La ley de la Gravitación Universal describe la interacción entre cuerpos debido a su masa. La fuerza de atracción entre dos cuerpos es central y conservativa, su módulo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa los centros de ambos cuerpos. Cuando se integra la ecuación diferencial que describe el movimiento de un cuerpo bajo la acción de dicha fuerza, se obtiene una trayectoria que es una cónica. El tipo de cónica depende signo de la energía total del cuerpo.

Los planetas describen elipses estando el Sol en uno de sus focos. El hecho de que la energía sea negativa se debe a que la energía potencial de una fuerza atractiva es negativa, y la energía cinética es menor que la energía potencial (el cuerpo está confinado).

La interacción eléctrica puede ser repulsiva o atractiva según que las cargas sean del mismo o distinto signo. La fuerza que describe la interacción eléctrica es central y conservativa, su módulo, de acuerdo a ley de Coulomb, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa ambas cargas.

Trayectoria de la partícula

La fuerza de repulsión entre dos cargas Q y q del mismo signo es de acuerdo a la ley de Coulomb

${\displaystyle \overrightarrow{F}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{r^2}\widehat{r}}$

Esta fuerza es conservativa, y la energía potencial E_p correspondiente es

${\displaystyle E_p=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{r}}$

Supongamos que Q es una carga fija y que una partícula de masa m y carga q se mueve en el campo creado por la carga Q.

Como la fuerza de repulsión es central y conservativa se cumple

1. La energía total de la partícula cargada es constante

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{k}{r}k=\frac{qQ}{4\pi {\epsilon }_0}}$

2. El momento angular es constante

${\displaystyle \overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times m\overrightarrow{v}}$

Que el momento angular sea constante en dirección y sentido quiere decir que la trayectoria de la partícula está contenida en un plano perpendicular a la dirección del momento angular.

Expresamos la energía y el momento angular en coordenadas polares

${\displaystyle \begin{array}{l}E=\frac{1}{2}m{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}m{r}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\frac{k}{r}\\ L=m{r}^2\frac{d\theta }{dt}\end{array}}$

Movimiento en la dirección radial

Despejamos dθ/dt en la expresión del momento angular y la introducimos en la expresión de la energía.

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+\frac{L^2}{2m{r}^2}+\frac{k}{r}}$

Decimos que la partícula se mueve en una región unidimensional r>0 bajo un potencial efectivo, cuyo aspecto se muestra en la figura

${\displaystyle V_{ef}(r)=\frac{L^2}{2m{r}^2}+\frac{k}{r},r\ge 0}$

Se calcula el punto de retorno, la distancia de máximo acercamiento al centro de fuerzas, para una partícula de energía E, cuando la componente radial de la velocidad dr/dt=0

${\displaystyle E=\frac{L^2}{2m{r}^2}+\frac{k}{r}}$

Representamos una función de la forma f(r)=a/r²+b/r con a=1 y b=2. Calculamos el punto de intersección con la recta horizontal e=4

a=1; 
b=2; 
e=4; %energía
f=@(r) a./r.^2+b./r;
fplot(f,[0.2,3])

%raíces
rm=(b+sqrt(b^2+4*a*e))/(2*e);
line([rm,rm],[0,e], 'lineStyle','--')
line([rm,3],[e,e],'color','k')
ylim([0,10])
grid on
xlabel('r')
ylabel('V_{ef}(r)')
title('Energía potencial efectiva')

>> rm
rm =    0.8090

Las ecuaciones de constancia del momento angular y de la energía constituyen un par de ecuaciones diferenciales en las que se puede eliminar el tiempo t. La ecuación de la trayectoria r=r(θ) es una hipérbola

${\displaystyle r=\frac{d}{\epsilon \cos \left(\theta -{\theta }_0\right)-1}\epsilon =\sqrt{1+\frac{2E{L}^2}{m{k}^2}}d=\frac{L^2}{mk}}$

Las condiciones iniciales son las de una partícula de masa m y carga q que se mueve a gran distancia del centro de fuerzas con velocidad v₀, tal como se muestra en la figura.

Parámetro de impacto

El parámetro de impacto b es la distancia existente entre la dirección de la partícula incidente, cuando se encuentra muy alejada del centro de fuerzas y el centro de fuerzas. En la figura, el parámetro de impacto b es la distancia entre la dirección de la velocidad $\overrightarrow{v_0}$ y la carga fija Q.

El módulo del momento angular es

L=mv₀·b

La energía total

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}_0^2}$

Los valores de d y la excentricidad ε en la ecuación de la hipérbola expresados en términos de la energía E y del parámetro de impacto b son, respectivamente.

${\displaystyle d=\frac{2E{b}^2}{k}\epsilon =\sqrt{1+{\left(\frac{2Eb}{k}\right)}^2}k=\frac{qQ}{4\pi {\epsilon }_0}}$

En la figura, se representa la ecuación de la trayectoria, una hipérbola, que tiene dos asíntotas, dos rectas simétricas con respecto al eje X, que forman un ángulo θ₀ con éste, cuyo valor es

ε ·cosθ₀-1=0 o bien, $\cos {\theta }_0=\frac{1}{\epsilon }$

A continuación, giramos la hipérbola en sentido antihorario un ángulo θ₀. La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es

${\displaystyle r=\frac{d}{\epsilon \cos (\theta -{\theta }_0)-1}}$

En la figura, se representa la trayectoria de la partícula cargada y en la que se ha señalado, el parámetro de impacto b y el ángulo de dispersión Φ, que es el ángulo entre las direcciones inicial (asíntota horizontal) y final (asíntota inclinada) de la velocidad de la partícula

Ángulo de dispersión

Cuando la partícula se aleja mucho del centro de fuerzas, sigue una trayectoria que tiende asintóticamente a una línea recta. El ángulo que forma dicha recta con el eje horizontal se denomina ángulo de dispersión.

El ángulo de dispersión vale Φ =π-2θ₀, es decir

${\displaystyle \begin{array}{l}\Phi =\pi -2\arccos \frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{2Eb}{k}\right)}^2}}\\ \tan \frac{\Phi }{2}=\frac{k}{2Eb}\end{array}}$

Ejemplo:

Hemos establecido un sistema de unidades en el que k=1.

El ángulo de dispersión para E=0.5 y b=0.75 vale Φ =106.3º, como comprobaremos en el programa interactivo, más abajo.

Representamos el ángulo de dispersión Φ en función de parámetro de impacto, para una energía E determinada

k=1;
E=0.5;
phi=@(b) 2*atan(k./(2*E*b))*180/pi;
fplot(phi,[0,5])
grid on
xlabel('b')
ylabel('\Phi')
title('Relación parámetro de impacto, ángulo de dispersión')

Dispersión por un obstáculo en forma de parábola

En la página titulada Parámetro de impacto y ángulo de dispersión hemos estudiado la dispersión de partículas por un obstáculo en forma de parábola. La relación entre parámetro de impacto b y ángulo de dispersión Φ es la misma

En dicha página, dibujamos un obstáculo en forma de parábola de ecuación r=d/(1+cosθ). Para el ángulo de dispersión Φ, le corresponde el parámetro de impacto b

${\displaystyle b=\frac{d}{1-\cos \Phi }\sin \Phi }$

Dibujamos una hipérbola $r=\frac{d}{\epsilon \cos (\theta -{\theta }_0)-1}$ de excentricidad ε, girada un ángulo θ₀/2, con cosθ₀=1/ε y θ₀=π-Φ, que tenga en mismo parámetro de impacto b, para ello hemos de calcular el parámetro d a partir de las relaciones entre d y ε, la energía E y el momento angular L de la partícula

${\displaystyle \begin{array}{l}d=\frac{2E{b}^2}{k}\epsilon =\sqrt{1+{\left(\frac{2Eb}{k}\right)}^2}\\ d=b\sqrt{{\epsilon }^2-1}\end{array}}$

Con el siguiente script, dibujamos un obstáculo en forma de parábola. En color rojo, la trayectoria de una partícula que incide en el obstáculo y que se dipersa con un ángulo θ₀=110° o Φ=80°.

En color azul, dibujamos la trayectoria de una partícula cargada que se dispersa por la acción de una fuerza repulsiva inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, producida por otra partícula cargada situada en el origen.

Comprobamos que las asíntotas (en líneas a trazos de color azul) de la trayectoria hiperbólica coinciden con la trayectoria de la partícula (líneas en color rojo) dispersada por el obstáculo en forma de parábola

d=2; 
ang=(-10:acos(-4/(d+4))*180/pi)*pi/180;
r=d./(1+cos(ang));
x=[r.*cos(ang), r(end)*cos(ang(end)), r(1)*cos(ang(1))];
y=[r.*sin(ang), r(1)*sin(ang(1)), r(1)*sin(ang(1))];
hold on
fill(x,y,'c') %obstáculo
plot(r.*cos(ang),r.*sin(ang),'b')
plot(0,0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','k','markerfacecolor','k')
%trayectoria d ela partícula dispersada por el obstáculo
angulo=110*pi/180;
r1=d/(1+cos(angulo));
line([0,r1*cos(angulo)],[0,r1*sin(angulo)],'color','r','lineStyle','--')
line([r1*cos(angulo),10],[r1*sin(angulo),r1*sin(angulo)],'color','r')
line([r1*cos(angulo),r1*cos(angulo)-2],[r1*sin(angulo),r1*sin(angulo)-
2*tan(angulo)],'color','r')

%trayectoria hiperbólica
ex=1/cos(angulo/2);
d=r1*sin(angulo)*sqrt(ex^2-1);
ang=linspace(2*pi/18,angulo-2*pi/18,100);
r=d./(ex*cos(ang-angulo/2)-1);
plot(r.*cos(ang),r.*sin(ang),'b')
%asíntotas
line([0,10],[0,0],'color','b', 'lineStyle','--')
line([0,10*cos(angulo)],[0,10*sin(angulo)],'color','b', 'lineStyle','--')
ylim([-0.2,10])
hold off

Actividades

Se introduce

• El parámetro de impacto b en el control titulado P. impacto
• La energía de la partícula E, un número positivo, ya que la fuerza es repulsiva, en el control titulado Energía

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se representa la trayectoria de la partícula y se calcula el ángulo de dispersión Φ

Acercamiento máximo

Utilizando el principio de conservación de la energía y la constancia del momento angular, calculamos la distancia mínima de aproximación de una partícula cargada, que choca de frente contra un núcleo atómico

Para hacer más simple el problema supondremos que la masa del núcleo es mucho mayor que la masa del proyectil.

Si la carga del núcleo es Q y la del proyectil es q. La energía total del proyectil es

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{Qq}{4\pi {\epsilon }_{0}r}=\frac{1}{2}m{v}_0^2}$

Cuando el proyectil está a mucha distancia del núcleo, su velocidad es v₀ y toda la energía es cinética. En el punto C de máximo acercamiento (véase la figura), la velocidad v es transversal (perpendicular a la dirección radial, dr/dt=0) de modo que el momento angular es L=mRv.

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones para calcular R

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{Qq}{4\pi {\epsilon }_{0}R}=\frac{1}{2}m{v}_0^2\\ mRv=mb{v}_0\end{array}}$

Alternativamente, la ecuación de la conservación de la energía

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+\frac{L^2}{2m{r}^2}+\frac{Qq}{4\pi {\epsilon }_{0}r}}$

en el punto de máximo acercamiento, r=R, dr/dt=0

${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{{\left(mb{v}_0\right)}^2}{2m{R}^2}+\frac{Qq}{4\pi {\epsilon }_{0}R}}$

Ecuación de segundo grado en 1/R que permite obtener R en función de la energía y del momento angular de la partícula.

Para una colisión de frente, L=0 y se despeja R

${\displaystyle R=\frac{qQ}{4\pi {\epsilon }_0\left(\frac{1}{2}m{v}_0^2\right)}}$

En una colisión frontal, la velocidad de la partícula en el punto de máximo acercamiento es cero, v=0

Relación entre parámetro de impacto y ángulo de dispersión

En el apartado anterior, hemos obtenido la relación cuantitativa entre el parámetro de impacto y el ángulo de dispersión para una energía E de la partícula cargada. Mediante el programa interactivo que viene a continuación, se puede establecer una relación cualitativa, observando las trayectorias de un número de partículas de la misma energía que inciden sobre el centro fijo de fuerzas con parámetros de impacto espaciados regularmente.

Se introduce

• la energía de la partícula E, un número positivo, en el control titulado Energía

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa las trayectorias de las partículas que inciden sobre el centro fijo de fuerzas

La envolvente

Escribimos la ecuación de la trayectoria de la forma

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{r}=\frac{\epsilon }{d}\cos (\theta -{\theta }_0)-\frac{1}{d}\\ \frac{1}{r}=\frac{\epsilon }{d}\left(\cos \theta ·\cos {\theta }_0+\sin \theta ·\sin {\theta }_0\right)-\frac{1}{d}\\ \frac{1}{r}=\frac{\epsilon }{d}\cos {\theta }_0\left(\cos \theta +\sin \theta ·\tan {\theta }_0\right)-\frac{1}{d}\end{array}}$

Teniendo en cuenta las relaciones

${\displaystyle \begin{array}{l}\cos {\theta }_0=\frac{1}{\epsilon }\epsilon =\sqrt{1+{\left(\frac{2Eb}{k}\right)}^2}d=\frac{2E{b}^2}{k}\\ \cos {\theta }_0=\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2{\theta }_0}}\tan {\theta }_0=\frac{2Eb}{k}\end{array}}$

La ecuación de la trayectoria se escribe en términos del parámetro b

${\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{k}{2E{b}^2}(\cos \theta -1)+\frac{\sin \theta }{b}}$

La ecuación de la trayectoria depende del parámetro de impacto b,
f(r, θ, b)=0

La ecuación de la envolvente de las trayectorias se obtiene derivando con respecto a b e igualando a cero.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial b}=0\\ -\frac{k}{E{b}^3}(\cos \theta -1)+\frac{\sin \theta }{b^2}=0\\ b=\frac{(1-\cos \theta )}{\sin \theta }\frac{k}{E}\end{array}}$

y combinando ésta con la ecuación de la trayectoria para eliminar el parámetro b. Es decir, se introduce la expresión de b en la ecuación de la trayectoria.

${\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{E}{2k}(1+\cos \theta )}$

Esta es la ecuación de la envolvente en coordenadas polares. Para escribirla en coordenadas rectangulares, ponemos
x=r·cosθ, y=r·sinθ

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{2k}{E}=\sqrt{x^2+y^2}+x\\ y^2=\frac{4k}{E}\left(\frac{k}{E}-x\right)\end{array}}$

En este último programa interactivo, se dibuja la envolvente (en color azul) de las trayectorias hiperbólicas que describen las partículas

Trayectorias

Las ecuaciones del movimiento de la partícula de masa m y carga q, en el campo eléctrico producido por la carga fija Q son:

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{r^2}\frac{x}{r}\\ m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{r^2}\frac{y}{r}\end{array}}$

Resolvemos el sistema de ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos. Superponemos en líneas a trazos, la curva de energía potencial E_p(r)

${\displaystyle E_p(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qQ}{r}}$

Para una fuerza repulsiva, k=1, el resultado es el que se ha visto en los programas interactivos, más arriba. Mejores resultados se obtienen haciendo que la partícula cargada parta muy lejos del origen (teóricamente de -∞) por ejemplo x=-100, pero no hay mucha diferencia desde el punto de vista cualitativo.

k=1;
energia=1;
N=10; %partículas
tspan=[0,10];
hold on
potencial=@(r) k./r;
for i=1:N
    x0=[-10,sqrt(2*energia),2.5*i/N,0];
    fg=@(t,x)[x(2);k*x(1)/(x(1)^2+x(3)^2)^(3/2); x(4);
k*x(3)/(x(1)^2+x(3)^2)^(3/2)];
    [t,x]=ode45(fg,tspan,x0);
    plot(x(:,1),x(:,3)) 
end
fp=fplot(potencial,[0.05,5],'--k');
plot(-fp.XData,fp.YData,'--k')
ylim([-3,3]);
xlim([-4,4])
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y');
title('dispersión')

Para una fuerza atractiva, k=-1, el resultado es el siguiente

k=-1;
energia=1;
N=10; %partículas
tspan=[0,10];
hold on
potencial=@(r) k./r;
for i=1:N
    x0=[-10,sqrt(2*energia),2.5*i/N,0];
    fg=@(t,x)[x(2);k*x(1)/(x(1)^2+x(3)^2)^(3/2); x(4); 
k*x(3)/(x(1)^2+x(3)^2)^(3/2)];
    [t,x]=ode45(fg,tspan,x0);
    plot(x(:,1),x(:,3)) 
end
fp=fplot(potencial,[0.05,5],'--k');
plot(-fp.XData,fp.YData,'--k')
ylim([-3,3]);
xlim([-4,4])
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y');
title('dispersión')

Referencias

French A. P. The envelopes of some families of fixed-energy trajectories. Am. J. Phys. 61 (9) September 1993