad inicial v₀ tiene que ser mayor que un valor mínimo, para que la partícula permanezca en la superficie del cono

${\displaystyle \begin{array}{l}N>0\\ m{v}_0^2{r}_0^2\frac{\cos \theta }{\sin \theta }>\frac{pq}{4\pi {\epsilon }_0}\sin \theta \\ v_0>\frac{1}{r_0}\sqrt{\frac{pq}{4\pi {\epsilon }_{0}m}\frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }}\end{array}}$

La ecuación del movimiento en la dirección radial es

${\displaystyle \frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{r_0^2}{r^3}\left(v_0^2-\frac{pq}{2\pi {\epsilon }_{0}m}\frac{\cos \theta }{r_0^2}\right)}$

Supondremos que la velocidad inicial en la dirección radial v_r=0. Los posibles movimientos son

• Aceleración radial nula, movimiento circular

La velocidad inicial de la partícula v_0c (crítica) para que describa un movimiento circular es

${\displaystyle v_{0c}=\frac{1}{r_0}\sqrt{\frac{pq}{2\pi {\epsilon }_{0}m}\cos \theta }}$

Esta velocidad debe ser mayor que la mínima (N>0) lo que impone cierta condición al ángulo θ del cono

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{r_0}\sqrt{\frac{pq}{2\pi {\epsilon }_{0}m}\cos \theta }>\frac{1}{r_0}\sqrt{\frac{pq}{4\pi {\epsilon }_{0}m}\frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }}\\ \sqrt{\frac{1}{2}\cos \theta }>\sqrt{\frac{1}{4}\frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }}\\ {\cos }^2\theta >\frac{1}{2}{\sin }^2\theta \\ \tan \theta <\sqrt{2}\end{array}}$

El momento angular L_z=mr₀v₀sinθ es independiente de la distancia r₀ de la partícula al dipolo situado en el vértice el cono

La energía de la partícula es nula

${\displaystyle \begin{array}{l}E=\frac{1}{2}m\left(v_0^2+v_r^2\right)-qV\\ E=\frac{1}{2}m{v}_0^2-\frac{pq}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0^2}\cos \theta \\ E=\frac{1}{2}m\frac{1}{r_0^2}\frac{pq}{2\pi {\epsilon }_{0}m}\cos \theta -\frac{pq}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0^2}\cos \theta =0\end{array}}$

• La velocidad inicial v₀ es mayor que la crítica v_0c

Expresamos la ecuación diferencial del movimiento en la dirección radial en términos de v_0c

${\displaystyle \frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{r_0^2}{r^3}\left(v_0^2-v_{0c}^2\right)}$

Integramos la ecuación diferencial para obtener la velocidad radial dr/dt en función de la distancia r al dipolo, sabiendo que la velocidad inicial en la dirección radial es v_r=0 en la posición r₀

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{d\dot{r}}{dt}=\frac{d\dot{r}}{dr}\frac{dr}{dt}=\dot{r}\frac{d\dot{r}}{dr},\dot{r}=\frac{dr}{dt}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{\dot{r}}{\int }}\dot{r}d\dot{r}}=\left(v_0^2-v_{0c}^2\right)r_0^2{\displaystyle \underset{r_0}{\overset{r}{\int }}\frac{1}{r^3}dr}\\ \frac{1}{2}{\dot{r}}^2=\left(v_0^2-v_{0c}^2\right)r_0^2\frac{1}{2}\left(\frac{1}{r_0^2}-\frac{1}{r^2}\right)\\ \frac{dr}{dt}=\frac{1}{r}\sqrt{v_0^2-v_{0c}^2}\sqrt{r^2-r_0^2}\end{array}}$

Integramos, para obtener la distancia radial r en función del tiempo

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{r_0}{\overset{r}{\int }}\frac{r·dr}{\sqrt{r^2-r_0^2}}=}\sqrt{v_0^2-v_{0c}^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\\ \sqrt{r^2-r_0^2}=\sqrt{v_0^2-v_{0c}^2}t\\ r=\sqrt{r_0^2+\left(v_0^2-v_{0c}^2\right)t^2}\end{array}}$

Ecuación de la trayectoria

Partimos de la expresión de la velocidad en la dirección radial dr/dt y de la constancia del momento angular L_z

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\phi }\frac{d\phi }{dt}\\ \frac{dr}{d\phi }\frac{v_0{r}_0}{r^2\sin \theta }=\frac{1}{r}\sqrt{v_0^2-v_{0c}^2}\sqrt{r^2-r_0^2}\\ \frac{dr}{d\phi }=\frac{r\sin \theta }{v_0{r}_0}\sqrt{v_0^2-v_{0c}^2}\sqrt{r^2-r_0^2}\\ {\displaystyle \underset{r_0}{\overset{r}{\int }}\frac{dr}{r\sqrt{r^2-r_0^2}}}=\frac{\sqrt{v_0^2-v_{0c}^2}}{v_0{r}_0}\sin \theta {\displaystyle \underset{0}{\overset{\phi }{\int }}d\phi }\end{array}}$

Hacemos el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}r=\frac{r_0}{\sin \varphi },dr=-r_0\frac{\cos \varphi }{{\sin }^2\varphi }d\varphi \\ {\displaystyle \int \frac{dr}{r\sqrt{r^2-r_0^2}}=-\frac{1}{r_0}{\displaystyle \int d\varphi }}=-\frac{1}{r_0}\arcsin \left(\frac{r_0}{r}\right)\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}-\frac{1}{r_0}\arcsin \left(\frac{r_0}{r}\right)+\frac{1}{r_0}\arcsin \left(1\right)=\frac{\sqrt{v_0^2-v_{0c}^2}}{v_0{r}_0}\sin \theta ·\phi \\ \arcsin \left(\frac{r_0}{r}\right)=\frac{\pi }{2}-\frac{\sqrt{v_0^2-v_{0c}^2}}{v_0}\sin \theta ·\phi \\ \frac{r_0}{r}=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\sqrt{v_0^2-v_{0c}^2}}{v_0}\sin \theta ·\phi \right)\\ \frac{r}{r_0}=\frac{1}{\cos \left(\frac{\sqrt{v_0^2-v_{0c}^2}}{v_0}\sin \theta ·\phi \right)}\end{array}}$

• La velocidad inicial v₀ es menor que la crítica v_0c

Expresamos la ecuación diferencial del movimiento en la dirección radial en términos de v_0c

${\displaystyle \frac{d^{2}r}{d{t}^2}=-\frac{r_0^2}{r^3}\left(v_{0c}^2-v_0^2\right)}$

Integramos la ecuación diferencial para obtener la velocidad radial dr/dt en función de la distancia r al dipolo, sabiendo que la velocidad inicial en la dirección radial es v_r=0 en la posición r₀

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{d\dot{r}}{dt}=\frac{d\dot{r}}{dr}\frac{dr}{dt}=\dot{r}\frac{d\dot{r}}{dr},\dot{r}=\frac{dr}{dt}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{\dot{r}}{\int }}\dot{r}d\dot{r}}=-\left(v_{0c}^2-v_0^2\right)r_0^2{\displaystyle \underset{r_0}{\overset{r}{\int }}\frac{1}{r^3}dr}\\ \frac{1}{2}{\dot{r}}^2=\left(v_0^2-v_{0c}^2\right)r_0^2\frac{1}{2}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{1}{r_0^2}\right)\\ \frac{dr}{dt}=\frac{1}{r}\sqrt{v_{0c}^2-v_0^2}\sqrt{r_0^2-r^2}\end{array}}$

Ecuación de la trayectoria

Partimos de la expresión de la velocidad en la dirección radial dr/dt y de la constancia del momento angular L_z

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\phi }\frac{d\phi }{dt}\\ \frac{dr}{d\phi }\frac{v_0{r}_0}{r^2\sin \theta }=\frac{1}{r}\sqrt{v_{0c}^2-v_0^2}\sqrt{r_0^2-r^2}\\ \frac{dr}{d\phi }=\frac{r\sin \theta }{v_0{r}_0}\sqrt{v_{0c}^2-v_0^2}\sqrt{r_0^2-r^2}\\ {\displaystyle \underset{r_0}{\overset{r}{\int }}\frac{dr}{r\sqrt{r_0^2-r^2}}}=\frac{\sqrt{v_{0c}^2-v_0^2}}{v_0{r}_0}\sin \theta {\displaystyle \underset{0}{\overset{\phi }{\int }}d\phi }\end{array}}$

Hacemos el cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}r=\frac{1}{t},dr=-\frac{1}{t^2}dt\\ {\displaystyle \int \frac{dr}{r\sqrt{r_0^2-r^2}}={\displaystyle \int \frac{-\frac{1}{t^2}dt}{\frac{1}{t}\sqrt{r_0^2-\frac{1}{t^2}}}=-{\displaystyle \int \frac{dt}{\sqrt{r_0^2{t}^2-1}}}}}\end{array}}$

Hacemos un nuevo cambio de variable

${\displaystyle \begin{array}{l}x=r_{0}t,dx=r_{0}dt\\ -\frac{1}{r_0}{\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}}=-\frac{1}{r_0}\text{arccosh}\left(x\right)=-\frac{1}{r_0}\text{arccosh}\left(r_{0}t\right)=-\frac{1}{r_0}\text{arccosh}\left(\frac{r_0}{r}\right)\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}-\frac{1}{r_0}\text{arccosh}\left(\frac{r_0}{r}\right)+\frac{1}{r_0}\text{arccosh}\left(1\right)=\frac{\sqrt{v_{0c}^2-v_0^2}}{v_0{r}_0}\sin \theta ·\phi \\ \text{arccosh}\left(\frac{r_0}{r}\right)=-\frac{\sqrt{v_{0c}^2-v_0^2}}{v_0}\sin \theta ·\phi \\ \frac{r}{r_0}=\frac{1}{\text{cosh}\left(\frac{\sqrt{v_{0c}^2-v_0^2}}{v_0}\sin \theta ·\phi \right)}\end{array}}$

Representamos r en función del ángulo φ para v₀>v_0c con $\frac{\sqrt{v_0^2-v_{0c}^2}}{v_0}\sin \theta =1$. Representamos r en función del ángulo φ para v₀<v_0c con $\frac{\sqrt{v_{0c}^2-v_0^2}}{v_0}\sin \theta =1$

r0=1;
vc=1;
hold on
f=@(x) 1./cosh(x);
fplot(f,[0,2*pi])
f=@(x) 1./cos(x);
fplot(f,[0,2*pi])
hold off
set(gca,'XTick',0:pi/2:2*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'})
grid on
ylim([0,4])
xlabel('\phi')
ylabel('r/r_0')
title('Dipolo')

Referencias

Yusmantoro Yusmantoro. Circular motion of a charged particle on the inner surface of a frictionless cone under the influence of an electricfield due to an electric dipole. Eur. J. Phys. 45 (2024) 065201