Movimiento de una molécula en un campo eléctrico

La molécula está sometida a cuatro fuerzas: dos de repulsión entre cargas del mismo signo y otras dos de atracción entre cargas de signo contrario. Como las cargas de signo contrario están más cerca, predomina la fuerza de atracción sobre la de repulsión.

Si en el instante en el que la molécula llega al centro de las esferas, se conectasen a potencial cero, la molécula continuaría con velocidad constante. 

Un dispositivo de este tipo formado por varias etapas constituye un acelerador de moléculas que permite estudiar su estructura a partir de los choques inelásticos que experimentan.

Un acelerador de moléculas tiene unos electrodos de forma esférica de 0.25 mm de radio, separados 2D=1 mm, que se mantienen a un potencial de ±40 kV. Una molécula de momento dipolar p=2·10-29 C·m adquiere una energía de aproximadamente 0.01 eV. Como esta energía es muy pequeña, el acelerador consta de 700 etapas separadas 1.4 cm, los electrodos se alimentan por un potencial alterno de 500 kHz. (véase Lorrain P. Corson D., Campos y Ondas Electromagnéticas, Editorial Selecciones Científicas (1972), págs. 144-145).

En la experiencia simulada mantendremos la carga de los dos electrodos esféricos constante e igual a ±Q. Observaremos como la molécula describe un movimiento oscilatorio, que no es Armónico Simple (MAS).

Ecuación del movimiento

Por simetría, las componentes a lo largo del eje Y de las fuerzas que actúan sobre la molécula se anulan de dos en dos. La resultante está dirigida a lo largo del eje X y vale

F=-2·Fa·cosθa+2·Fr·cosθr

Siendo Fa el módulo de la fuerza atractiva entre cargas de distinto signo, y Fr el módulo de la fuerza repulsiva entre cargas del mismo signo.

F a = 1 4π ε 0 qQ ( x 2 + (Dd) 2 ) F r = 1 4π ε 0 qQ ( x 2 + (D+d) 2 )

Los ángulos que forman los vectores fuerza con el eje X son, respectivamente

cos θ a = x x 2 + (Dd) 2 cos θ r = x x 2 + (D+d) 2

La expresión de la fuerza resultante es

F= qQx 2π ε 0 ( 1 ( x 2 + (D+d) 2 ) 3/2 1 ( x 2 + (Dd) 2 ) 3/2 ) 

La fuerza F es de signo contrario al desplazamiento x, pero no es proporcional al desplazamiento, que es la característica distintiva de un Movimiento Armónico Simple.

La ecuación del movimiento es

m d 2 x d t 2 = qQx 2π ε 0 ( 1 ( x 2 + (D+d) 2 ) 3/2 1 ( x 2 + (Dd) 2 ) 3/2 ) 

Esta ecuación diferencial se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, x=x0 dx/dt=0. La molécula parte de la posición x0 con velocidad inicial nula.

Balance energético

En la posición x, la energía de la molécula es la suma de la energía cinética y potencial

E= 1 2 m v 2 + 1 4π ε 0 ( 2qQ x 2 + (D+d) 2 2qQ x 2 + (Dd) 2 ) 

Cuando pasa por el origen, la energía de la molécula es

E= 1 2 m v 2 + 1 4π ε 0 ( 2qQ D+d 2qQ Dd ) 

Cuando parte de la posición inicial x0 o llega al extremo opuesto de la trayectoria –x0, la velocidad de la molécula v=0.

E= 1 4π ε 0 ( 2qQ x 0 2 + (D+d) 2 2qQ x 0 2 + (Dd) 2 ) 

Aplicando el principio de conservación de la energía, calculamos la velocidad v de la molécula en cualquier posición x.

Ejemplo

Datos

La fuerza sobre la partícula en la posición x=2 es

F= qQx 2π ε 0 ( 1 ( x 2 + (D+d) 2 ) 3/2 1 ( x 2 + (Dd) 2 ) 3/2 )  F=2 1·6·2 1 ( 1 ( 2 2 + (0.5+0.25) 2 ) 3/2 1 ( 2 2 + (0.50.25) 2 ) 3/2 )=0.468

La energía de la partícula en la posición inicial  x0=3 es

E= 1 4π ε 0 ( 2qQ x 0 2 + (D+d) 2 2qQ x 0 2 + (Dd) 2 )  E=1·( 2·1·6 3 2 + (0.5+0.25) 2 2·1·6 3 2 + (0.50.25) 2 )=0.1056

La energía cuando pasa por la posición x=2 es

E= 1 2 m v 2 + 1 4π ε 0 ( 2qQ x 2 + (D+d) 2 2qQ x 2 + (Dd) 2 )  -0.1056= 1 2 1· v 2 +1·( 2·1·6 2 2 + (0.5+0.125) 2 2·1·6 2 2 + (0.50.125) 2 )

Se despeja la velocidad de la molécula v=0.678

El procedimiento ode45 de MATLAB no produce buenos resultados

q=1;
Q=6;
d=1/4;
D=0.5;
x0=[3,0];
f=@(t,x) [x(2);2*q*Q*x(1)*((x(1)^2+(D+d)^2)^(-3/2)-
((x(1)^2+(D-d)^2)^(-3/2)))]; 
[t,x]=ode45(f,[0,30],x0);
plot(t,x(:,1))
xlabel('t')
ylabel('x');
title('Movimiento de una molécula')
grid on

Comprobamos la conservación de la energía. Como apreciamos, la energía inicial no se mantiene constante

>> E=2*q*Q*(sqrt(x0(1)^2+(D+d)^2)-sqrt(x0(1)^2+(D-d)^2))
E =    0.9832
>> E=0.5*x(:,2).^2+2*q*Q*(sqrt(x(:,1).^2+(D+d)^2)-sqrt(x(:,1).^2+(D-d)^2))
E =
    0.9832
    0.9832
    0.9832
    .....
    2.0345
    2.1429
    ......
    10.8802
    12.5506
    14.8270
    18.0371
    22.6982
    26.3133
    30.5965
    34.9475
    37.7536
    37.0530
    33.6128
    29.1141
   ......

Actividades

En la simulación se fijado los siguientes parámetros:

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de la molécula entre las posiciones extremas ±x0, y se puede medir el periodo P de la oscilación. La fuerza sobre la molécula es de corto alcance ya que solamente tiene un valor apreciable cuando pasa por las proximidades del origen.

En la parte superior, se representa la energía potencial Ep(x), que presenta un mínimo en x=0.

E p (x)= 1 4π ε 0 ( 2qQ x 2 + (D+d) 2 2qQ x 2 + (Dd) 2 ) 

Se representa mediante una recta horizontal la energía total E. Un segmento vertical de color rojo, representa la energía cinética Ek, diferencia entre la energía total E y la energía potencial Ep(x). Una flecha representa la fuerza sobre la partícula, la pendiente cambiada de signo de la curva de la energía potencial en la posición x.

F= d E p (x) dx

La fuerza F es nula en el origen x=0 (posición de equilibrio), donde la energía potencial Ep(x) presenta un mínimo

El programa calcula en cada instante el tanto por ciento de error relativo en la energía o el cociente

| E E 0 E 0 |·100

donde E es la energía del sistema en cualquier instante tt, y E0 es la energía inicial del sistema.

Este valor se proporciona en caracteres de color rojo en la parte inferior izquierda. Su valor debe ser siempre cero, o un valor muy pequeño lo que indica que la energía del sistema permanece constante y el programa realiza los cálculos correctamente.