Movimiento de una partícula cargada en la superficie de un cono, bajo la influencia de un dipolo eléctrico situado en su vértice

Dipolo eléctrico

En la página titulada Campo eléctrico de un sistema de dos o más cargas eléctricas, calculamos las componenetes del campo eléctrico producido en un punto P por un dipolo eléctrico cuyo vector p , está orientado a lo largo del eje X. En este apartado, repetimos la derivación para un dipolo cuyo vector p tiene la dirección del eje Z

El potencial en el punto P distante r1 de la carga –Q y r2 de la carga +Q es

V= Q 4π ε 0 ( 1 r 2 1 r 1 )

Expresamos r1 y r2 en función de r y θ, que es la posición del punto P expresada en coordenadas esféricas.

r 1 2 = r 2 + d 2 +2rdcosθ r 2 2 = r 2 + d 2 2rdcosθ

Teniendo en cuenta que d es pequeño frente a r, el potencial V se aproxima a

V 2Qd 4π ε 0 r 2 cosθ= p 4π ε 0 r 2 cosθ

Las componentes de E se pueden calcular a partir del gradiente de V

E = V r r ^ 1 r V θ θ ^ E r = 1 4π ε 0 2p r 3 cosθ, E θ = 1 4π ε 0 p r 3 sinθ

Carga positiva

En la parte derecha de la figura, se muestran las fuerzas que ejerce el dipolo situado en el vértice del cono sobre una partícula de masa m y carga positiva q situada en la superficie del cono (de ángulo 2θ) a una distancia r del vértice. La superficie del cono ejerce sobre la partícula una fuerza N

No se incluye al peso mg de la partícula, ya que la fuerzas gravitatorias son muy pequeñas frente a las fuerzas eléctricas

En un instante dado t, la partícula dista r del vértice del cono y hace un ángulo φ con el eje X tal como se muestra en la figura. Describimos el movimiento de la partícula en coordenadas esféricas (r, φ, θ) con el ángulo θ constante.

{ x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ

La aceleración en coordenadas esféricas es

d 2 r d t 2 =( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 r sin 2 θ ( dφ dt ) 2 ) r ^ + ( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt rsinθ·cosθ ( dφ dt ) 2 ) θ ^ + ( rsinθ d 2 φ d t 2 +2sinθ dr dt dφ dt +2rcosθ dθ dt dφ dt ) φ ^

Las condiciones iniciales son

En el instante t=0, la partícula cargada se encuentra sobre la superficie cónica a una distancia r0 del dipolo y las componentes de su velocidad son vr en la dirección radial y v0 en la direccíon tangente φ ^ a la circunferencia de radio r0sinθ. En el instante inicial, el ángulo φ=0

Ecuaciones del movimiento

Dado que θ es constante en la superficie del cono, dθ/dt=0

Distancia r de la partícula al dipolo en función del tiempo

Integramos la ecuación diferencial para obtener la velocidad radial dr/dt en función de la distancia r al dipolo, sabiendo que la velocidad inicial en la dirección radial es vr en la posición r0

d 2 r d t 2 = d r ˙ dt = d r ˙ dr dr dt = r ˙ d r ˙ dr , r ˙ = dr dt v r r ˙ r ˙ d r ˙ = v c 2 r 0 2 r 0 r 1 r 3 dr 1 2 ( r ˙ 2 v r 2 )= v c 2 r 0 2 1 2 ( 1 r 0 2 1 r 2 )

Integramos, de nuevo, para obtener la distancia r de la partícula cargada al dipolo en función del tiempo

dr dt = v r 2 + v c 2 r 2 r 0 2 r 2 r 0 r r·dr ( v r 2 + v c 2 ) r 2 v c 2 r 0 2 = 0 t dt ( v r 2 + v c 2 ) r 2 v c 2 r 0 2 v r 2 + v c 2 | r 0 r =t 1 v r 2 + v c 2 ( ( v r 2 + v c 2 ) r 2 v c 2 r 0 2 v r r 0 )=t ( v r 2 + v c 2 ) r 2 v c 2 r 0 2 v r r 0 =( v r 2 + v c 2 )t ( v r 2 + v c 2 ) r 2 v c 2 r 0 2 = ( ( v r 2 + v c 2 )t+ v r r 0 ) 2 r= ( ( v r 2 + v c 2 )t+ v r r 0 ) 2 + v c 2 r 0 2 v r 2 + v c 2

Representamos r en función del tiempo t para cuatro valores del cociente vr/vc=, 0, 1, 2, 3, con r0=1

r0=1;
vc=1;
hold on
for vr=0:3
    f=@(t) sqrt(((vr^2+vc^2)*t+vr*r0).^2+vc^2*r0^2)/sqrt(vr^2+vc^2);
    fplot(f,[0,6],'displayName',num2str(vr))
end
hold off
grid on
ylim([0,10])
legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('t')
ylabel('r')
title('Dipolo')

Angulo φ en función del tiempo

Partimos de la constancia del momento angular Lz y de la expresión de la distancia r en función del tiempo

dφ dt = v 0 r 0 r 2 sinθ dφ dt = v 0 r 0 sinθ v r 2 + v c 2 ( ( v r 2 + v c 2 )t+ v r r 0 ) 2 + v c 2 r 0 2 0 φ dφ= v 0 r 0 ( v r 2 + v c 2 ) sinθ 0 t dt ( ( v r 2 + v c 2 )t+ v r r 0 ) 2 + v c 2 r 0 2

Resolvemos la integral

dt ( ( v r 2 + v c 2 )t+ v r r 0 ) 2 + v c 2 r 0 2 = 1 v r 2 + v c 2 du u 2 + v c 2 r 0 2 = 1 v r 2 + v c 2 1 v c r 0 arctan( u v c r 0 )= 1 v r 2 + v c 2 1 v c r 0 arctan( ( v r 2 + v c 2 )t+ v r r 0 v c r 0 )

El resultado es

φ= v 0 v c sinθ ( arctan( ( v r 2 + v c 2 )t+ v r r 0 v c r 0 )arctan( v r v c ) )

Representamos φ sinθ v 0 en función del tiempo t para cuatro valores del cociente vr/vc=, 0, 1, 2, 3, con r0=1

r0=1;
vc=1;
hold on
for vr=0:3
    f=@(t) (atan(((vr^2+vc^2)*t+vr*r0)/(vc*r0))-atan(vr/vc))/vc;
    fplot(f,[0,10],'displayName',num2str(vr))
end
hold off
grid on
set(gca,'YTick',0:pi/6:pi/2)
set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2'})
legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('t')
ylabel('\phi')
title('Dipolo')

Ecuación de la trayectoria

Partimos de la expresión de la velocidad en la dirección radial dr/dt y de la constancia del momento angular Lz

dr dt = v r 2 + v c 2 r 2 r 0 2 r 2 dr dφ dφ dt = v r 2 + v c 2 r 2 r 0 2 r 2 dr dφ = r 2 sinθ v 0 r 0 v r 2 + v c 2 r 2 r 0 2 r 2 dr dφ = rsinθ v 0 r 0 ( v r 2 + v c 2 ) r 2 v c 2 r 0 2 r 0 r dr r ( v r 2 + v c 2 ) r 2 v c 2 r 0 2 = sinθ v 0 r 0 0 φ dφ

Hacemos el cambio de variable

r= v c r 0 v r 2 + v c 2 sinϕ ,dr= v c r 0 v r 2 + v c 2 cosϕ sin 2 ϕ dϕ dr r ( v r 2 + v c 2 ) r 2 v c 2 r 0 2 = v c r 0 v r 2 + v c 2 cosϕ sin 2 ϕ dϕ v c r 0 v r 2 + v c 2 sinϕ ( v r 2 + v c 2 ) v c 2 r 0 2 ( v r 2 + v c 2 ) sin 2 ϕ v c 2 r 0 2 = = 1 v c r 0 dϕ= 1 v c r 0 ϕ= 1 v c r 0 arcsin( v r 2 + v c 2 v c r r 0 )

El resultado es

arcsin( v c v r 2 + v c 2 r 0 r )+arcsin( v c v r 2 + v c 2 )= v c v 0 sinθ·φ arcsin( v c v r 2 + v c 2 r 0 r )=arcsin( v c v r 2 + v c 2 ) v c v 0 sinθ·φ r 0 r = v r 2 + v c 2 v c sin( arcsin( v c v r 2 + v c 2 ) v c v 0 sinθ·φ )

Representamos r en función del tiempo φ para cuatro valores del cociente vr/vc=, 0, 1, 2, 3, con v c v 0 sinθ=1

vc=1;
hold on
for vr=0:3
    f=@(x) (vc/sqrt(vc^2+vr^2))./sin(asin(vc/sqrt(vc^2+vr^2))-x);
    fplot(f,[0,1.5])
end
hold off
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2'})
grid on
ylim([0,5])
xlabel('\phi')
ylabel('r/r_0')
title('Dipolo')

Carga negativa

Cuando la carga q es negativa, la reacción N de la superficie cónica no es siempre positiva,

N= 1 r 3 ( m v 0 2 r 0 2 cosθ sinθ pq 4π ε 0 sinθ )

La velocidad inicial v0 tiene que ser mayor que un valor mínimo, para que la partícula permanezca en la superficie del cono

N>0 m v 0 2 r 0 2 cosθ sinθ > pq 4π ε 0 sinθ v 0 > 1 r 0 pq 4π ε 0 m sin 2 θ cosθ

La ecuación del movimiento en la dirección radial es

d 2 r d t 2 = r 0 2 r 3 ( v 0 2 pq 2π ε 0 m cosθ r 0 2 )

Supondremos que la velocidad inicial en la dirección radial vr=0. Los posibles movimientos son

Representamos r en función del ángulo φ para v0>v0c con v 0 2 v 0c 2 v 0 sinθ=1 . Representamos r en función del ángulo φ para v0<v0c con v 0c 2 v 0 2 v 0 sinθ=1

r0=1;
vc=1;
hold on
f=@(x) 1./cosh(x);
fplot(f,[0,2*pi])
f=@(x) 1./cos(x);
fplot(f,[0,2*pi])
hold off
set(gca,'XTick',0:pi/2:2*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'})
grid on
ylim([0,4])
xlabel('\phi')
ylabel('r/r_0')
title('Dipolo')

Referencias

Yusmantoro Yusmantoro. Circular motion of a charged particle on the inner surface of a frictionless cone under the influence of an electricfield due to an electric dipole. Eur. J. Phys. 45 (2024) 065201